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宁远县三中2025年7月高二期末考试
数学
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2．若复数是纯虚数，则实数（ ）
A. B. C. D.
3．二项式的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
4．对任意实数，，，在下列命题中，真命题是（ ）
A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件
C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件
5．某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（ ）
A. 30 B. 60 C. 120 D. 180
6．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的一个周期为 B. 的最大值为
C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有3个零点
7．在等边中，已知点，满足，，与交于点，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8．数列的前n项和为，若，，且，则（ ）
A. B. C. D.
多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9．某大学生做社会实践调查，随机抽取名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下：、、、、、，则下列关于该样本数据的说法中正确的是（ ）
A. 均值为 B. 中位数为
C. 方差为 D. 第百分位数为
10．四棱锥的底面为正方形，与底面垂直，，，动点在线段上，则（ ）
A. 不存在点，使得 B. 的最小值为
C. 四棱锥的外接球表面积为 D. 点到直线的距离的最小值为
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，其中，且，若边上的中点为，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知平面向量满足，，，则向量夹角的余弦值为__________.
13．已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是_______.
14.已知反比例函数图象上三点的坐标分别，与，过B作直线的垂线，垂足为Q.若恒成立，则a的取值范围为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15，记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
sin A+cosA =2.
(1)求A;
(2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.
16，如图,四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形,BC∥AD,EF∥AD,AD=4,AB=,BC=EF=2,AF=,FB⊥平面ABCD,M为AD上一点,且FM⊥AD,连接BD、BE、BM.
(1)证明:BC⊥平面BFM;
(2)求平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值.
17，已知数列{an}满足an+1=an+1,且a1=1.
(1)求证:{an-2}是等比数列,并求出{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1+b2+…+bn=an,求数列{nbn}的前n项和Tn.
18，已知函数f(x)=aex-ln x-1.
(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;
(2)证明:当a≥时, f(x)≥0.
19，甲、乙两人参加知识竞赛活动,比赛规则如下:两人轮流随机抽题作答,答对积1分且对方不得分,答错不得分且对方积1分;然后换对方抽题作答,直到有领先2分者晋级,比赛结束.已知甲答对题目的概率为,乙答对题目的概率为p,答对与否相互独立,抽签决定首次答题方,已知两次答题后甲、乙两人各积1分的概率为.记甲、乙两人的答题总次数为n(n≥2).
(1)求p;
(2)当n=2时,求甲得分X的分布列及数学期望;
(3)若答题的总次数为n时,甲晋级的概率为Pn(A),证明:≤P2(A)+P3(A)+…+Pn(A)<.
答案
1．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得或，所以，
由，得，所以，
所以.
故选：A.
2．若复数是纯虚数，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，则，有.
故选：A
3．二项式的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】二项式的通项公式为，
令，所以常数项为，
故选：A
4．对任意实数，，，在下列命题中，真命题是（ ）
A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件
C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件
【答案】B
【解析】对于A，若，则由，“”不是“”的必要条件，A错．
对于B，，“”是“”的必要条件，B对，
对于C，若，则由，推不出，“”不是“”的充分条件
对于D，当时，，即成立，此时不一定有成立，
故“”不是“”的充分条件，D错误，
故选：B．
5．某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（ ）
A. 30 B. 60 C. 120 D. 180
【答案】B
【解析】先从5人中选出4人值班，
再从4人中选出2人值第三天，剩余2人分别值第一、二天，
所以安排方法数为.
故选：B.
6．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的一个周期为 B. 的最大值为
C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有3个零点
【答案】D
【解析】A.，故A错误；
B.，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B错误；
C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
D.，即，，
即或，解得：，
所以函数在区间上有3个零点，故D正确.
故选：D
7．在等边中，已知点，满足，，与交于点，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，，
，
则，得，，
即,
则在上的投影向量为，
，
所以在上的投影向量为.
故选：C
8．数列的前n项和为，若，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，则，
即，即数列的所有偶数项构成首项为，公比为3的等比数列，
令，则，
即，由于，则，
故
，
故选：D
二，多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9．某大学生做社会实践调查，随机抽取名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下：、、、、、，则下列关于该样本数据的说法中正确的是（ ）
A. 均值为 B. 中位数为
C. 方差为 D. 第百分位数为
【答案】ABD
【解析】由题意可知，该组数据的均值为，故A正确；
中位数为，故B正确；
方差为，故C错误；
因为，第百分位数为，故D正确.
故选：ABD.
10．四棱锥的底面为正方形，与底面垂直，，，动点在线段上，则（ ）
A. 不存在点，使得 B. 的最小值为
C. 四棱锥的外接球表面积为 D. 点到直线的距离的最小值为
【答案】BD
【解析】对于A：连接，且，如图所示，当在中点时，
因为点为的中点，所以，因为平面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为为正方形，所以.
又因为，且，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以A错误；
对于B：将和所在的平面沿着展开在一个平面上，如图所示，
则的最小值为，直角斜边上高为，即，
直角斜边上高也为，所以的最小值为，所以B正确；
对于C：易知四棱锥的外接球直径为，
半径，表面积，所以C错误；
对于D：点到直线距离的最小值即为异面直线与的距离，
因为，且平面，平面，所以平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，过点作，
因为平面，所以,又,且,
故平面，平面，所以，因为，
且，平面，所以平面，所以点到平面的距离，
即为的长，如图所示，
在中，，，可得，
所以由等面积得，即直线到平面的距离等于，所以D正确，
故选：BCD.
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，其中，且，若边上的中点为，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A：，由正弦定理得，即，，因为，所以，所以，，，故A正确；
对于B：由余弦定理知，，因为，，所以，，当且仅当时等号成立，因为，所以的最大值为，故B正确；
对于C：由B知，则，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错；
对于D：因为为边上的中线，所以，，得，因为，所以的最小值为，故D正确；
故选：ABD.
三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知平面向量满足，，，则向量夹角的余弦值为__________.
【答案】##
【解析】由题设，
所以.
故答案为：
13．已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是_______.
【答案】
【解析】，则或，即或.
①当时，，满足，符合题意；
②当时，，所以若，
则有或（舍），解得；
③当时，，所以若，
则有或（舍），解得.
综上所述，.
故答案为：
14.已知反比例函数图象上三点的坐标分别，与，过B作直线的垂线，垂足为Q.若恒成立，则a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由题意得：反比例函数为，因为点P在反比例函数图象上，所以，，所以
，
记，由题意得：恒成立，
当，则，解得：，由于，故；
下面证明当时，恒成立，即
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15，记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
sin A+cosA =2.
(1)求A;
(2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.
解析　(1)由已知得=1,因为0由,得sin Bsin C=2sin Csin Bcos B,又sin B≠0,且sin C≠0,所以cos B=,则sin B=,则b=,又sin C=sin(A+B)=
sin Acos B+cos Asin B=,所以c=,即a+b+c=2+3,所以△ABC的周长为2+3.
16，如图,四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形,BC∥AD,EF∥AD,AD=4,AB=,BC=EF=2,AF=,FB⊥平面ABCD,M为AD上一点,且FM⊥AD,连接BD、BE、BM.
(1)证明:BC⊥平面BFM;
(2)求平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值.
解析　(1)证明:因为FB⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,
所以FB⊥AD.又FM⊥AD,且FB∩FM=F,FB,FM 平面BFM,
所以AD⊥平面BFM.因为BC∥AD,所以BC⊥平面BFM.
(2)作EN⊥AD,垂足为N.则FM∥EN.又EF∥AD,
所以四边形FMNE是平行四边形,又EN⊥AD,
所以四边形FMNE是矩形,又四边形ADEF为等腰梯形,且AD=4,EF=2,所以AM=1.
由(1)知AD⊥平面BFM,所以BM⊥AD.又AB=,
所以BM=1.在Rt△AFM中,FM=.
在Rt△FMB中,FB==3.
以B为原点,BM,BC,BF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
则A(-1,-1,0),B(0,0,0),F(0,0,3),D(-1,3,0),E(0,2,3),
所以=(1,1,0),=(0,0,3),=(-1,3,0),=(0,2,3),
设平面ABF的法向量为m=(x1,y1,z1),
由可取m=(1,-1,0).
设平面DBE的法向量为n=(x2,y2,z2),
由可取n=(9,3,-2).
因此,cos=.
故平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为.
17，已知数列{an}满足an+1=an+1,且a1=1.
(1)求证:{an-2}是等比数列,并求出{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1+b2+…+bn=an,求数列{nbn}的前n项和Tn.
解析　(1)由an+1=(an-2),
所以数列{an-2}是首项为a1-2=-1,公比为的等比数列,
所以an-2=-,an=2-.
(2)由(1)得b1+b2+…+bn=2-,
当n=1时,b1=1;
当n≥2时,由b1+b2+…+bn=2-,
得b1+b2+…+bn-1=2-,
两式相减得bn=,b1=1也符合,
所以bn=,n∈N*,
所以Tn=1×1+2×,
所以,
两式相减得,
故Tn=4-.
18，已知函数f(x)=aex-ln x-1.
(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;
(2)证明:当a≥时, f(x)≥0.
解析　(1)f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=aex-,
则f '(2)=ae2-=0,解得a=,故f '(x)=.
易知f '(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且f '(2)=0,
由f '(x)>0,解得x>2;由f '(x)<0,解得0所以f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(0,2).
(2)放缩法
当a≥时, f(x)≥-ln x-1.
设g(x)=-ln x-1,则g'(x)=.
当01时,g'(x)>0.
所以x=1是g(x)的极小值点,即是g(x)的最小值点.
故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.因此,当a≥时, f(x)≥0.
19，甲、乙两人参加知识竞赛活动,比赛规则如下:两人轮流随机抽题作答,答对积1分且对方不得分,答错不得分且对方积1分;然后换对方抽题作答,直到有领先2分者晋级,比赛结束.已知甲答对题目的概率为,乙答对题目的概率为p,答对与否相互独立,抽签决定首次答题方,已知两次答题后甲、乙两人各积1分的概率为.记甲、乙两人的答题总次数为n(n≥2).
(1)求p;
(2)当n=2时,求甲得分X的分布列及数学期望;
(3)若答题的总次数为n时,甲晋级的概率为Pn(A),证明:≤P2(A)+P3(A)+…+Pn(A)<.
解析　(1)记Ai=“第i次答题时为甲”,B=“甲积1分”,
则P(A1)=,P(B|Ai)=,P(|Ai)=1-,P(B|)=1-p,P()=p,
由题意得,
则,解得p=.
(2)由题意可知当n=2时,X可能的取值为0,1,2,
由(1)可知P(X=1)=,又P(X=0)=,P(X=2)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×.
(3)证明:由答题总次数为n时甲晋级,不妨设此时甲的积分为x甲,乙的积分为x乙,则x甲-x乙=2,且x甲+x乙=n,所以甲晋级时n必为偶数,令此时的n=2m,m∈N*,
当n为奇数时,Pn(A)=0,
则P2(A)+P3(A)+…+Pn(A)=P2(A)+P4(A)+…+Pn(A)
=
=
=,
又∵m≥1时,P2(A)+P3(A)+…+Pn(A)随着m的增大而增大,
∴≤P2(A)+P3(A)+…+Pn(A)<.

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