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专题01 线段与角中的分类讨论与动点问题、折叠中求角
类型一：线段的分类讨论问题
类型二：线段中的动点问题
类型三：角中的分类讨论问题
类型四：角中的运动问题
类型五：在长方形的折叠中求角的度数
类型一：线段的分类讨论问题
1．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．直线l上有三点A、B、C，其中，，M、N分别是、的中点，则的长是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．直线上有A，B，C三点，点M是线段AB的中点，点N是线段BC的一个三等分点，如果AB=6，BC=12，求线段MN的长度．
5．【阅读材料】数学课上，老师给出了如下问题：如图1，一条直线上有四点，线段，点为线段的中点，线段，请你补全图形，并求的长．
以下是小华的解答过程：
解：如图2，
因为线段，点为线段的中点，
所以____________
因为，
所以______
小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点在线段上，事实上，点还可以在线段的延长线上．
完成以下问题：
(1)请你将小华的解答过程补充完整；
(2)根据小斌的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长．
6．如图，已知点为线段上一点，，，点分别是的中点．
(1)求的长度；
(2)若在直线上，且，求的长度．
7．已知，，点C为线段的三等分点，点A在点B左侧，点D在点E左侧．
(1)若线段在线段上运动．
①如图1，当点C为线段的中点时， ___________；（直接写出结果）
②M为线段上一点，且，，求线段的长；
(2)若线段在射线上运动，且，求线段的长．
类型二：线段中的动点问题
8．如右图所示：C是线段上一点，且，P、Q从C点同时出发，分别朝着点A运动、点B运动，且点P的运动速度是点Q的一半，当时，的长为（ ）

A． B． C． D．
9．如图，为直线上从左到右的三个点，，动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
(1)直尺的长为 ___________个单位长度；
(2)若直尺在数轴上O、C间，且B、C两点之间的距离是O、A两点之间的距离的4倍，求此时A点对应的数；
(3)设直尺以（2）中的位置为起点，以1个单位秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒．
①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，求m的值；
②当时，B、P、C三个点互不重合，且恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值．
11．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）．
【综合运用】
(1)填空：①A、B两点间的距离 ，线段的中点表示的数为 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
(2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
(3)求当t为何值时， ；
(4)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．
12．如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”．
(1)线段的中点 　　这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）
(2)若 ，点C是线段A的巧点，则　　；
(3)如图2，已知，动点P从点A出发，以 的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并说明理由．
类型三：角中的分类讨论问题
13．已知是的平分线，，平分，设，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
14．已知，过点O作射线，使．是的平分线，则的度数为（ ）
A． B．或 C．或 D．
15．已知，自的顶点引射线，若，那么的度数是（ ）
A．48° B．45° C．48°或75° D．45°或75°
16．如图，已知，是内的一条射线，且．
(1)求的度数；
(2)过点O作射线，若，求的度数．
17．已知内部有三条射线，，且在同一个平面内，，射线始终在射线的上方，，．
(1)如图，当平分时，求的度数；
(2)如图，若时，求的度数．
18．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
(1)求∠AOC，∠BOC的度数；
(2)作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度数；
(3)过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．
类型四：角中的运动问题
19．如图所示，设．将绕点旋转，当时，（ ）．

A． B． C． D．或
20．如图，平分．现有射线分别从同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转，则经过 秒后，射线的夹角为．
21．如图1，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC＝40°，则∠DOE的度数为________°；
（2）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变， 探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系：_________________________．
22．将一副三角板的两个锐角顶点重合，，，、分别是，的平分线．
(1)如图①所示，当与重合时，则的大小为 ．
(2)当绕着点O旋转至如图②所示，当，则的大小为多少？
(3)当绕着点O旋转至如图③所示，当时，求的大小．
23．【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由；
【拓广探索】
（3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
（4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由．
24．如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于）
(1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°；
(2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）
(3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数．
类型五：在长方形的折叠中求角的度数
25．将长方形纸片按如图所示方式折叠，使得，其中，为折痕，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
26．如图，将一张长方形纸片分别沿着折叠，使边，均落在上，得到折痕，，则等于（ ）
A． B． C． D．
27．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
28．将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
29．如图，长方形中，点E，点F分别在上，连接，点C落在点G处；将沿折叠，点B落在点H处；，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
30．点O，E分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点A落在点处，点B落在点处．
(1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数；
(2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数；
(3)当点，落在的内部时，若，求的度数（用含的代数式表示）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《专题01 线段与角中的分类讨论和动点问题、折叠中求角-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）》参考答案：
1．C
【分析】本题考查了两点间的距离的应用，熟练掌握两点间的距离的应用是解题的关键；
设，则，分为两种情况：①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，②当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，再根据各段绳子中最长的一段为列出方程，求出每个方程的解，代入求出即可．解此题的关键是能根据题意求出符合条件的两个方程进行求解．
【详解】解：设，则，
①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，
则绳子最长时，，解得：；
即绳子的原长是；
②当为对折点，则剪断后，有长度为，，，
则绳子最长时，，解得：；
即绳子的原长是；
这根绳子原来的长度为或，
故选：C
2．B
【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，分类讨论：当点C在线段的延长线上时，当点C在线段之间时，利用线段的中点公式及两点的距离公式即可求解．
【详解】解：当点C在线段的延长线上时，如图：
∵，，且M、N分别是、的中点，
∴，，
∴，
当点C在线段之间时，如图：
∵，，且M、N分别是、的中点，
∴，，
∴，
综上所述，的长是或，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查线段中点的定义，理解题意，考虑问题要全面是解题的关键．
根据线段中点的性质求出，根据题意求出，分点在线段上，点在线段上两种情况计算即可．
【详解】∵，点C是的中点，
∴，
∵，
∴，
如图，当点在线段上时，
∴，
如图，当点在线段上时，
∴，
故选： D．
4．1或5或7或11．
【分析】分类讨论点C在AB的延长线上，点C在B的左边，根据线段的中点，三等分点的性质，可得BM、BN的长，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：（1）点C在射线AB上，如：
点M是线段AB的中点，点N是线段BC的三等分点，MB=AB=3，BN=CB=4，或BN′=BC=8，MN=BM+BN=3+4=7，或MN′=BM+BN′=3+8=11；
（2）点C在射线BA上，如：
点M是线段AB的中点，点N是线段BC三等分点，MB=AB=3，BN=CB=4，或BN′=BC=8，MN=BN﹣BM=4﹣3=1，或MN′=BN′﹣BM=8﹣3=5．
【点睛】本题考查了两点间的距离，分类讨论是解题的关键，根据线段中点的性质，线段的和差，可得出答案．
5．(1)见解析
(2)图见解析，
【分析】（1）根据是的中点，即可得到与的数量关系，若在线段上时，根据和的长即可求得的长；
（2）根据是的中点，即可得到与的数量关系，若在射线上时，根据和的长即可求得的长．
【详解】（1）∵线段，点C为线段的中点，
∴；
∵，
当在线段上时，
∴；
（2）如图，当点在射线上时，
∵线段，点C为线段的中点，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了线段的性质、线段的和差等知识，解题的关键是读懂题意，分情况讨论．
6．(1)
(2)或
【分析】（）先求出的长，再根据中点定义求出，最后根据线段的和差关系计算即可；
（）分在点的右侧和左侧两种情况进行计算即可；
本题考查了线段的中点，线段的和差，掌握线段中点的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵点分别是的中点，
∴，，
∴；
（2）解：当在点的右侧时，如图，
；
当在点的左侧时，如图，
；
∴的长度为或．
7．(1)①11；②4或
(2)或21
【分析】本题考查了线段中点有关的计算、线段的和差、一元一次方程的应用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．
（1）①利用三等分点的定义求出、，利用中点定义求出，再根据线段的和差关系即可求出；②分当点D、M在点C的右侧和点D在点C的右侧，点M在点C的左侧两种情况，画出图形解答即可求解；
（2）分当线段在线段上，点D在的延长线上、点E在线段上和线段在线段的延长线上三种情况画出图形解答即可求解．
【详解】（1）解：①如图1，∵点C为线段的三等分点，
∴，，
∵点C为线段的中点，
∴，
∴，
故答案为：11；
②如图，当点D、M在点C的右侧时，
设，则，，，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
如图，当点D在点C的右侧，点M在点C的左侧时，
设，则，，，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
∴线段的长为4或；
（2）解：如图，当线段在线段上时，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
如图，当点D在的延长线上，点E在线段上时，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得，不合，舍去；
如图，当线段在线段的延长线上时，
设，则，，，
∵，
∴，
解得，
∴；
综上，线段的长为或21．
8．C
【分析】本题考查线段的和差倍分，根据点P的运动速度是点Q的一半，可得，根据可得，则．
【详解】解：点P的运动速度是点Q的一半，
，
，，
，
，
，
故选C．
9．D
【分析】本题考查了线段的和差关系，根据题意可设，，则，，可求出，，，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：设，则，
∵动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍，
∴，
设，则，
∴，
，
∴，
故选：D．
10．(1)20
(2)8
(3)①，，②或或
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系和两点之间的距离公式是解题的关键．
（1）根据题意列式求解即可；
（2）根据“B、C两点之间的距离是O、A两点之间的距离的4倍”列方程求解；
（3）①根据“B、P、C三点恰好在同一时刻重合”列方程组求解；
②根据“恰好有一个点到另外两个点的距离相等”列方程求解．
【详解】（1）解：由题意得： ；
（2）解：设A点对应的数为x，根据题意得：
，
解得：，
答：此时A点对应的数为8；
（3）解：点B表示的数为，点P表示的数为，点C表示的数为60，
①由题意得：且，
解得：，；
②当时，点B表示的数为38，点P表示的数为，点C表示的数为60，
由题意得：或或，
解得：或或．
11．(1)①10，3； ②，
(2)相遇点所表示的数为：
(3)或
(4)不发生变化，理由见解析
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，两点间距离和数轴，熟练掌握点的移动以及点所表示的数之间的关系是解题的关键．
（1）根据题意即可得到答案；
（2）当P、Q两点相遇时，P、Q两点表示的数相等，列方程求解即可；
（3）t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，根据题意列方程即可；
（4）将点M表示的数为：，点N表示的数为：，即可得到答案．
【详解】（1）解：①，线段的中点表示的数为；
②由题意可得点P表示的数为，点Q表示的数为，
故答案为：①10，3；②，；
（2）解：t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，
P、Q两点相遇时，，
解得：，
此时相遇点所表示的数为：；
（3）解：t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，
，
又，
，
解得：或；
（4）解：不发生变化，理由如下：
点M，N分别为，的中点，
点M表示的数为：，
点N表示的数为：，
由两点间的距离公式可得：．
12．(1)是
(2)或或
(3)t为或3或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点，理由见解析．
【分析】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，准确理解“巧点”的概念，利用分类讨论思想解题是关键．
（1）根据“巧点”的定义即可求解；
（2）分，进行讨论求解即可；
（3）t秒后，，然后分当P为A、Q的巧点，Q为A、P的巧点时列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，当C是线段的中点，则，
∴线段的中点是这条线段的“巧点”．
故答案为：是；
（2）解：∵线段，点C是线段AB的“巧点”，
∴①当时，
此时；
②当时，
此时；
③当时，
此时；
综上，AC的长为或或，
故答案为：或或．
（3）解：t秒后，，
①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；
②当P为A、Q的巧点时，
i）当，即时，
∴，
解得：；
ii）当，即时，
∴，
解得：；
iii）当，即时，
∴(12﹣t)，
解得：；
③当Q为A、P的巧点时，
i）当，即时，
∴，
解得：（舍去）；
ii）当，即时，
∴，
解得：；
iii）当，即时，
∴，
解得：；
综上，t为或3或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点．
13．A
【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可．
【详解】解：如图1，当位于内部时，
∵，是的平分线，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，
∴，
∴；
如图2，当位于外部时，
∵，是的平分线，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，
∴，
∴；
综上可知或．
故选：A．
14．B
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，分点B在内部和点B在外部两种情况先求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数即可得到答案．
【详解】解：如图1所示，当点B在内部时，
∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴；
如图2所示，当点B在外部时，
∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或，
故选：B．
15．D
【分析】可知的值；所引射线有两种情况①在内，此时；②在外，此时．
【详解】解：，
①在外
②在内
为或
故选D．
【点睛】本题考查了角的和与差．解题的关键在于确定射线的位置．
16．(1)
(2)的度数为：或
【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，根据已知条件，判断射线在内和外两种情况是解答本题的关键．
（1）根据已知角度之间比例关系，找到所求角度的关系式，进而计算出结果．
（2），有两种情况，射线在内，射线在外，分别计算出对应的大小．
【详解】（1）解：，，
．
（2）解：，
，
当在内时，如图所示：
；
当在外时，如图所示：
，
综上分析可知，的度数为：或．
17．(1)；
(2)的度数为或．
【分析】（1）根据题意，求得、的度数，再根据角平分线的定义，求得的度数，从而得到的度数，即可求解；
（2）分两种情况，在的上方或在的下方，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得：，，
设
当在的上方时，，
∴，
∴，
由可得，
解得，即；
当在的下方时，则，
∴，
∴
由可得
解得，即；
综上，的度数为或．
【点睛】此题考查了角的和差关系，角平分线的定义，解题的关键是根据题意，找到角的和差关系，学会利用分类讨论的思想求解问题．
18．(1)∠AOC=40°，∠BOC=80°
(2)40°
(3)∠COD的度数为32°或176°
【分析】（1）根据∠AOC：∠BOC=1：2，即可求解；
（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解；
（3）分OD在∠AOB内部和外部两种情况分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵∠AOC：∠BOC=1：2，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠AOB=×120°=40°，
∠BOC=∠AOB=×120°=80°；
（2）∵OM平分∠AOC，
∴∠COM=∠AOC=×40°=20°，
∵∠CON：∠BON=1：3，
∴∠CON=∠BOC=×80°=20°，
∴∠MON=∠COM+∠CON=20°+20°=40°；
（3）如图，当OD在∠AOB内部时，
设∠BOD=x°，
∵2∠AOD=3∠BOD，
∴∠AOD=，
∵∠AOB=120°，
∴x+=120，
解得：x=48，
∴∠BOD=48°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=80°-48°=32°，
如图，当OD在∠AOB外部时，
设∠BOD=y°，
∵2∠AOD=3∠BOD，
∴∠AOD=，
∵∠AOB=120°，
∴+y+120°=360°
解得：y=96°，
∴∠COD=∠BOD+∠BOC
=96°+80°
=176°，
综上所述，∠COD的度数为32°或176°．
【点睛】本题考查了角的计算及角平分线，掌握角的特点及比例的意义是解决问题的关键．
19．D
【分析】本题主要考查角的计算、旋转的性质等知识点，灵活分类讨论思想是解题的关键．
分在内部和外部两种情况，分别运用角的和差以及旋转的性质进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
①如图1：当在内部时，

设，
则，，，
∵，
∴，解得：；
②如图2：当在外部时，

设，则，
∵，
∴，解得：；
综上，或．
故选：D．
20．8或20
【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用．分，相遇之前与相遇之后分别讨论，求出结果即可．
【详解】解：∵，平分，
∴，
设经过秒后，射线、的夹角为，
∴或，
解得：或．
∵射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转，
∴，
∴，
∴经过秒或秒后，射线、的夹角为．
故答案为：8或20．
21．（1）20°；（2）∠AOC=2∠DOE，理由见解析；（3）∠AOC=360°-2∠DOE，理由见解析．
【分析】（1）由∠AOC的度数可以求得∠BOC的度数，由OE平分∠BOC，可以求得∠COE的度数，又由∠DOC=90°可以求得∠DOE的度数；
（2）根据直角和角平分线的定义可得∠COE=∠BOE=90°-∠DOE，再利用平角的定义和角的和差即可求得∠AOC=2∠DOE；
（3）根据（2）的解题思路，即可解答．
【详解】解：（1）∵∠AOC=40°，
∴∠COB=180°-∠AOC=180°-40°=140°，
∵OE平分∠COB，
∴，
又∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=20°；
（2）∠AOC=2∠DOE；
理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=90°-∠DOE，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（90°-∠DOE），
∴∠AOC=2∠DOE；
（3）∠AOC=360°-2∠DOE；
理由：∵OE平分∠BOC，∠COD是直角，
∴∠BOE=2∠COE，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（∠DOE-90°），
∴∠AOC=360°-2∠DOE；
【点睛】本题考查角平分线的有关计算，平角的定义．解题关键是掌握角的和差，能正确运用角的和差进行计算（表示）．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，数形结合．
（1）根据角平分线的定义直接进行计算即可；
（2）先根据算出，，然后根据角平分线的定义进行计算即可；
（3）用n表示出，，然后根据角平分线的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，，、分别是、的平分线，
∴，，
∴．
故答案为：．
（2）解：当时，，，
∵、分别是、的平分线，
∴，，
∴；
（3）解：当时，，，
∵、分别是、的平分线，
∴，
，
∴．
23．（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、旋转性质以及角的计算等知识点，灵活运用有关性质以及角的和差关系求角成为解题的关键．
（1）由已知可求出，再由、平分求出的度数即可；
（2）由（1）得，从而用含a的代数式表示出的度数即可；
（3）由可得，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可；
（4）根据角的和差关系以及角平分线的定义解答即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴；
（2）由（1）得，，
，
．
故答案为：；
（3）．理由如下:
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（4）∵平分，
又∵，
．
故答案为：．
24．(1)100
(2)，
(3)
【分析】本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据可得答案；
（2）先分别表示出，，然后根据，求解即可；
（3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴
；
故答案为：100；
（2）如图，
∵，，，
∴，，
∵，，
∴，；
（3）①当时，如图，
∵，
∴，，
∵，，
∴
；
②当时，如图，
∵，
∴，
，
∴
．
综上所述：的度数为．
25．D
【分析】本题考查翻折变换，由折叠可得，，，再根据进行计算即可．
【详解】解：由折叠可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
26．C
【分析】本题考查折叠问题，根据折叠前后对应角相等可得，，结合长方形中可得答案．
【详解】解：由折叠知，，
，，
，
，
故选C．
27．C
【分析】利用折叠的特性可得：∠CBD＝∠EBD＝25°，再利用长方形的性质∠ABC＝90°，则∠ABE＝90° ∠EBC，结论可得．
【详解】解：由折叠可得：∠CBD＝∠EBD＝25°，
则∠EBC＝∠CBD＋∠EBD＝50°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝90° ∠EBC＝40°，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的计算，折叠的性质，利用折叠得出：∠CBD＝∠EBD是解题的关键．
28．D
【分析】本题考查了折叠的性质，由折叠的性质可得：，，结合得出，即可得解，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，即，
∴，
∴，
故选：D．
29．A
【分析】本题考查了折叠以及角的运算，易得因为平角，故因为，则即可作答．
【详解】解：由折叠得到：
又∵
∴
∵，
∴
故选：A．
30．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了折叠的性质、几何图中角度的计算，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键．
（1）由折叠的性质，得到，，根据，即可求解；
（2）由折叠的性质，得到，，根据，，根据即可求解；
（3）由折叠的性质，得到，，分当点在内部时，当点在外部时，两种情况得出结论．
【详解】（1）解：由折叠的性质，得到，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由折叠的性质，得到，，
∵，，
∴，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
由折叠的性质，得到，．
①如图2，当点在内部时，
∵，
∴；
②如图3，当点在外部时，
∵，
∴．
综上，的度数为或．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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