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10.2 实数
第1课时 实数的相关概念
1.了解实数的意义.（重点）
2.能对实数按要求分类．（重点）
3.掌握数轴与实数的一一对应关系，能用数轴上的点表示无
理数.（难点）
（1）用计算器求2;
（2）利用平方运算验算（1）中所得的结果.
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用计算器求2，显示结果为1.414 213 562.再用计算器计算1.414 213 562的平方，结果是1.999 999 999，并不是2.这是因为计算器求得的只是2的近似值.
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2=1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605714701095599716059702745…
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用计算机计算，你可能会大吃一惊：
那么，2是怎样的数呢？
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我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数，例如：
在数学上已经得知，没有一个有理数的平方等于2，也就是说，2不是一个有理数.
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14＝0.25，23＝0.6＝0.666 666 666…
17＝0.142 857＝0.142 857 142 857 142 857…
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2不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数.
类似地，35、圆周率????等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数.
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无限不循环小数叫做无理数.
有理数和无理数统称实数.
(1)开方开不尽的数，如3，35 ，…；
(2)含有π的一类数，如????????π，????????π，π+1，…；
(3)以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，
如0.101 001 000 1 …
(每相邻两个1之间依次多一个0).
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无理数的三种常见形式：
1．在9，3.141 592 65，?3，0，????，56，0.101 001···中，无理数 有（????）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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【详解】∵9=3，
∴在9，3.141 592 65，?3，0，????，56，0.101 001···中，无理数有?3，????，0.101 001···，共3个.
故选C.
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C
无理数：
无限不循环小数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实数
分数
整数
开方开不尽的数
有规律但不循环的数
实数的分类--按概念分类
含有π的一类数
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
0
正无理数
负无理数
0
正实数
负实数
实数的分类--按正负性分类
2．把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
①－1112，②????2，③1－4，④0，⑤0.4，⑥?????125，⑦－????4，⑧0.130 300 300 03···（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨0.23，⑩3.14．
(1)整数集合：{????????…}；
(2)分数集合：{????????…}；
(3)无理数集合：{????????…}．
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③④⑥
②⑤⑦⑧
①⑨⑩
每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么有理数能不能将数轴排满？
无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
试
一
试
你能在数轴上找到表示2的点吗？
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如图所示，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为2.
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这就是说，边长为1的正方形的对角线长是2.利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示2的点，如图所示.
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发现：每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数.
概括
实数与数轴上的点是一一对应的.
2．下列说法正确的是（　　）
A．实数分为正实数和负实数 B．负数没有立方根
C．两个无理数的和一定是无理数 D．6是无理数
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1．在三个数0，－1，2中( ) A．无理数的个数大于有理数的个数
B．正数的个数大于负数的个数 C．无理数的个数小于有理数的个数
D．正数的个数小于负数的个数
?
C
D
3.如图，在数轴上点A和点B之间的整数是 ．
2
2
?
7
?
A
B
4.判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
无理数
实数的概念及分类
无限不循环小数叫做无理数.
有理数和无理数统称为实数.
实数
分类
1.按概念分；
2.按正负性分.
10.2 实数
第2课时 实数的大小比较及运算
1.了解实数范围内相关概念的意义.（重点）
2.能对实数进行大小比较.（重点）
3.培养估算意识.（难点）
4.能利用运算法则进行简单四则运算．（难点）
有理数的相反数是什么？不为0的数的倒数是什么？有理数的绝对值等于什么？
数a的相反数是－a(a表示任意一个有理数)，
一个正有理数的绝对值是它本身，
一个负有理数的绝对值是它的相反数，
0的绝对值是0.
这一法则能否推广到实数呢？
答：以上法则对于实数也适用.
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用.
例如：
2与?2互为相反数
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35与????????????互为倒数
?
2.－3的相反数是 　，绝对值是 .　　　
?
3.绝对值等于5的数是 ，
－7的平方是 .
?
1.正实数的绝对值是 ，
0的绝对值是 ，
负实数的绝对值是　 .
它本身
0
它的相反数
7
3
?
3
?
±5
?
涉及无理数的大小比较和运算，通常可以取它们的近似值来进行.
例1 试比较3＋2与π的大小.
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解：用计算器求得3＋2≈3.146 264 37，
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而π≈3.141 592 654，
因此3＋2＞π.
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解：16－2≈0.167－1.414＝－1.247，
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例2 计算：????2－|16－2|.（精确到0.01）
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取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位.
于是|16－2|≈1.247，
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????2－|16－2|≈1.571－1.247＝0.324≈0.32.
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注：由于16＜2 ，所以|16－2|＝2－16，
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原式＝????2－(2－16)＝????2－2＋16.
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由此算式，可直接将数据输入计算器进行计算.
归纳：
在实数范围内，加、减、乘、除(除数不为0)、乘方、开方(负实数不能开平方)六种运算都可以进行，在实数范围内，运算顺序如下：
(1)先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；
(2)同级运算从左到右依次计算；
(3)有括号先算括号里面的．
3．绝对值等于15的数是_________.一个数的绝对值是????????，则这个数是________.
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±15
?
±????????
?
1．下列说法正确的是（????）
A．绝对值是本身的数是0 B．正有理数和负有理数统称有理数
C．两个无理数的和一定是无理数 D．当a≤0时，｜a｜=-a成立
D
2．下列说法正确的是（????）
A．无限小数是无理数 B．1的任何次方根都是1
C．任何数都有平方根 D．实数可分为有理数和无理数
D
4.比较下列各数的大小：
(1) 23和32； (2)－72和－????3.
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解：(1)因为23≈2×1.732＝3.464，32≈3×1.414＝4.242，而3.464＜4.242，
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所以23＜32.
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(2)因为72≈1.323，????3≈1.047，而1.323＞1.047，
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所以－1.323＜－1.047，即－72＜－????3.
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5.计算：26＋37.(精确到0.01)
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解：26＋37≈2×2.449＋3×2.646
＝12.836
≈12.84.
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6.计算：(3+2)－|13?3|＋2π.(精确到0.01)
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解：原式＝(3+2)－(3－13)＋2π
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＝3＋2－3＋13＋2π
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＝2＋13＋2π
≈1.414＋0.333＋2×3.142
＝8.031
≈8.03.
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7．若实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2， 求a+b+(cd)2÷m2的值.
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解：由题意，得
a+b=0,cd=1,m=±????.
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所以m2=2.
所以a+b+(cd)2÷m2
=0+1÷2
=????????.
?
实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义与有理数完全一样
实数
实数的大小比较与运算

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