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呼和浩特市 2024-2025学年度第二学期高一年级质量检测
数学试卷答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A D A D D C C B AD BCD BCD
12. 3 ； 13. k ∈ ( ∞, 2) ∪ ( 2, 1 ) ； 14. 48π .
2 3
15. 解：（1）由向量 与b的夹角 = ，且 | = 3，|b|= 3可知
6
·b = | ||b|cos =3 3 × 3 = 9 ……………………………………3分
2 2
| b| = 2 2 ·b + b2 = 3 ……………………………………6分
（2） ·（ b）= 2 b = 9· ………………………………………8分
2
9
cos < , b > = ·（ b） 2 3 = = ………………………………11分| || b| 3 3 2
所以 与 b 的夹角为 ……………………………………13分
6
( ) = ·
2 ·
16. 解(1) = ……………………………………6分
· ·( )
(2) 由 ( + ) = 2 ，cos( + )= 2 ……………………………………8分
4 3 4 3
cos( 3 ) = cos[π ( + )] = cos( + ) …………………………………13分
4 4 4
= 2 ………………………………15分
3
17. (1) 2 解 由余弦定理得 = = , …………………2分
2 4 2
由正弦定理得 · = +
2
= ( + ) = …………………………4分
2 2
因为 C是三角形内角，所以 > 0, ………………………………………5分
= 1 , B= 所以 所以 . ………………………………………7分
2 3
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(2) 由（1）知，B= C= 2 ， A, ………………………8分
3 3
0 < <
在锐角 中, 2有
0 < 2 A <
3 2

所以 < < , tan > 3, ………………………10分
6 2 3

由正弦定理得， = ,

2 (2
所以 c = = 3
A)

= + 3 =1+ 3 ……………………………12分

因为 tan > 3 3，则 1+ ∈（1，4）,
3
所以 c的取值范围是（1，4）. …………………15分
18.解（1）连接 OM ,
∵O，M分别是 AC, PC的中点，
∴OM//PA …………………2分
又∵OM 平面 ，PA不在平面 内，
∴PA//面 MBD. …………………4分
(2) 连接 OP,
在菱形 ABCD中，∠BAD=60°，三角形 BAD和三角形 BPD是等边三角形，
∴ ⊥AC， ⊥OP， ………………6分
∵AC∩OP=O，
∴ ⊥平面 PAC， …………………………7分
∴平面 PAC⊥平面 MBD. ……………………9分
(3) 过点 P作 PH⊥AC,
由（2）知， ⊥平面 PAC，
∴ ⊥PH，
∵ ∩AC=O,
∴PH⊥面 ABCD ……………………11分
∵ AB 2， BAD 60 ，所以 OP=OA= 3，又 AP= 3，
∴三角形 APO 3为等边三角形，∴PH= . ……………………13分
2
S 1所以 △BCD 2 2sin 60 3 ,2
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故三棱锥 的体积 = =
1 ………………15分2
= 1 × 1 ×PH
2 3
= 3 . ………………17分
4
19.解（1） ( ) = · — 3
= 2 · + 2 3 2 — 3 …………………1分
= 2 + 3 2
= 2 (2 + ) …………………3分
3
所以 ( )的最小正周期π. …………………4分
(2) [ , ], 若 令 t=2 + , 则 [ , 2 ], ………………5分
3 6 3 3 3
y=2 [ , 在 ] 2 上单调递增，在[ , ]单调递减， ………………6分
3 2 2 3
所以当 t= 时，此时 x = ，取最小值— 3， ………………7分
3 3
当 t= 时，此时 x = , 取最大值 2 . ………………8分
2 12
（3）由题可知， ( ) = 2 , ………………10分
则不等式为 ( + )2 (2 + 1)( — ） 2 2 < 0
令 t= — = 2 ( )
4
又 [0, ]，所以 [ 1, 1]， ………………12分
2
又( )2=1 2 · ，所以 2 · =1 2,
所以( + )2=1+2 · =2 2,
则不等式化为 (2 2) (2 + 1) 2 2 < 0,
可得 2 + (2 + 1) + 2 > 0 在 [ 1, 1] 恒成立，
即( +1)( + 2)> 0 在 [ 1, 1] 恒成立 ………………14分
①当 =0， + 2 > 0 在 [ 1, 1]恒成立，满足题意； ………………15分
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②当 a>0时，令( +1)( + 2)= 0， = 11 <0, 2 = 2 ,
1
（Ⅰ）当 = 2 = 1，即 时，( +1)( + 2)> 0 在 [ 1, 1] 恒成立；
2
1
（Ⅱ）当 < 2，即 0 < < 1 时，( +1)( + 2)> 0 在 [ 1, 1] 恒成立；
2
（Ⅲ）当 1 > 2 1，即 > 时, 若( +1)( + 2)> 0在 [ 1, 1]恒成立，
2
需 1<—1，即
1 < 1，所以 0< <1. ………………16分

③当 a<0时，
则 1>0> 2, 若( +1)( + 2)> 0 在 [ 1, 1]恒成立，需 1>1，
即 1>1，所以 1< <0.

综上所述， ( 1,1). ………………17分
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