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1.1.1：空间向量及其线性运算题型总结
题型一、空间向量概念
1．下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同
2．下列说法正确的是（ ）
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量
D．不相等的两个空间向量的模可能相等
3．下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
题型二、空间向量的加减运算
4．已知四面体中，是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱锥中，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，N为CD中点，如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：空间共线向量定理
7．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．8
8．已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型四、空间共面的向量定理
10．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ）
A．1 B． C． D．
11．已知点在平面内，且对空间任意一点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．在四面体中，点满足，若，则（ ）
A． B． C． D．1
题型五：空间向量的数乘运算
13．在三棱柱中，是的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
14．已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（ ）
A． B． C． D．
15．若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
题型六：空间向量线性运算综合问题
16．如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式：
； (2)； (3)； (4).
17．在四棱柱中，，．
(1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面；
18．在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点.
(1)若，求的值；
(2)设，，，求的值.
1.1.1：空间向量及其线性运算题型总结答案
题型一、空间向量概念
1.【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；
单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；
向量不能比较大小，故C错误；相等向量其方向必相同，故D正确；故选：D.
2.【详解】对A，零向量的相反向量是本身，故A错；
对B，终点构成一个球，故B错；
对C，向量不能比较大小，故C错；
对D，相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确；故选：D
3.【详解】选项A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确；
选项B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确；
选项C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，该选项错误；
选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确.故选：C.
题型二、空间向量的加减运算
4．【详解】因为四面体中，是的中点，
所以. 故选：B.
5.【详解】连接，根据向量的运算法则，可得.故选：B.
6.【详解】连接，因为为的中点，所以，
所以，故选：A.
题型三：空间共线向量定理
7.【详解】因为A、B、D三点共线，所以使得又，，，
所以 则
则解得： 故选：A.
8.【详解】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，，
若与共线，设，即，
可得，解得，故.故选：D.
9.【详解】因为三点共线，所以，
即，故，解得，所以. 故选：C
题型四、空间共面的向量定理
10.【详解】因为，所以，可化简为：，即，由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C
11.【详解】由点在平面内，可知，
又，
所以，三项相加可得. 故选：B.
12.【详解】如图所示，根据空间向量的线性运算法则，
可得，
因为，可得，所以. 故选：B.
题型五：空间向量的数乘运算
13.【详解】因为，所以，所以
.故选：C
14.【详解】因为分别是的中点，是的中点，
所以，，
则. 故选：D.
15.【详解】对于A，；
对于B，；
对于C，；
对于D，.故选：A.
题型六：空间向量线性运算综合问题
16．【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）因为E，F分别是棱AB，CD的中点， 所以.
17.【详解】（1）四棱柱中，，
因为，所以
；
（2）设（不为0），
，
则共面且有公共点，则四点共面；
18.【详解】（1）正四面体中，在底面内的投影为正的中心，
∴，
∴，，，∴.
（2）因为，且，，，
所以，即，
因为，，，共面，所以，即.

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