资源简介

第02讲 期中压轴专题：有理数与整式中压轴题
（7类热点题型讲练）
目录
【考点一 有理数运算中的新定义型问题】
【考点二 有理数、整式中化简绝对值】
【考点三 数轴上的压轴问题】
【考点四 整式运算中的新定义型问题】
【考点五 整式运算中的整体代入求值问题】
【考点六 整式运算中的实际应用问题】
【考点七 整式运算中的规律探究问题】
【考点一 有理数运算中的新定义型问题】
（24-25七年级上·全国·期中）
1．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为，如：数对，，都是“共生有理数对”．
(1)判断数对是不是“共生有理数对”，并说明理由．
(2)若是“共生有理数对”，求a的值．
(3)请再写出两对符合条件的“共生有理数对”为：（4， ）和（ ，2）．
(4)若是“共生有理数对”，则 “共生有理数对”（填“是”或“不是”）．
（24-25七年级上·宁夏中卫·期中）
2．阅读材料：类比有理数的乘方，我们要求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，记作，读作“的圈次方”。
如：，记作，读作“2的圈3次方”；
，记作，读作“的圈4次方”．
（1）直接写出计算结果：________；
（2）除方也可以转化为乘方的形式，
如：
试将下列运算结构直接写成乘方的形式：______；________；
（3）计算：．
（22-23七年级上·湖南益阳·期中）
3．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如∶，．
若，则称有理数，为“隔一数对”．
例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”．
(1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号）
①，；②，；③，．
(2)计算：．
(3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．
计算：．
【考点二 有理数、整式中化简绝对值】
（24-25七年级上·全国·期中）
4．有理数在数轴上的位置如图，
(1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0．
(2)化简：．
（24-25七年级上·全国·期中）
5．有理数，，，且，
(1)如下图，在数轴上将a，b，c三个数填在相应的括号中；

(2)用“”或“”或“”填空　　0，　　0，　　0；；
(3)化简：．
（22-23七年级上·浙江金华·期中）
6．在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，，请用这种方法解决下列问题．
(1)当时，分别求的值；
(2)已知是有理数，当时，试求的值；
(3)已知是有理数，当时，试求的值．
（23-24七年级上·浙江杭州·期中）
7．在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题．
(1)当时，则______；当时，则______．
(2)已知，是有理数，当时，试求的值．
(3)已知，，是非零有理数，满足且，求的值．
【考点三 数轴上的压轴问题】
（23-24七年级上·山东济宁·期中）
8．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合．
若数轴上数表示的点与数1表示的点重合，请解决下列问题：
(1)数轴上数3表示的点与数______表示的点重合；
(2)若点到原点的距离是5个单位长度，并且，两点经折叠后重合，求点表示的数；
(3)已知数轴上，两点之间的距离为2024；若，两点经折叠后重合，且点表示的数比点表示的数大，求和表示的数．
（23-24七年级上·湖北武汉·期中）
9．对于直线上三个点R，S，T，我们规定：如果R，S之间的距离等于R，T之间的距离的m倍（m为正整数），则R叫做S到T的m点．如图（1），数轴上A，B，C，D四点表示的数分别为，3，，4，则C是B到A的2点，D是A到B的7点．
(1)A是B到C的________点，B是A到D的_______点；
(2)若A到B的n点与B到A的n点是同一点E，则________，E表示的数是_______；
(3)如图（2），若F是A到B的8点，求点F表示的数；
(4)若P是A到B的k点，Q是B到A的k点．直接写出点P，Q之间的距离．（用含k的式子表示）
（24-25七年级上·福建厦门·期中）
10．如下图，在数轴上有四个点A、B、C、D分别表示、、、，请回答：
(1)①A、B两点间的距离是 ，C、D两点之间的距离是 ．
②A、C两点之间的距离是 ，B、D两点之间的距离是 ．
③在数轴上，若点M表示的数是m，点N表示的数是n，则M、N两点之间的距离是 ．（用含m、n的式子表示）
(2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是 ．
(3)由以上探索猜想：对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．
（23-24七年级上·河南郑州·期中）
11．阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示．
(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置：
(2)点C到点A的距离______；若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为_________；
(3)若将点A向右移动，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示）
(4)若点B以每秒的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
（23-24七年级上·四川眉山·期中）
12．如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点．
(1)______，______；
(2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______；
(3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7．
①若x表示一个有理数，则的最小值______．
②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______．
③当______时，取最小值．
④当x取何值时，取最小值？最小值为多少？直接写出结果．
【考点四 整式运算中的新定义型问题】
（23-24七年级上·江苏扬州·期中）
13．定义：若，则称a与b是关于6的实验数．
(1)4与______是关于6的实验数；代数式______与是关于6的实验数．
(2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由．
(3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值．
（23-24七年级上·江苏南京·期中）
14．定义：若两个式子的和等于一个常数，则称这两个式子是关于该常数的组合式．
(1)和______是关于0的组合式；
(2)已知，a与b是关于3的组合式吗？说明理由；
(3)已知，且c与d是关于常数m的组合式，请探索m的取值范围与对应的x取值的个数．
（23-24七年级上·江苏泰州·期中）
15．定义：若，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与是关于的平均数，7与13是关于10的平均数．
(1)填空：2023与 是关于的平均数， 与是关于2的平均数．
(2)若a与2b是关于3的平均数，2b与c是关于的平均数，c与d是关于9的平均数，求
(3)现有与（k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，求n的值．
（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）
16．定义：对于依次排列的多项式、、、（a、b、c、d是常数），当它们满足，且是常数时，则称a、b、c、d是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如，对于多项式、、、来说，因为，所以2、1、6、5是一组平衡数，4是这组平衡数的平衡因子．
(1)已知2、4、7、9是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子______；
(2)若、2、、3是一组平衡数，求的值及该组平衡数的平衡因子；
(3)当a、b、c、之间满足怎样的数量关系时，它们是一组平衡数，请说明理由．
（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）
17．阅读理解
【方法】
有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项．
例如：，经过处理器得到．
【应用】
若关于的二次多项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题：
（1）填空：若，________．
（2）若，则关于的方程，求的值
【延伸】
（3）已知，是关于的二次多项式，若是经过处理器得到的一次多项式，关于的方程，求的值．
【考点五 整式运算中的整体代入求值问题】
（24-25七年级上·全国·期中）
18．整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．
【尝试应用】
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
(1)如果，求的值；
(2)当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示）
(3)【拓展应用】
在完成上面的问题有基础上，解答下面的问题：
已知，求代数式的值．
（23-24七年级上·江西南昌·期中）
19．我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题：
(1)把看成一个整体，合并；
(2)已知：，求代数式的值；
(3)已知，，，求的值．
（22-23七年级上·湖南长沙·期中）
20．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：
若，则____________；
我们将作为一个整体代入，则原式．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
(1)如果，求的值；
(2)若，求的值．
(3)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值．
（23-24七年级上·江西赣州·期中）
21．阅读材料：
“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．
【例】合并同类项：，类似地，我们把看成一个整体，则．
尝试应用：
（1）把看成一个整体，合并的结果是__________；
（2）已知，求的值．
拓展探索：
（3）已知，，，求的值．
【考点六 整式运算中的实际应用问题】
（24-25七年级上·吉林松原·期中）
22．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠办法
低于200元 不予优惠
低于元但不低于200元 九折优惠
元或超过元 其中不超过元部分给予九折优惠，超过元部分给予八折优惠
(1)若王老师一次性购物400元，则他实际付款______元；若一次性购物元，则他实际付款______元．
(2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于元但不小于200时，他实际付款______元；当x大于或等于时，他实际付款______（用含x的式子表示）
(3)如果王老师两次购物的货款合计元，第一次购物的货款为a元（），用含a的代数式表示王老师两次购物实际付款的钱数．
（23-24七年级上·贵州遵义·期中）
23．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示：
每月用水量 单价
不超出的部分 元
超出不超出的部分 元
超出的部分 元
例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）．
(1)若该户居民月份用水，则应收水费 　　元．
(2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简）
(3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？
（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）
24．某种窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长为米．
(1)计算窗户的面积和窗框的总长．
(2)当时，若在窗户上安装玻璃，玻璃每平方米元，窗框每米元，窗框的厚度不计，求制作一个这种窗户需要的材料费是多少元．
(3)在（2）的条件下，某公司计划在甲工厂或乙工厂采购个这种窗户，下表是甲、乙两个工厂制作这种窗户的收费价目表．通过计算说明去哪家工厂采购更省钱．（安装费=材料费+运输费+人工费）
工厂 材料费 运输费 人工费
玻璃 窗框
甲 元/ 元/ 元/个窗户 元/
乙 元/ 元/ 元/个窗户 元/
（23-24七年级上·安徽蚌埠·期中）
25．【知识学习】
学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则．
(1)【理解应用】若关于的多项式的值与的取值无关，求值；
(2)已知，，且的值与的取值无关，求的值．
(3)【能力提升】有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系．

（23-24七年级上·江苏泰州·期中）
26．【实际问题】
某商场在双十一期间为了鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
【问题建模】
从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？
【模型探究】
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
所取的2个整数 1，2 1，3 2，3
2个整数之和 3 4 5
如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果．
（3）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有 种不同的结果．
【问题解决】
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有 种不同的优惠金额．
【问题拓展】
从3，4，5，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，求n的值．（写出解答过程）
【考点七 整式运算中的规律探究问题】
（23-24七年级上·北京海淀·期中）
27．给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为an（n 为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，a1＝2，a2＝4，a3＝6，a4＝8，a5＝10，规定运算．即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中，．
(1)已知一列数，那么　　． 　　；
(2)已知这列数，按照规律可以无限写下去，那么　　，　　．
(3)在（2）的条件下，若存在正整数n使等式成立，直接写出n的值．
（23-24七年级上·四川自贡·期中）
28．综合与实践，问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
，，，，
独立思考：
(1)解答王老师提出的问题：第个式子为 ，第个式子为 ；
实践探究：
(2)在（）中找出规律，并利用规律计算：；
问题拓展：
(3)数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后发现，当分母中的两个因数的差为，该小组提出下面的问题，请你解答：求；
问题解决：
(4)求的值．
（23-24七年级上·河南平顶山·期中）
29．餐厅摆放桌椅，照这样的方式继续排列餐桌，摆n张餐桌可坐人数为.
(1)______（用n表示）；______；
(2)我们用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数α和正整数n.规定：，如：.
①计算：的值；
②与互为相反数吗？请说明理由.
（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）
30．【阅读中思考】
设是不为0和1的有理数，我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是．
【探索中理解】
若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推．
（1）先写出计算，，的算式，在求出它们的值．
（2）求的值为____________．（直接写出答案）
【应用拓展】
设，，都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，…，第次变换后得到数组．
（3）若数组确定为．
则的值为_____________．（直接写出答案）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《第02讲 期中压轴专题：有理数与整式运算压轴题（7类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（北师大版2024）》参考答案：
1．(1)是“共生有理数对”，理由见解析
(2)
(3)
(4)是
【分析】本题考查有理数的混合运算、“共生有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据题目所给“共生有理数对”的定义进行判断即可；
（1）根据题目所给“共生有理数对”的定义，列出方程求解即可；
（3）设是“共生有理数对”， 是“共生有理数对”， 根据题目所给“共生有理数对”的定义，列出方程求解即可；
（4）分别求出和，再根据是“共生有理数对”，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴是“共生有理数对”．
（2）解：∵是“共生有理数对”，
∴，
解得：．
（3）解：设是“共生有理数对”， 是“共生有理数对”，
则，，
解得：，
故答案为：．
（4）解：，
，
∵是“共生有理数对”，
∴，
∴是“共生有理数对”，
故答案为：是．
2．（1）；（2）；；（3）
【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方，解题的关键是正确理解题目所给圈n次方的定义．
（1）根据题目所给圈n次方的定义，进行计算即可；
（2）根据题目所给圈n次方的定义，将除法改写为乘法，即可解答；
（3）根据题目所给圈n次方的定义，将除法改写为乘法，将算式化简，再进行计算即可．
【详解】解：（1）由题意得，，
故答案为：；
（2）；
，
故答案为：；；
（3）解：
．
3．(1)①②
(2)
(3)
【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键．
（1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可；
（2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可；
（3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可．
【详解】（1）解：①；
∵，，
∴，则①是“隔一数对”；
②；
∵，，
∴，则②是“隔一数对”；
③；
∵，，
∴，则③不是“隔一数对”；
故答案为：①②；
（2）解：
；
（3）解：
．
4．(1)；；．
(2)
【分析】本题考查了整式的加减、数轴、绝对值的性质，准确识图，确定、、的正负情况和绝对值的大小是解题的关键．
（1）根据数轴确定、、的正负情况解答即可；
（2）根据数轴确定绝对值的大小，然后化简合并即可．
【详解】（1）解：由图可知，且，
∴，，，
故答案为：；；．
（2）解：，
，
，，
．
5．(1)(从左往右)
(2)，，
(3)
【分析】本题考查了数轴：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．也考查了绝对值．
（1）先比较与的大小，再得到、、的大小关系，从而把、、填到数轴上；
（2）利用、、的大小关系和绝对值的意义即可得出答案；
（3）根据（2）得出的结论直接去绝对值，然后相加即可得出答案．
【详解】（1）解：根据已知条件填图如下：

（2）解：，，，
，
，，
，
，，
，
．
故答案为：，，；
（3）解：∵，，．
∴
．
6．(1)１，
(2)
(3)0或
【分析】（1）直接代入求解即可；
（2）分a、b同为正和同为负，化简绝对值求解即可；
（3）分a、b、c中有一个小于0，其它两个大于0和三个都小于0，化简绝对值即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
当时，；
（2）解：由知，分两种情况：
当时，；
或时，，
故当时，的值为；
（3）解：由知，分两种情况：
当a、b、c中有一个小于0，其它两个大于0时，
；
当a、b、c三个都小于0时，
，
综上，当时，的值为0或．
【点睛】本题考查了绝对值、有理数的四则混合运算，分类讨论并正确求解是解答的关键．
7．(1)；
(2)或
(3)
【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算，
（1）直接将，代入求出答案；
（2）分别利用，或，分析得出答案；
（3）根据题意得出，，中有两个为正数，一个为负数，设，，代入即可求解．
【详解】（1）解：当时，则；当时，则
故答案为：；
（2）解：当时，则，同号
①当，时，
②当，时，
（3）解：由，得，，
且
，，中有两个为正数，一个为负数
不妨设，，
则原式
8．(1)
(2)或
(3)M点表示的数是1009，N点表示的数是
【分析】（1）根据题意即可找到对应点的数；
（2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为或，分两种情况计算即可；
（3）依据M、N之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，列式求出M、N所表示的数即可．
【详解】（1）解：∵数轴上数表示的点与数1表示的点的中点为：
，
∴数轴上数表示的点与数1表示的点的对称点为，
∵，，
∴数轴上数3表示的点与数表示的点重合；
（2）解：∵点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为或，
∵A、B两点经折叠后重合，
∴当点A表示时，，，
当点A表示5时，，，
∴B点表示的数是或；
（3）解：∵M、N之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合，
∴，，
∵M点表示的数比N点表示的数大，
∴M点表示的数是1009，N点表示的数是．
【点睛】本题主要查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离，有理数混合运算的应用，准确计算是解题的关键．
9．(1)3；6
(2)1；0
(3)点F表示的数是或
(4)点P，Q之间的距离为或或
【分析】（1）根据题干提供信息进行解答即可；
（2）根据题意得出：，求出E表示的数即可；
（3）分①若F在A、B之间，②若F在B的右侧两种情况进行讨论得出结果即可；
（4）分四种情况进行讨论，①当点P和点Q在之间时，②当点P在之间，点Q在A点左侧时，③当点Q在之间，点P在点B右侧时，④当点Q在A左侧时，点P在点B右侧时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴A是B到C的3点，
∵，，，
∴B是A到D的6点；
故答案为：3；6．
（2）解：根据题意得：
∴，
∴，
∴点E表示的数为，；
故答案为：1；0．
（3）解：∵F是A到B的8点
∴，
①若F在A、B之间：
则F：；
②若F在B的右侧：
则F：；
∴点F表示的数是或．
（4）解：∵k为正整数，
∴点P到点A的距离大于等于点P到点B的距离，
即点P在数轴上一定在点A的右侧，
同理可知，点Q在数轴上一定在点B的左侧；
①当点P和点Q在之间时，如图所示：
∵，，
∴，，
同理，，，
则；
②当点P在之间，点Q在A点左侧时，如图所示：
由①可知，，，
∵，，
∴，，
则；
③当点Q在之间，点P在点B右侧时，如图所示：
由①可知，，，
∵，，
∴，，
则；
④当点Q在A左侧时，点P在点B右侧时，如图所示：
由②③可知，，，
，，
则；
综上分析可知，点P，Q之间的距离为或或．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
10．(1)①3，②8，③
(2)
(3)存在，最小值为3
【分析】本题考查数轴上两点间距离计算；理解两点间距离公式是解题的关键．
（1）根据两点间距离公式求解即可；
（2）把求的x，转化为求x对应的点到所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，再分别求出x即可；
（3）把求的最小值问题转化为有理数x所对点到3和6所对的两点距离之和，而当x所对点在3和6所对的两点之间时有最小值，进而可求出最小值．
【详解】（1）解：①A、B两点间的距离是，C、D两点之间的距离是，
故答案为：3，；
②A、C两点之间的距离是，B、D两点之间的距离是，
故答案为：8，；
③M、N两点之间的距离是，
故答案为：；
（2）解：表示在数轴上，x对应的点到所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，所以满足条件的整数x可为，
故答案为：；
（3）解：存在，最小值为3，理由如下：
表示数轴上有理数x所对点到3和6所对的两点距离之和，
当有理数x所对点在3和6所对的两点之间时，的值最小，即为3和6所对的两点之间的距离，
的最小值为．
11．(1)A表示，B表示，C表示4，图见解析；
(2)6；或3；
(3)；
(4)不会变化，理由见解析．
【分析】本题考查了数轴，解一元一次方程以及整式的加减运算，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键．
（1）根据题意分别表示出距离求出坐标，画出图形；
（2）根据距离公式得出的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果；
（3）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为；
（4）表示出和，再相减即可得出结论．
【详解】（1）A：，即，A表示，
B：，即，B表示，
C：，即，C表示4，
A、B、C三点的位置如图所示：
（2）（cm）；
设D表示的数为a，
，
，解得：或，
点D表示的数为或3；
故答案为：6；或3；
（3）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为；
故答案为：
（4）的值不会随着t的变化而变化，理由如下：
根据题意得：平移后，cm ，
，
，
的值恒为3，不会随着t的变化而变化．
12．(1)，
(2)5
(3)①3；②4；③4；④当时，的值最小，最小值为．
【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时的取值的一般规律是解题的关键．
（1）根据相反数和非负数的性质，求解即可；
（2）由折叠可知，折痕点对应的数是，再由对称性可知点B与数字5重合；
（3）①当时，有值最小；
②当时，的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解；
③找到2，2，3，3，4，4，4，4的中间数即为所求；
④由，可求4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当时，式子有最小值．
【详解】（1）解：由题意得，
∴，，解得，，
故答案为：，；
（2）解：∵点A与表示的点重合，
∴折痕点对应的数是，
∴与点B重合的点所表示的数为，
故答案为：5；
（3）解：①表示数轴上表示的点到表示3的点和6的点的距离之和，
当时，的值最小，
的最小值为3，
故答案为：3；
②表示数轴上表示的点到表示的点和4的点的距离之和，
当时，的值最小，最小值为7，
，
的整数值为，，，0，1，2，3，4，
满足条件的所有整数的和是4，
故答案为：4；
③表示2倍的到2的距离，2倍的到3的距离，5倍的到4的距离之和，
，2，3，3，4，4，4，4，4的中间数是4，
当时，的最小值；
故答案为：4；
④，
表示4倍的到的距离，3倍到的距离，到的距离，2倍到的距离，3倍到3的距离之和，
个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，
当时，的值最小，最小值为．
13．(1)2，
(2)a与b是关于6的实验数，理由见解析
(3)d的值为
【分析】本题考查整式的加减应用，理解题意，正确列出式子计算是解题的关键．
（1）根据题中给出的定义计算即可；
（2）计算的值，如果和等于6，则a与b是关于6的实验数，否则不是；
（3）由题意得出，把c的值代入计算即可求出d的值．
【详解】（1）解：，
∴4与2是关于6的实验数；
，
∴与是关于6的实验数，
故答案为：2；；
（2）解：a与b是关于6的实验数，理由：
，
∴a与b是关于6的实验数；
（3）解：由题意得，，
，
．
14．(1)
(2)是，理由见解析
(3)，或或
【分析】本题考查整式加减运算的实际应用．
（1）根据新定义，用0减去，即可；
（2）求出的和，进行判断即可；
（3）根据题意，得到为常数，利用绝对值的意义，分类讨论求解即可．
掌握新定义，以及整式加减的运算法则，是解题的关键．
【详解】（1）解：，
故答案为：
（2）是，理由如下：
，
∴a与b是关于3的组合式．
（3）∵，
∴，
当时，；此时
当时，；
当时：；此时
∵c与d是关于常数m的组合式，
∴当时，，，
当时，；
当时，，
综上：，或或．
15．(1)；
(2)29
(3)
【分析】（1）根据平均数的定义，进行求解即可；
（2）根据题意，得到，代入代数式求值即可；
（3）根据a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，得到中不含项，求出的值，进而求出的值即可．
本题考查整数的加减运算，代数式求值．理解并掌握平均数的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：，
∴2023与2025是关于的平均数，
，
∴与是关于2的平均数，
故答案为：；；
（2）由题意得：，
∴
；
（3）
，
∵a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．(1)
(2)，
(3)当时，，，，是一组平衡数，理由见解析
【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值及新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）直接根据定义计算M的值；
（2）将，，，分别带入多项式中，依据定义计算出m的值即可；
（3）根据定义化简计算，可得a，b，c，d之间满足的数量关系式．
【详解】（1）
；
故答案为：．
（2）∵是一组平衡数，
∴的结果为常数．
，
∴，
解得；
∴该组平衡数的平衡因子．
（3）当时，，，，是一组平衡数．
理由：因为，，，是平衡数，
∴结果为常数．
，
∴，
∴当时，，，，是一组平衡数．
17．（1）；（2）；（3）10
【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减运算顺序和运算法则是解题的关键．
（1）根据题目所给的转化方法即可解答；
（2）先根据题目所给转化方法，将A转化为一次多项式，得出a和b的值，即可解答；
（3）先根据二次多项式的定义，得出，再根据题目所给转化方法，得出m的值以及k的表达式，最后将m的值代入进行计算即可．
【详解】解：（1）根据题意可得：
，，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵是关于的二次多项式，
∴，则，
∵是经过处理器得到的一次多项式，，
∴，
解得：，
∴．
18．(1)17
(2)
(3)2024
【分析】本题主要考查了整式加减化简求值，掌握整式的加减的计算法则，理解题意根据题目要求用整体思想解题是关键．
（1）将原式化简为，再整体代入即可求解；
（2）当时，代数式整理得，当时，原式整理得，再整体代入即可求解；
（3）由已知可得到和，再将原式变形，整体代入即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：当时，代数式的值为，
∴，
∴，
∴当时，
；
（3）解：∵，
∴，
∴即，
∴
．
19．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据阅读提供的解法解答即可．
（2）把看成整体，利用整体代入计算，求代数式的值即可．
（3）根据题意，，，先求出的值，后整体代入计算代数式的值即可．
本题考查了合并同类项，整体思想应用，根据式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体思想，求代数式的值是解题的关键．
【详解】（1）解：．
（2）解：∵，
∴
．
（3）解：，，，
，，
．
20．(1)15
(2)36
(3)
【分析】本题考查了求代数式的值．掌握整体思想是解题关键，本题旨在考查学生的举一反三的能力．
（1）由，据此即可求解；
（2）由，据此即可求解；
（3）根据条件可得，再利用整体思想即可求解．
【详解】（1）解：
∵
∴原式；
（2）解：
∵
∴原式；
（3）解：当时，
∴
当时，
；
21．（1）；（2）；（3）．
【分析】本题考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．
（1）仿照材料，把看成一个整体，即可合并；
（2）将整体代入计算即可；
（3）先去括号，再添括号，然后整体代入求值即可．
【详解】（1）解：把看成一个整体，
则，
故答案为：；
（2）解：，
；
（3）解：，，，
．
22．(1)；
(2)；元
(3)元
【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，整式加减．理解题意，根据题意正确的列代数式是解题的关键．
（1）根据和，计算求解即可；
（2）由题意知，当x小于元但不小于元时，他实际付款元，当x大于或等于元时，他实际付款元，计算求解即可；
（3）由题意知，第二次购物的货款为元，，则第一次购物的实际货款为元，第二次购物的实际货款为元，然后求和并计算即可．
【详解】（1）解：由题意知，（元），
元，
故答案为：；
（2）解：由题意知，当x小于元但不小于元时，他实际付款元，
当x大于或等于元时，他实际付款元
故答案为：，；
（3）解：第一次购物的货款为a元，第二次购物的货款为元，，
∴第一次购物的实际货款为元，第二次购物的实际货款为元，
∴，
∴两次购物王老师实际付款元．
23．(1)
(2)元
(3)元或元或元
【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，列代数式，整式的加减运算的应用，根据题意正确列出算式并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
（）根据材料提示的计算方法即可求解；
（）根据不超过的部分的水费+超出不超出部分的水费，列式求解即可；
（）根据题意，分类讨论，结合（）、（）的计算方法即可求解；
【详解】（1）解：应收水费为（元），
故答案为：48；
（2）解：∵应收水费不超过的部分的水费超出不超出部分的水费，
∴应收水费为元，
∴应收水费为元；
（3）解：∵月份用水量超过了月份，
∴月份用水量少于，
①当月份用水量少于时，则月份用水量超过，
∴两个月共交水费元；
②当月份用水量大于或等于但不超过时，则月份用水量不少于但不超过，
∴两个月共交水费元；
③当月份用水量超过但少于时，则月份用水量超过但少于，
∴两个月共交水费元，
综上，两个月共交的水费为元或元或元．
24．(1)窗户面积为平方米，窗框的总长为米
(2)制作一个这种窗户需要的材料费是元
(3)去甲家工厂采购更省钱．
【分析】本题考查了整式加减的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）窗户面积为：个小正方形的面积加半圆的面积；窗框的总长度为：所有小正方形的边长之和+半个圆的弧长+三个半圆的半径，代入数值即可．
（2）制作一个这种窗户需要的材料费：玻璃钱+窗框钱，即，将代入上式，化简即可．
（3）分别计算甲、乙两个工厂采购个这种窗户的花销：安装费=材料费+运输费+人工费，代入数值可得出具体数值，再根据每个工厂采购每一个窗户的花销都相同，故对比一个窗户的花销谁省钱，即可得出采购个这种窗户的花销谁省钱。
【详解】（1）解：由题意可得窗户面积为：个小正方形的面积加半圆的面积，下部小正方形的边长和半圆的半径为米，
∴窗户面积为：（平方米），
由题意可得窗框的总长度为：所有小正方形的边长之和+半个圆的弧长+三个半圆的半径，
∴窗框的总长为：（米）．
故窗户面积为平方米，窗框的总长为米
（2）解：∵玻璃每平方米元，窗框每米元，窗户面积为平方米，窗框的总长为米，
∴制作一个这种窗户需要的材料费是：（元），
将代入上式，可得，
∴制作一个这种窗户需要的材料费是元．
（3）解：由上可得一个窗户面积为：（平方米）
在甲工厂采购时，，，运输费为元/个窗户，人工费为元/
故在甲工厂采购个这种窗户的总花销为：（元），
在乙工厂采购时，，，运输费为元/个窗户，人工费为元/
故在乙工厂采购个这种窗户的总花销为：（元），
∵，在每个工厂采购每一个窗户的价格都相同，
∴在甲工厂采购个这种窗户省钱，
∴去甲家工厂采购更省钱．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值：
（1）先把多项式化简，根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可；
（2）先化简A，再求出，根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可；
（3）观察图形，求出，的长与宽，求出它们的面积，进而求出它们的差，进行判断即可．
解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则．
【详解】（1）解：依题意：
因为，
∵关于的多项式的值与的取值无关，
∴，
∴．
（2）解：依题意，
∵，
∴
，
∵的值与的取值无关，
所以，
则．
（3）解：依题意，由图形可知：，，
∴，
∵当的长变化时，的值始终保持不变，
∴．
即．
26．（1）7
（2）
（3）
问题解决：476
问题拓展：
【分析】此题主要考查了数字的变化规律，整式的加减，理解取a个整数和的不同的结果数等于a个整数之和的最大值与最小值的差再加1是解题关键．
（1）用最大2个数的和减去最小2个数的和再加1即可；
（2）用最大3个数的和减去最小3个数的和再加1即可；
（3）用最大5个数的和减去最小5个数的和再加1即可；
问题解决：用最大5个奖券的和减去最小5个奖券的和再加1即可；
问题拓展：用最大5个整数的和减去最小5个整数的和再加1即可．
【详解】解：（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，
则这2个整数之和最小值为：，最大值为：，
则这2个整数之和共有种不同情况，
故答案为：7；
（2）从1，2，3，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，
则这3个整数之和最小值为：，最大值为：，
则这3个整数之和共有不同结果的种数为：种，
故答案为：；
（3）归纳总结：从1，2，3，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，
则这5个整数之和的最小值为：，
最大值为，
则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种，
故答案为：；
问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，
则这5张奖券的和的最小值为：（元），
最大值为：（元），
则这5张奖券的和共有不同优惠金额的种数为：（种），
故答案为：476；
问题拓展：从3，4，5，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，
则这5个整数之和的最小值为：，
最大值为，
则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种，
∴，
解得：．
27．(1)5，3
(2)2023，1012
(3)4045或4046
【分析】本题考查数字变化的规律，理解题中所规定的运算及发现数列的变化规律是解题的关键．
（1）理解题中规定的运算即可解决问题．
（2）根据所给数列，发现规律即可解决问题．
（3）根据题中所规定的运算即可解决问题．
【详解】（1）由题知，这列数列中的第5个数为，
所以．
．
故答案为：5，3．
（2）由题知，这一列数的奇数项为正整数，偶数项为负整数，且各项的绝对值依次增加1，
所以．
则
．
故答案为：2023，1012．
（3）由（2）中数列可知，
当n为奇数时，；
当n为偶数时，．
所以当时，
则，
解得．
当时，
则，
解得．
综上所述：n的值为4045或4046．
28．(1) ；； ；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（）根据所给的式子的形式进行求解即可；
（）利用（）的规律进行求解即可；
（）仿照（）的解答方式进行求解即可；
（）把各项进行整理，再利用题中的规律进行求解即可；
本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据所给的等式总结出存在的规律并灵活运用．
【详解】（1）根据，，，，
∴第个式子为，第个式子为，
故答案为：，；
（2）
，
，
；
（3）
，
，
；
（4）
，
，
．
29．(1)；20
(2)①；②与互为相反数，理由见解析
【分析】本题考查图形变化类规律探究，新定义运算的理解，列代数式，有理数的混合运算，发现图中人数增加规律，理解新定义运算是解题的关键．
（1）根据一张桌子可坐4人，每增加一张桌子可多坐2人可列出表示的代数式；令，可求出的值；
（2）①根据新定义，结合（1）中的代数式，代入求值即可；
②根据新定义，结合（1）中的代数式，分别求出33☆与☆的值，再判断即可．
【详解】（1）解：由摆放图形可知，1张桌子坐4人，每增加1张桌子可多坐2人，
；
当时，，
故答案为：；20；
（2）解：①将代入得：
；
②两者互为相反数，
理由如下：
是正整数，
；
，
．
☆☆．
即3☆与☆互为相反数．
30．（1）；；；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，正确运用有理数的混合运算法则计算并发现规律成为解题的关键．
（1）根据“倒数差”的定义列式计算即可；
（2）先根据“倒数差”的定义列式计算，，，然后求和即可；
（3）先根据“倒数差”的定义列式计算发现规律，然后运规律解答即可．
【详解】解：（1）；；．
（2）；；；
所以．
故答案为：．
（3）∵数组确定为，
∴第1次变换后，，，即第1次变换后得到数组，
第2次变换后，，，即第1次变换后得到数组；
第3次变换后，，，即第1次变换后得到数组；
同理可得：，，……
∴，
；
；
∴
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑