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第09讲 余角和补角
课程标准 学习目标
①余角和补角②余角和补角的性质 1．掌握余角与补角的概念及其性质，并能够熟练的对其应用．
知识点01 余角和补角
1．余角：
如果两个角的和等于 90° ，则这两个角互余。
即若∠1＋∠2＝90°，则 ∠1与∠2互余 或 ∠1是∠2的余角 或 ∠2是∠1的余角 。
2．补角：
如果两个角的和等于 180° ，则这两个角互补。
即若∠1＋∠2＝180°，则 ∠1与∠2互补 或 ∠1是∠2的补角 或 ∠2是∠1的补角 。
注意：余角和补角都是两个角的数量关系。
【即学即练1】
1．已知，则的余角度数是（　　）
A． B． C． D．
【即学即练2】
2．已知，则它的补角为（ ）
A． B． C． D．
知识点02 余角和补角的性质
1．余角和补角的性质：
同角的余角 相等 。即∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠3，则 ∠1＝∠3 。
同角的补角 相等 。即∠1的补角是∠2，∠2的补角是∠3，则 ∠1＝∠3 。
等角的余角 相等 。即若∠1＝∠2，∠1的余角是∠3，∠2的余角是∠4，则 ∠3＝∠4 。
等角的补角 相等 。即若∠1＝∠2，∠1的补角是∠3，∠2的补角是∠4，则 ∠3＝∠4 。
一个角的补角比这个角的余角大 90° 。
【即学即练1】
3．若与互补，与互补，则与的关系为（ ）
A．互余 B．互补 C．相等 D．以上都不对
【即学即练2】
4．若和互为余角， 与互补，则等于(　　)
A． B． C． D．
题型01 求余角和补角
【典例1】
5．若，则的余角是（ ）
A．43° B．47° C．57° D．137°
【变式1】
6．若与互补，，则 ．
【变式2】
7．若，则的余角的补角度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】
8．如果一个角的补角是，那么这个角的度数是（ ）
A． B． C． D．
题型02 余角和补角的性质的应用
【典例1】
9．若的余角为，则的补角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】
10．如果一个角的补角是，则这个角的余角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】
11．已知：，，且的补角等于的余角，则下列结论一定正确的是（ ）
A．是锐角 B．是钝角 C． D．
【变式3】
12．如果与互余，与互补，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】
13．如图，在三角形中，．D是边上的一个动点（点D不与A，B重合），过点D，C作射线，与边，形成夹角分别为，，则与满足数量关系（　　）
A． B．
C． D．
14．如果一个角的余角是30°，那么这个角的补角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
15．如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，可以推导出，最合理的理由是（ ）
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等
C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
16．如图，是一副三角尺的摆放位置，下列说法正确的是（ ）
A．和互余 B．和互补 C．和相等 D．
17．一个角的补角是，则他的余角是（　　）
A． B． C． D．没有余角
18．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
19．如图，已知，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
20．若与互为余角，与互为补角，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
21．下列说法中，错误的是（　　）
①若，则这三个角互补；②若线段，则点C是线段的中点；③一个角的补角一定是锐角；④若与互余，则的补角比大．
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
22．如图，点是直线上一点，平分，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（ ）

A．只有①④ B．只有①③④
C．只有③④ D．①②③④
23．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（ ）
A．与互余 B． C．与互补 D．平分
24．一个角的余角是，那么这个角的补角是 ．
25．已知一个角的余角是这个角的4倍，那么这个角的度数是 ．
26．已知与互余，与互补，写出与的数量关系： ．
27．已知是的补角．是的补角，若，则的度数为 ．
28．如图（射线在内部），与都是直角，则下列说法正确的是 ．（填序号）

①若，则 ②图中共有5个角
③ ④与的和不变
⑤时，平分．
29．已知一个锐角的补角比这个角的余角的3倍大，求这个角的度数．
30．已知O为直线上一点，，平分．若，求、的度数．
31．将直角三角板的直角顶点O放在直线上，，射线平分．
(1)求的度数；
(2)试说明平分．
32．新定义：如果两个角的和为，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知，与互为“兄弟角”，与互余．
(1)如图，当点在的内部，且点，点在的同侧时：
①若，则______°．
②若，射线在内部，且满足，求的度数（用含的式子表示）．
(2)直接写出所有可能的度数：______（可用含的式子表示）．
33．综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师以直线上一点O为端点作射线，，，，使平分，平分，若，求的度数．

特例探究：
（1）从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图2，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点O处，即当时，则的度数为______；（直接写出答案，不写过程）
（2）受“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点O处，即当时，请你在图3中求的度数；
数学思考：
（3）请你在图1中，求的度数）（用含有的式子表示）．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
《第09讲 余角和补角（2个知识点+2类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）》参考答案：
1．B
【分析】本题考查了求一个角的余角，如果两个角的和是，那么这两个互为余角，由此计算即可．
【详解】解：若，则的余角为，
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查补角及角度的运算，熟练掌握补角的意义及角度的运算是解题的关键；根据补角及角度的运算可进行求解
【详解】解：由题意得：；
故选A
3．C
【分析】本题考查了补角的性质，掌握同角或等角的补角相等是解题的关键．根据补角的性质求解即可．
【详解】解：∵与互补，与互补，
∴与相等．
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查余角和补角，先根据与互补以及的度数求出的度数，然后根据和互为余角即可求出的度数．
【详解】解：与互补，，
，
和互为余角，
．
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了余角的定义，解题的关键是熟练掌握“若两个角的和等于 ，就称这两个角互余”． 根据余角的定义，即若两个角的和等于 ，就称这两个角互余，即可解答．
【详解】解：∵，
的余角，
故选：B．
6．##30度
【分析】本题主要考查了与补角有关的计算，根据度数之和为180度的两个角互补求出的度数．
【详解】解：∵与互补，，
∴，
故答案为：．
7．B
【分析】本题考查了余角和补角的定义，先求出的余角，再求出的补角度数，即可作答．
【详解】解：∵，
∴的余角，
∴的补角度数是，
则的余角的补角度数是．
故选：B．
8．D
【分析】本题主要考查了求一个角补角的度数，根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可．
【详解】解：∵一个角的补角是，
∴这个角的度数是，
故选：D．
9．C
【分析】本题考查了余角和补角的运算，解题关键是明确两个角的和为90度，这两个角互为余角，两个角的和为180度，这两个角互为补角．
根据余角的定义，先求出，再求出它的补角即可．
【详解】解：∵的余角为，
∴，
∴的补角．
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了求一个角的补角与余角．设这个角为度，先根据补角的度数求得这个角，再求得这个角的余角即可．
【详解】解：设这个角为度，则，
解得，
则这个角的余角是，
故选：B．
11．C
【分析】本题主要考查了余角和补角以及相关计算，根据题意一一判断即可．
【详解】解：A．根据题意得，化简得，由于角大于零，则是钝角，故本选项不符合题意；
B．根据有余角，可以推断出是锐角，不是钝角，故本选项不符合题意；
C．根据的补角：，的余角：，根据题意得：，化简得，故本选项符合题意；
D．无法判断，故本选项不符合题意；
故选：C．
12．B
【分析】根据与互余，与互补，可得①，②，通过求差，可得与的关系．
【详解】解：∵与互余，与互补，
∴①，②，
②①得，，
变形为：，
故选：B．
【点睛】本题考查互为余角、互为补角的意义，利用等式的性质进行恒等变形，是寻找关系的一般方法．
13．D
【分析】本题考查了余角和补角，根据与互补，与互余可得，，列式相减即可得出结论．
【详解】解：由图可知与互补，与互余，
∴①，②，
得．
故选：D．
14．D
【分析】先根据余角的定义求出该角，然后在根据补角定义即可解答．
【详解】解：由题意，得：原来这个角为90°-30°=60°
又由补角的定义可得：80°-60°=120°
则这个角的补角的度数是120°
【点睛】本题主要考查了余角和补角的定义，理解基本概念是解答本题的关键．
15．A
【分析】根据同角的余角相等，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴（同角的余角相等），
故选：A
【点睛】本题主要考查了余角的性质，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键．
16．A
【分析】本题考查三角板中的计算，余角的定义．根据平角的定义，得到，即可得出结论．掌握和为90度的两角互余，是解题的关键．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∴和互余；
故选A．
17．D
【分析】本题考查补角和余角，先根据补角求出这个角的度数，再根据余角的定义求解．
【详解】解：∵一个角的补角为，
∴这个角，
∵，
∴这个角没有余角．
故选D．
18．C
【分析】本题考查了三角板中角度的计算，根据直角三角板可得第一个图形，进而可得；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第四个图形中，第三个图形和互补．
【详解】解：根据角的和差关系可得第一个图形，
根据等角的补角相等可得第二个图形，
第三个图形，不相等，
根据同角的余角相等可得第四个图形，
因此的图形个数共有3个，
故选：C．
19．C
【分析】此题考查几何图形中角度计算，根据几何图形求出，即可求出的度数，正确理解角度间的关系是解题的关键
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：C
20．B
【分析】根据互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，即可求出有关的结论．
【详解】解：∵∠1＋∠2＝90°（1），∠1＋∠3＝180°（2），
∴（2） （1）得，∠3 ∠2＝90°，
∴①正确．
（1）＋（2）得，∠3＋∠2＝270° 2∠1，
∴②正确．
（2） （1）×2得，∠3 ∠1＝2∠2，
∴③正确．
由∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝90°，
得，∠3＝180° ∠1＝2∠1＋2∠2 ∠1＝∠1＋2∠2，
∴∠3＞∠1＋∠2，
∴④错误．
故选：B．
【点睛】本题考查互余互补的有关定义，掌握在不同题型中的变式应用，每一问中的运算所用的运算方法是解题关键．
21．C
【分析】根据补角、余角定义以及线段中点的定义进行逐个判断即可．
【详解】解：因为补角是两个角之和是的关系，故①错误；
若线段，则点C不一定是线段的中点，如

故②错误；
因为一个角的补角不一定是锐角，比如的补角是，是一个钝角，故③错误；
若与互余，则，
∴，即的补角比大，故④正
确．
故选：C．
【点睛】本题考查补角、余角性质以及线段中点，解答的关键是理解基本几何定义或性质或判定．
22．B
【分析】根据补角以及角平分线的定义解决此题．
【详解】解：∵，
∴，
∴与互为余角，
故①正确．
∵平分，
∴，
∴无法推断得到，
故②错误．
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确．
∵，
∴．
∵平分，
∴
故④正确．
综上：正确的有①③④．
故选：B．
【点睛】本题主要考查角平分线、补角，熟练掌握角平分线的定义以及补角的定义是解决本题的关键．
23．D
【分析】本题考查了图形的翻折变换，余角，补角的定义，掌握图形的翻折变换的特征是解决问题的关键．利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断．
【详解】解：根据折叠的性质可知，，，
∵，
∴，即，故A不符合题意；
∴，故B不符合题意，D符合题意；
∵，故C不符合题意．
故选：D．
24．
【分析】首先根据这个角的余角求出这个角大小，再求它的补角．
【详解】解：若一个角的余角是，则这个角为，
则它的补角为，
故答案为：．
【点睛】本题考查补角、余角的定义：如果两个角的和为，则这两个角互为补角，如果两个角的和为，则这两个角互为余角．
25．##18度
【分析】本题主要考查了余角的定义，设这个角的度数为x，则这个角的余角度数为，根据互余的两个角的度数之和为90度建立方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角的余角度数为，
∴，
解得，
∴这个角的度数为，
故答案为：．
26．
【分析】本题考查了与余角、补角有关的计算，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键：如果两个角的和等于（直角），则这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于（平角），则这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角．
根据互为余角的定义可得，即，再根据互为补角的定义可得，然后将代入即可得出答案．
【详解】解：与互余，
，
，
与互补，
，
，
，
故答案为：．
27．##150度
【分析】根据题意得和的度数相等，解出n的值，求出的度数，再根据互为补角的两个角的和为，即可求出的度数．
本题考查了余角和补角的计算，关键是知道一个角与另外两个角互为补角，则这两个角相等．
【详解】∵是的补角，是的补角，
∴，
解得，
，
。
故答案为：
28．①③④⑤
【分析】①先根据余角的定义求出，再根据角的和差关系即可判定；
②根据角的定义数出图中的角即可判定；
③根据同角的余角相等即可求解；
④根据角的和差关系即可判定；
⑤先根据余角的定义求出°即可判定．
【详解】解：∵与都是直角，
∴若，则，则，故①正确；
图中，，，，，共6个角，故②错误；
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴与的和不变，故④正确；
∵，
∴，
∵，
∴，即平分，故⑤正确．
说法正确的是①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．
【点睛】本题考查了余角性质，以及角的计算，属基础题，准确识图是解题的关键．
29．
【分析】本题考查余角与补角，一元一次方程的应用，根据补角和余角的大小关系列方程，解方程即可．
【详解】解：设这个锐角等于．
根据题意，得．
解得．
答：这个锐角的度数是．
30．，
【分析】本题考查了几何图中角度的计算，与角平分线有关的计算，先求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数，从而求出的度数；根据即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵O为直线上一点，
∴．
31．(1)的度数为
(2)见解析
【分析】本题主要考查了角的计算，掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）根据求解即可；
（2）先算出，再算出，可得与的关系，平分．
【详解】（1）解：∵．
∴的度数为．
（2）证明：∵，
∵射线平分，
∴，
∵，
∴平分．
32．(1)①30；②
(2)或
【分析】本题主要考查了有关角的计算、余角的性质等知识点，明确题意、准得到角与角之间的数量关系是解题的关键．
（1）①由“兄弟角”的定义可得，再根据角的和差可得，然后得到方程即可解答；②先说明，，然后化成草图，再根据题意列方程求解即可；
（2）由余角的定义可得，再由与互为“兄弟角”可得，然后分当点，点在的同侧时和当点，点在的异侧时两种情况求解即可.
【详解】（1）解：①∵与互为“兄弟角”，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案为：30．
②∵与互余，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
如图：
∴，，，
∴，，
∵，
∴，解得：．
（2）解：当点，点在的同侧时，
∵与互余，，
∴，
∵与互为“兄弟角”，
∴，
∴．
当点，点在的异侧时，
．
故答案为：或．
33．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）求得，利用角平分线的定义得，据此求解即可；
（2）求得，利用角平分线的定义得，据此求解即可；
（3）求得，利用角平分线的定义得求解即可．
【详解】解：（1）因为，所以，
因为平分，平分，
所以，，
所以
；
故答案为：；
（2）因为，所以，
因为平分，ON平分，
所以，，
所以
；
（3）因为，所以，
因为平分，平分，
所以，，
所以
．
【点睛】本题考查角度计算，涉及角平分线的定义，解题的关键是根据题意得到．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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