资源简介

第08讲 角的比较与运算
课程标准 学习目标
①角的大小比较②角的和与差 ③角的平分线 ④角度的加减乘除运算 1. 掌握角的大小比较的方法，并能够熟练的比较角的大小． 2. 掌握角的和与角的差，并能够结合图形熟练的进行角度的计算． 3. 掌握角平分线及其等分线概念和意义，并能够在题目中熟练进行应用． 4. 掌握角度的加减乘除运算，并能够熟练的进行角度制的运算．
知识点01 角的大小比较
角的大小比较
方法1：叠合法：把角的 顶点 和 其中一边 重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小．
方法2：度量法：直角用量角器度量比较．
注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关．
【即学即练1】
1．如图，用三角板比较与的大小，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【即学即练2】
2．如图，若 ，则 与 的大小关系是（ ）．
A． B．
C． D．不能确定
知识点02 角的和与差
1. 角的和与差：
角的和：∠AOB是∠AOC与∠BOC的和，记作∠AOB＝∠AOC＋∠BOC
角的差：∠AOC是∠AOB与∠BOC的差，记作∠AOC＝∠AOB－∠BOC
∠BOC是∠AOB与∠AOC的差，记作∠BOC＝∠AOB－∠AOC
【即学即练1】
3．根据如图所示，下列式子错误的是（ ）

A． B．
C． D．
【即学即练2】
4．根据下图所示，下列式子错误的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点03 角的平分线
1. 角的平分线：
从角的顶点出发，把这个角分成 相等 的两个角的射线叫做这个角的平分线．
如图：若∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB
则OC是角∠AOB的平分线．
反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB．
2.角的等分线：
角的内部把角分成相等的角的射线，叫做角的等分线．把角分成了相等的几部分，就叫做角的几等分线．
【即学即练1】
5．如图，已知，，平分，平分，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
6．如图，O是直线上一点，过O作任意射线，平分，平分，则的度数是（ ）

A． B． C． D．不能确定
知识点04 角度的加减乘除运算
1. 角度的加减运算：
加法法则：度加度，分加分，秒加秒．满60秒向分进1，满60分向度进1．
减法法则：度减度，分减分，秒减秒．从低位算起，秒相减不够时向分借1分作60秒，分相减不够时向度借1度作60分．
2. 角度的乘除运算：
乘法法则：度、分、秒分别与倍数相乘，秒满60向分进1，分满60向度进1．
除法法则：度、分、秒分别与除数相除，从高位算起，度除不尽，向分转化，分除不尽，向秒转化．
【即学即练1】
7．计算：
(1)；
(2)．
【即学即练2】
8．计算：．
题型01 角的大小比较
【典例1】
9．如图，在边长相等的正方形网格中，与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法确定
【变式1】
10．如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．没有量角器，无法确定
【变式2】
11．如图，若，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．与的大小关系不确定
题型02 角度制的运算
【典例1】
12．列竖式计算：
(1)；
(2)．
【变式1】
13．计算：
(1)；
(2)．
【变式2】
14．计算：
；
．
【变式3】
15．计算：
(1)；
(2)．
题型03 角的计算
【典例1】
16．如图，已知，平分，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】
17．如图，是的角平分线，，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】
18．如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∠MON等于（　　）
A．90° B．135° C．150° D．120°
【变式3】
19．如图，∠AOB＝90°，∠AOC=50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．

（1）求∠MON的大小；
（2）当∠AOC＝时，∠MON等于多少度？
【变式4】
20．如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD=20°．
(1)若∠AOD=30°，求∠AOB的度数．
(2)若∠BOD=2∠AOD，求∠AOB的度数．
【变式5】
21．将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分．
(1)如图，若，求的度数；
(2)若，求的度数；
(3)将直角三角板绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中，当时，求的度数．
22．如图，方格纸中的和的大小关系是（ ）

A． B． C． D．
23．如图，平分，则等于（ ）

A． B． C． D．
24．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
25．已知，，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．，，互不相等
26．已知是内的一条射线，下列条件中能确定射线平分的是（ ）
A． B．
C． D．
27．如图，把一副三角板叠合在一起，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
28．若，，则的度数是（　　）
A． B． C．或 D．或
29．如图，∠AOC＝90°，OC平分∠DOB，且∠DOC＝22°36′，∠BOA度数是（　　）
A．67°64′ B．57°64′ C．67°24′ D．68°24′
30．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
31．如图，O为直线上一点，平分，，有下列四个结论：①；②若，则；③；④平分．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
32．小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么 （填“＞”“＜”或“＝”）
33．如图，小明手持激光灯照向地面，激光灯发出的光线与地面形成了两个角，若，则的度数为 ．
34．如图，已知，平分，且， ．
35．如图，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 OC是∠AOB的“巧分线”．若，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则∠AOC的度数为 ．
36．如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为 度.
37．根据题意填空
如图，点在直线上，平分，请说明平分的理由．
解：点在直线上，
∴_____°，
∵，
∴____，
____=____°，
又平分，
∴ （________________），
∴ （____________________）．
38．如图，已知过的内部任意一点C画射线，使，，若，分别平分和．求：
(1)的度数；
(2)求的度数．
39．如图，是的平分线，是的平分线．
(1)如果，，那么是多少度？
(2)如果，，那么是多少度？
40．已知O是直线上的一点，（本题中角的度数均为大于且小于等于）．
(1)如图1，若平分，平分，则_____．
(2)在（1）的条件下，如图2，若平分，求的值．
41．点O，E分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点A落在点处，点B落在点处．
(1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数；
(2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数；
(3)当点，落在的内部时，若，求的度数（用含的代数式表示）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《第08讲 角的比较与运算（4个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）》参考答案：
1．B
【分析】本题考查了角的大小比较，解题的关键是数形结合．由图可得，，，即可得出与的大小关系．
【详解】解：由图可得，，，
，
故选：B．
2．C
【分析】列出不等式，等量代换，即可求得结果．
【详解】解：，，
且，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了比较角的大小，解题关键是列出不等式进行等量代换．
3．C
【分析】本题考查的知识点是角的计算，根据各角之间的和差关系进行判断得出正确选项．
【详解】解：A.，正确，不符合题意；
B. ，正确，不符合题意；
C.由于不确定，所以，故此选项符合题意；
D. ，正确，不符合题意．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了角度的运算．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
根据角度之间的数量关系判断作答即可．
【详解】解：由题意知，A中，错误，故符合题意；
B中，正确，故不符合题意；
C中，正确，故不符合题意；
D中，正确，故不符合题意；
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了基本几何图形中的角度计算，角平分线的含义，掌握角度的运算法则是解题的关键．根据题意计算出，，的度数，再根据计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵平分，平分，
∴
∴，
故答案为：B．
6．B
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义进行求解是解决本题的关键．根据角平分线的定义得出，，再根据平角定义求解即可．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
又
∴．
故选：B．
7．(1)
(2)
【分析】此题考查了度分秒的计算．
（1）根据度分秒的计算方法进行计算即可；
（2）根据度分秒的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：
（2）
8．
【分析】本题主要考查了角度的计算，根据度、分、秒相邻单位之间是60进制，由此即可计算．
【详解】解：原式
9．A
【分析】本题考查了角的大小比较，解题的关键是正确作出辅助线．取格点，使得，即可求解．
【详解】解：如图，取格点，使得，
，
，
故选：A．
10．B
【分析】本题考查比较角的大小，由图知，故可比较大小．
【详解】解：∵图中三角尺为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：B．
11．A
【分析】本题主要考查了角度的大小比较和角度的和差关系．根据，，及得，由此可得出答案．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴，
∴，
故选：A．
12．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了角度的加减运算．
（1）根据角度的加法法则计算即可．加法法则：度加度，分加分，秒加秒．满60秒向分进1，满60分向度进1．
（2）根据角度的减法法则计算即可，减法法则：度减度，分减分，秒减秒．从低位算起，秒相减不够时向分借1分作60秒，分相减不够时向度借1度作60分．
【详解】（1）解：，
，
即；
（2）解：，
，
即．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查了度分秒之间的换算的应用，注意．
（1）先度分秒分别相加，再根据满进的原则求出即可；
（2）先进行单位的换算，再度分秒分别相减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．；．
【分析】先计算乘法，再计算减法即可；
先计算除法和括号内的减法，再计算减法即可；
此题主要考查了度分秒的计算，解题的关键是掌握计算顺序和运算法则．
【详解】解：
；
．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查了角度的运算，按照实数的运算顺序“先算乘除，后算加减”进行运算，注意是解题的关键．
（1）根据角的四则运算法则求解即可；
（2）根据角的四则运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．B
【分析】根据三角形角平分线的定义求解即可．
【详解】解：∵，平分，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
17．D
【分析】本题考查了角平分线的定义，根据题意得，即可得，根据角平分线的定义可得，即可得．
【详解】解：，，
，
，
∵是的角平分线，
，
，
故选D．
18．B
【分析】根据角平分线的性质求解即可；
【详解】∵∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，
∴∠COD＝90°（互为补角）
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠MOC+∠NOD＝（30°+60°）＝45°（角平分线定义）
∴∠MON＝90°+45°＝135°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角度的求解，准确利用角平分线计算是关键．
19．（21）45°；（2）45°
【分析】（1）先求出∠BOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠COM、∠CON，然后根据∠MON=∠COM－∠CON代入数据进行计算即可得解；
（2）把50°换为，根据（1）的计算求解即可.
【详解】解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC=50°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°，
∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
∴∠COM=∠BOC=×140°=70°，
∠CON=∠AOC=×50°=25°，
∴∠MON=∠COM-∠CON
=70°－25°
=45°；
（2）当∠AOC=时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+，
∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
∴∠COM=∠BOC=（90°+），
∠CON=∠AOC=，
∴∠MON=∠COM－∠CON=（90°+）－=45°.
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义，准确识图根据∠MON=∠COM-∠CON表示出∠MON是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）先求出∠AOC的度数，然后根据角平分线的定义求出∠AOB，于是得到结论；
（2）设∠AOD＝x，则∠BOD＝2x，根据角平分线的定义和角的倍分即可得到结论．
【详解】（1）解：∵∠COD＝20°，∠AOD＝30°，
∴∠AOC＝∠COD+∠AOD＝20°+30°＝50°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠AOC＝100°；
（2）解：设∠AOD＝x，则∠BOD＝2x，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝3x，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝AOB＝x，
∴x﹣x＝20°，
解得x＝40°，
∴∠AOB＝3x＝120°．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，是基础题，准确识图是解题的关键．
21．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据求解即可得；
（2）设，则，，根据角平分线的定义可得，再根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得；
（3）分两种情况：①在直线上方，②在直线下方，求出的度数，再根据角的和差求解即可得．
【详解】（1）解：∵直角三角板的直角顶点为点，
，
，
．
（2）解：设，则，
，
射线平分，
，
又，
，
解得，
．
（3）解：①如图，当在直线上方时，
，
，
射线平分，
，
，
；
②如图，当在直线下方时，
，
，
射线平分，
，
，
，
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查了角的和差、角平分线、一元一次方程的应用，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．
22．D
【分析】如图，证明，得到，再根据邻补角即可得出结论．
【详解】解：如图，由图可知：，

∴，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．
23．A
【分析】本题主要考查了角的和差关系和角平分线的定义．解题的关键是找准角与角之间的位置和数量关系，用和差的形式表示出来．
【详解】解：平分，
∴，
∴，
故选：A．
24．B
【分析】根据，进行计算即可．
【详解】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
、，原计算正确，故此选项符合题意；
、，原计算错误，故此选项不符合题意；
、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，掌握，是解题的关键．
25．B
【分析】本题考查角度的比较大小，关键是将度、分、秒转化为统一形式．将转化为度的形式再与，比较，注意：，．
【详解】解：，
∵，
∴，
只有选项B符合．
故选：B．
26．B
【分析】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握角平分线的定义是解题关键．直接利用角平分线的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A、，不能确定平分，故此选项不合题意；
B、，能确定平分，故此选项不合题意；
C、，不能确定平分，故此选项符合题意；
D、不能确定平分，故此选项不合题意．
故选：B．
27．A
【分析】因为等腰三角板中的锐角为45°，而直角三角板板中较大的锐角为60°，直接相减就可求得结果．
【详解】解：由图形可知，∠AOB=60°-45°=15°．
故选A．
【点睛】本题考查了三角板的角度运算，每副三角板中，都有一个等腰三角板和一个直角三角板，根据角的度数可以进行计算，也可以画出一些特殊度数的角．
28．C
【分析】本题主要考查角的计算．分两种情况：①在内部；②在外部．分别用的度数减去或加上的度数，即可求出两种情况下的度数．
【详解】解：①当在内部时，
；
②当在外部时，
．
的度数为或，
故选：C．
29．C
【分析】根据角平分线的性质求出∠BOC，再根据∠AOC＝90°，即可求出∠BOA．
【详解】∵OC平分∠DOB，∠DOC＝22°36′，
∴∠BOC=∠DOC＝22°36′
∵∠AOC＝90°
∴∠BOA=90°-22°36′=67°24′
故选C．
【点睛】此题主要考查角度的计算，解题的关键是熟知角平分线的性质．
30．C
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据题意可求出，，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，由题意得，，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
31．B
【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．格局平角的性质可判断①结论；根据邻补角和角平分线的定义，可判断②结论；根据互余和角平分线的定义，可判断③结论；根据角平分线的定义可判断④结论．
【详解】解：，
，①结论正确；
，
，
平分，
，②结论正确；
，平分，
，，
，
，
，③结论正确；
，，且无法证明，
无法证明平分，④结论错误；
故选：B．
32．＞
【分析】本题主要考查了角的大小比较，解题的关键是作出辅助线，得出，，即可得出答案．
【详解】解：如图，取点E，连接，
根据网格可知，，
∵，
∴．
故答案为：＞．
33．##度
【分析】根据平角的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平角的定义，正确得到是解题的关键．
34．##144度
【分析】设，根据题意，得出，进而得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据角之间的数量关系，得出，然后根据，计算即可得出答案．
【详解】解：设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理清角之间的关系是解本题的关键．
35．或或
【分析】分①，②，③，④四种情况，再根据角的和差进行计算即可得．
【详解】解：由题意，分以下四种情况：
①当时，射线是的“巧分线”，
，
；
②当时，射线是的“巧分线”，
，
，
；
③当时，射线是的“巧分线”，
，，
，
解得；
④当时，射线是的“巧分线”，
，，
，
解得；
综上，的度数为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．
36．
【分析】从长方形中抓出隐含条件A'D'∥BC，得出∠BCE=∠CED'，求∠CED'的大小只需根据折叠规律、平角知识和角的和差求出∠CED'大小即求出∠BCE．
【详解】折叠后的图形如下：
∵∠ABE=30°，
∴∠BEA'=∠BAE=60°，
又∵A'D'∥BC，
∴∠BCE=∠CED'，
又∵∠CED'=∠CED，
∴∠BCE=∠CED'=∠CED，
又∵∠DEC=∠DED'，
∴∠DEC=（180°-∠A'EA+∠AED）=（180°-120°+n°）=（30+）°，
∴∠BCE=（30+）°
故答案为：（30+）．
【点睛】本题综合考查了以长方形、平行线、两角互余的性质，图形的折叠特性、平角及角的和等知识为背景的角的计算，同时也可以用平角建立等量关系，方程的思想求解更简单．
37．；；；；角平分线定义；等量代换
【分析】本题考查了角平分线的定义、角的计算，根据定义求解即可．
【详解】点在直线上
，
又平分
（角平分线定义）
（等量代换）
故答案为：；；；；角平分线定义；等量代换．
38．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算角平分线的有关计算．
（1）直接根据计算即可；
（2）根据题意，由角平分线定义得出，，由计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵平分，平分，，，
∴，
∴
．
39．(1)
(2)
【分析】本题考查角平分线，理解角平分线的定义以及图形中角的和差关系是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可．
（2）根据角平分线的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线，，，
∴，，
∴．
（2）解：∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴
∵是的平分线，
∴．
40．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握定义，数形结合．
（1）先根据邻补角的定义求出，根据角平分线的定义得，，然后根据即可求解；
（2）先求出，再根据角平分线的定义求出的值即可求解．
【详解】（1）解：∵O是直线上的一点，
∴，
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，，
∴．
故答案为：．
（2）∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
41．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了折叠的性质、几何图中角度的计算，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键．
（1）由折叠的性质，得到，，根据，即可求解；
（2）由折叠的性质，得到，，根据，，根据即可求解；
（3）由折叠的性质，得到，，分当点在内部时，当点在外部时，两种情况得出结论．
【详解】（1）解：由折叠的性质，得到，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由折叠的性质，得到，，
∵，，
∴，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
由折叠的性质，得到，．
①如图2，当点在内部时，
∵，
∴；
②如图3，当点在外部时，
∵，
∴．
综上，的度数为或．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑