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2026届九年级数学暑期预习检测卷
一元二次方程
参考答案
选择题（本大题共8小题,每小题2分,共16分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A A B B A A
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共20分）
9. 3
10. 2
11. （答案不唯一）
12. 1
17
14. 2
15.
16. 2
17. 3
18. 3
三、解答题（本大题共9小题，共64分）
19.（6分）（1）解： ∵
∴-----------------------1分
∴--------------------------3分
（2）解：∵
∴-----------------4分
∵
∴----------------------------------5分
即.----------------------------------6分
20.（6分）证明：∵
∴-----------------------2分
∵-----------------------------------4分
∴----------------------------5分
即无论x取何值，该代数式的值总大于0。-----------6分
21.（6分）解：∵
∴ ------------2分
∵方程有两个实数根
∴ ----------------------------------------------------3分
即---------------------------------------------------------------------------5分
解得.---------------------------------------------------------------------------------6分
22.（8分）（1）解：∵
∴--------------------------2分
∵方程有两个不相等实数根，故
即----------------------------------------------------3分
解得。--------------------------------4分
（2）解：将x=0代入方程
得，即。此时方程为-------------5分
因式分解得-----------------------------------------6分
另一个根为-------------------------------------------------7分
∵---------------------------------------------------------8分
∴的值为0.
23.（8分）（1）-------------------------------------------------------2分
（2）解：设利润为元.
则
又∵元，
∴=700--------------------------------3分
化简得-----------------------------------4分
即
解得-----------------------------------------6分
∵要减少进货量∴舍去.∴.--------7分
答：每件商品应涨价5元.-------------------8分
24.（8分）解：设道路宽为米
花草面积为。---------------2分
展开得----------------------------------------4分
因式分解
解得 （不合题意，舍去）-----------------7分
答：道路宽为2米.---------------------------------------------------8分
25.（10分）（1）证明：∵，，
∴，方程有两不等实根。----------1分
由根与系数的关系，可得，
∴。--3分
（2）解：将带入原方程可得：
----------------------------4分
-------------------------------------------------5分
又∵
∴另一根为----------------------------------------------------6分
（3）解：∵，----------------7分
将其代入
，-------------------------------------8分
得-----------------------------------------------------------9分
。---------------------------------10分
26.（10分）（1）解：将t=0带入原方程得，
∴
解之得。---------------------2分
（2）解：原方程因式分解
，-----------------------------4分
因根为正整数，故且为正整数.
∴ 。
∴t=-1,0,1等。------------------------------------5分
（3）设方程的两个正整数根为，由根与系数的关系可得：
-------------------------------------------6分
根据题意，根的平方和为13：
∴。
又∵，代入上结：
∴ -----------------------------------------------7分
由此可得：
解得-----------------------------------8分
检验：当t = 2时，原方程为，根为2和3，均为正整数，且，符合条件。
当t = -4时，原方程为，根为2和-3，∵，∴舍去。-------------------------------------------9分
∴唯一符合条件的整数解为。--------------------10分
27.（10分）（1）解：将n=4代入原方程，得：
。（或）--2分
（2）解：判别式
∴，---------------------------------------------3分
----------------------------------------------------------------------------------------------5分
∴。--------------------------------------------6分
（3）解：由根与系数的关系可得：------------------------------------------------------------------------8分
∴
∴
∴ -----------------------------------------------------------------10分2026届九年级数学暑期预习检测卷
一元二次方程
（考试时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题2分,共16分）
下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2.一元二次方程的解是（ ）
A. B. C. D.
3.用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
4.一元二次方程的根的判别式的值是（ ）
A. 17 B. 13 C. 25 D. 5
5.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.若是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A. -1 B. 1 C. 2 D. -2
7.某商品原价为每件元，经过两次降价后每件售价为16元，且两次降价的百分率都为，则的值为（ ）
A. 25 B. 20 C. 18 D. 16.8
8.已知关于的方程有实数根，且关于的方程有两个不相等的正整数根，则符合条件的整数的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共20分）
9.一元二次方程的两根之和为 .
10.若方程是一元二次方程，则的值为 .
11.请写出一个以2和-3为根的一元二次方程： .
12.若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 .
13.用公式法解方程，其中，则判别式
.
14.若是关于x的方程的一个根，则
.
15.某小区计划在一块长20米、宽15米的矩形空地上修建一个矩形花园，使四周留出的小路宽度相同，且花园面积占空地面积的一半，则小路的宽度为 米.
16.已知，则 .
17.若实数
.
18.已知正整数的所有可能值之和为
.
三、解答题（本大题共9小题，共64分）
19.（6分）解下列一元二次方程：
（1）； （2）.
20.（6分）用配方法说明：无论取何值，代数式的值总大于0.
21.（6分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围.
22.（8分）已知关于x的方程有两个不相等的实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若方程的一个根为0，求的值及另一个根.
23.（8分）某商店将进价为每件8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件。现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每件涨价1元，每天的销售量就减少20件.
（1）若涨价元，则每天的销售量为 件（用含的代数式表示）；
（2）要使每天获得700元的利润，且尽可能减少进货量，每件商品应涨价多少元？
24.（8分）如图，在一块长为32米，宽为20米的矩形空地上，修建两条同样宽的互相垂直的道路（阴影部分），剩余部分种植花草，若种植花草的面积为540平方米，求道路的宽度.
25.（10分）已知关于的一元二次方程（为常数，且）.
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根，且两根之差的绝对值为；
（2）若方程的一个根为，求另一个根及的值；
（3）设方程的两个根为，若 ，且 ，求 的值.
26.（10分）已知关于的一元二次方程.
（1）当时，求方程的解；
（2）若方程的两个根均为正整数，求的值；
（3）已知该方程有两个正整数根，且这两个根的平方和等于13，求的值.
27.（10分）已知关于的方程.
（1）若，求方程的根（用含的式子表示）；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且两根之差的绝对值为2，求的值；
（3）在（2）的条件下，若方程的两个根的平方和为12，求的值.

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