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永川区2024—2025学年下期期末教学质量监测
八年级数学参考答案及评分意见
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D B A C B A D
二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）
11．x≥2； 12．3； 13．； 14．；
15．-21； 16．9387；9365．
三、解答题（本大题8个小题，每个小题10分，共80分．每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．)
17．解：（1）原式= ………………………………4分
= ………………………………5分
（2）原式=5-3+ ………………………………9分
= ………………………………10分
18．解：（1）如图即为所求：…………6分
（2）①∠AFB＝90°；
②BE＝AD；
③平行四边形；
④∠AFB． …………10分
19.（1）a=88，b=87，m=40 ………………………………3分
（2）Deepseek2更受欢迎，理由如下：
DeepSeek1的中位数87低于Deepseek2的中位数88.
或DeepSeek1的众数87低于Deepseek2的众数90. ………………………………6分
（3）.
答：本次测验中对AI聊天机器人“非常喜欢”的共有310人 ………………10分
20. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．∴∠DAE＝∠AEB．
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE．
∴∠BAE＝∠AEB．∴AB＝BE．
同理：AB＝AF．∴AF＝BE．
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形； ………………………………5分
（2）解：∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°，△ABE为等边三角形，
(
20题
答图
)∴AB＝AE＝8，
∵AB＝8，∴AP＝4，
过点P作PM⊥AD于M，如图所示：
∴PM＝，AM＝2，
∵AD＝12，∴DM＝10，
∴PD． ………………………………10分
(
21
题
答图
)21．解：（1），
；………………………4分
（2）图象如下.
从图象看，当0＜x＜1.5时，y1随x的增大而减小，
当1.5＜x＜3.5，y1随x的增大而增大（答案不唯一）；
………………………8分
（3）． ………………………10分
22．解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F．（如答图）
(
2
2
题答图
图
C
B
D
A
45
°
30
°
E
F
D
)由题意，得AB＝3.6，BC＝2.4．
∵在Rt△ABE中，∠BAE＝45°，
∴由勾股定理得，．
∵在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，
∴由勾股定理得，≈1.2×2.449≈2.94．
答：AD的长度约为2.94 km． ………………………5分
（2）10 m/s＝36 km/h．
路线A—B—C—D的长AB＋BC＋CD＝3.6+2.4+＝6+，
时间t＝≈(6+1.2×2.449)÷36×60＝14.898＜16．
答：快递员按既定路线A—B—C—D进行投递能按时送达．………………10分
23. 解：（1）令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），
令y＝0，则y＝3，∴A（3，0）； ………………………………3分
(
23
题
答图
)（2）将点P（1，m）代入y＝﹣x+3，
∴m＝2，∴P（1，2），
由（1）可得OA＝OB＝3，∴，
∵S△PAC=S△AOB，∴S△PAC ，
∴，∴C（-，0），
设直线PC的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，∴； ………………………………7分
（3）存在点E，使得四边形EMNQ为正方形， ………………………………8分
理由如下：设E（t，﹣t+3），则Q（，﹣t+3），∴EQ＝，EM＝|t﹣3|，
当四边形EMNQ为正方形时，EQ＝EM，∴＝|t﹣3|，
解得或，∴或． ………………………………10分
24．（1）解： 在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，
又∵∠BAD =2∠ACB=∠BAC+∠CAD=∠ACB+∠BAC∴∠ACB=∠BAC，
∴△ABC为等边三角形．又∵AE⊥BC，CE=1，∴AD=BC=2． …………3分
（2）解： 过点E作⊥AB于点，∵∠B=60°，∠AEB=75°,∴∠BAE=45°，
设BE=x，，,，，
(
24
（
2
）
题答图
)∴. ………………………………7分
(3) 延长FG至使,连接,
可证△EFG≌△(SAS)
∴,∴EF∥，
又∵EF∥AB，∴∥AB，∴∠=120°，∠=60°，
(
24
（
3
）
题答图
)∵E在BD所在直线上，∴∠ABE=∠CBE，∵EF∥AB∴∠BEF=∠ABE，
∴∠EBF=∠BEF，∴,∴△ABF≌△(SAS),
∴,∠BAF=∠，∴∠=60°，
∴△为等边三角形，.
………………………………10分永川区2024—2025学年下期期末教学质量监测
八年级数学试题
注意事项：
1．考试时间：120分钟，满分：150分。试题卷总页数：6页.
2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效.
3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑。需要书写的地方一律用0.5mm签字笔.
4．答题前，务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在以下的每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．，2， B．1，，2 C．3，6，7 D．6，8，12
3．如图为某款新能源电动车在去年5月到12月间销量（台）随月份（月）变化的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．5到8月之间，电动车销量（台）随
月份（月）的增大而增大
B．5月份销量最低
C. 9月份销量最高
D. 8月和11月销量相同
4．下列四个命题中，是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的四边形是矩形
5．一组数据：3，4，4，4，5．若拿掉一个数据4，则发生变化的统计量（ ）
A．极差 B．方差 C. 中位数 D. 众数
6．估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．3和2之间
7．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，菱形ABCD的周长为20，AC=8，DE⊥BC于E，连接OE，则线段OE的长度为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
9．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，DM＝2，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
10．已知S1＝（m+1）（m+7），S2＝（m+2）（m+4），m为正整数．下列说法：
①S1始终大于S2；②若y＝S1﹣S2，则y随m的增大而增大；
③若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2023的整数n有且只有4个，则m的值为1010．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）在每个小题中，请将正确
答案直接填在答题卡相应的横线上．
11．函数中自变量x的取值范围是 ．
12. 已知一组数据1，3，9，8，3，则这组数据的中位数是 .
13．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A(-1，-2)和点 B（-2，0），一次函数y＝2x的图象过点A，则关于x，y方程组的解为 ．
14．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1,3），则线段CE的长度为 ．
15. 若一次函数y=(a+4)x+a+2与y轴交于负半轴，关于x的不等式组
的解集为，则符合条件的所有整数a的和为 .
16．对于一个四位自然数，如果满足：各数位上的数字均不等于0且互不相等，千位上的数字是百位上的数字的3倍，十位数字比个位数字大1，则称为“智能数”，则最大的“智能数”是 ；对于一个“智能数”，若将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为，十位数字和个位数字组成的
两位数记为，记，若是一个完全平方数时，
则满足条件的自然数为 .
三、解答题（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．计算：（1）；（2）．
18．学习特殊平行四边形时，永永同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形，借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据他的思路完成以下作图与填空：
（1）尺规作图：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．在CB的延长线上截取BE＝BC，连接AE，再过点B作AE的垂线交AE于点F（只保留作图痕迹，不写作法，不另外添加字母和符号）；
（2）求证：四边形AOBF为矩形．
证明：∵BF⊥AE，∴ ① ．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵BE＝BC，∴ ② ，
又∵AD∥BC，∴四边形ADBE为 ③ ．
∴AF∥OB，∴∠FBO＝ ④ ．
∴∠AFB＝∠AOB＝∠FBO＝90°，
∴四边形AOBF为矩形．
19．有关人员开展了Deepseek1，Deepseek2两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取10份，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面给出了部分信息：
抽取的对Deepseek1款评分数据是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
抽取的对Deepseek2款评分数据在B组中的数据是：80，83，88，88．
类型 平均数 中位数 众数
DeepSeek1 86 87 b
Deepseek2 86 a 90
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝　 ，b＝　 ，m＝　 ；
（2）根据以上数据，你认为DeepSeek1和Deepseek2哪款AI聊天机器人更受欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该区选取500人参与DeepSeek1款AI聊天机器人进行评分，选取400人参与Deepseek2款AI聊天机器人进行打分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人 “非常喜欢”（x≥90）的共有多少人？
20．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分
∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P，Q同时从B点出发，点P沿着B→C方向运动，点Q沿着B→A→D方向运动，有一点到达终点，另一点停止运动，已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，若运动时间为x秒，将AQ的长度记为y1，△BPD的面积记为y2．
（1）直接写出y1，y2与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出y1，y2的图象并写出y1的一条性质；
（3）若函数y＝kx+2与y1有两个交点，请直接写出k的取值范围．
22．某快递员在各站点间投递快递的平面路线如图所示：A—B—C—D．已知点B在点A的北偏东45°方向3.6 km处，点C在点B的正东方2.4 km处，点D在点C的南偏东30°方向，点D在点A的正东方．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
（1）求线段CD的长度（精确到0.01 km）
（2）已知快递员在投递过程中全程保持10 m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点投递到D点，则快递员按既定路线A—B—C—D进行投递能否按时送达？（快递员在各站点停留的时间忽略不计）
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝-x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，点P（1，m）在直线y＝-x+3上．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若C是x轴的负半轴上一点，且S△PAC=S△AOB，求直线PC的表达式；
（3）在（2）的条件下，若E是直线AB上一动点，过点E作EQ∥x轴交直线PC于点Q，EM⊥x轴，QN⊥x轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边形EMNQ为正方形？若存在，请写出所有符合条件的点E的坐标，并写出求解点E的坐标的其中一种情况的过程.若不存在，请说明理由．
24．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，且∠B=60°，∠BAD =2∠ACB ，E为平面上的一点.
（1）如图1，若AE⊥BC,垂足为点E，CE=1，求AD的长；
（2）如图2，若点E在边BC上，且∠AEB=75°，CE=a，求AD的长；
（3）如图3，若点E在对角线BD所在直线上，EF∥AB交BC于点F，点G是CE的中点,连接FG， AG，AF，求证：.

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