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第06讲 难点探究专题：几何图形中的动态问题
（5类热点题型讲练）
目录
【考点一 利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题】
【考点二 几何图形中动角求定值问题】
【考点三 几何图形中动角探究数量关系问题】
【考点四 几何图形中动角求运动时间问题】
【考点五 几何图形中动角之新定义型问题】
【考点一 利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题】
例题：（24－25七年级上·全国·期末）
1．如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线恰好平分锐角（图②）．
【变式训练】
（23－24七年级下·广东广州·期末）
2．在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，，，若保持三角板不动，将三角板绕点A在平面内旋转．当时，的度数为 ．
（23－24七年级下·天津和平·期中）
3．在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究．试探索；保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请写出所有满足题意的的度数 ．
【考点二 几何图形中动角求定值问题】
例题：（23－24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）
4．在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘．
(1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数．
(2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值．
(3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数．
【变式训练】
（23－24七年级上·江苏徐州·期末）
5．已知，．平分，平分．
(1)如图①，当重合时，求的值；
(2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．
（23－24七年级下·陕西榆林·开学考试）
6．【问题情境】已知，，，平分，平分．
【特例分析】（1）如图1，当、重合时，求的值；
【深入探究】（2）如图2，当、不重合，在的下方时，设， 的值是否会因为x的变化而变化 若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由；
【问题解决】（3）在（2）的条件下，当时，求的度数.
（23－24七年级上·广东汕头·期末）
7．如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转．
(1)当射线，重合时，______，
(2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______；
(3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部．
①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值；
②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围．
【考点三 几何图形中动角探究数量关系问题】
例题：（23－24七年级上·吉林·期末）
8．已知，平分．
(1)如图，若，则的度数是______；（直接写出答案）
(2)将（1）中的条件“”改为“是锐角”，猜想与的关系，并说明理由．
【变式训练】
（23－24六年级下·山东烟台·期中）
9．如图，，请你根据图形，求解下列问题：
(1)在中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用“”把它们连接起来；
(2)是哪两个角的和？
(3)写出中某些角之间的两个等量关系；
(4)如果，则的度数为_________．
（2024七年级上·河北·专题练习）
10．已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，．
(1)如图1，当平分时，求的度数；
(2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．
（23－24七年级上·福建福州·期末）
11．如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起．
(1)观察分析∶若则 ，若则 ；
(2)猜想探究∶如图，若将两个同样的三角尺，锐角的顶点重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由；
(3)拓展应用∶如图，如果把任意两个锐角的顶点重合在一起，已知，（、都是锐角），请你直接写出与的关系．
（23－24七年级上·江苏苏州·期末）
12．数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转．
(1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°．
(2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由；
(3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【考点四 几何图形中动角求运动时间问题】
例题：（23－24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）
13．在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，平分？
(2)当t为何值时，？
【变式训练】
（23－24七年级上·安徽合肥·期末）
14．如图，为线段上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止．
(1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数；
(2)当从初始位置旋转至时，求此时的值；
(3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）．
（23－24七年级上·福建厦门·期末）
15．【实践操作】三角尺中的数学

(1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，．
①若，则 ；若，则 ；
②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，．
①探究与的大小有何数量关系，并说明理由；
②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时．
（24－25七年级上·全国·单元测试）
16．如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得．
(1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒．
①当时， ；
②当t为何值时，？
(2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分．
①当时， ；
②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数．
【考点五 几何图形中动角之新定义型问题】
例题：（23－24七年级上·陕西汉中·期末）
17．【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”．
【问题感知】
（1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）
【问题初探】
（2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________；
【问题推广】
（3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可）
【变式训练】
（23－24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）
18．【问题初探】
在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”．
例如：图中，则射线是的“奇妙线”．
（1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”）
【类比分析】
（2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数；
【变式拓展】
（3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”．
（2023七年级上·全国·专题练习）
19．[阅读理解]定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线，，位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”．
[迁移运用]
(1)如图1，射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”；射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”；
(2)如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止．
①当射线是射线，的“双倍和谐线”时，求t的值；
②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”时，求的度数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《第四章第06讲 难点探究专题：几何图形中动态问题（5类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（北师大版2024）》参考答案：
1．6或24##24或6
【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到的值．
【详解】解：，
，
当直线恰好平分锐角时，如图：
，
此时，三角板旋转的角度为，
；
当在的内部时，如图：
三角板旋转的角度为，
；
的值为：6或24．
故答案为：6或24．
2．或
【分析】本题考查了三角板中角度计算问题及三角形内角和，根据题意画出图形，再根据角之间的关系结合三角形内角和即可得出答案．
【详解】解：当时，，分以下两种情况：
如图1所示，
，
；
如图2所示，
，
综上所述，的度数为或
根据答案为：或．
3．或或或
【分析】本题考查的是角的和差运算．分四种情况分别画出图形，再结合角的和差运算可得答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴；
如图，
∵，，
∴，
∴，
如图，
∵，，
∴，
∴，
如图，
∵，，
∴，
∴，
综上：为或或或．
故答案为：或或或．
4．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义．
（1）根据即可求解；
（2）由可得到，根据角平分线的定义，可得，进而根据角的和差即可求解；
（3）由，求得，，根据角平分线的定义可得，，最后根据即可求解．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：∵，
∴，
平分，平分，
，
，
；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
．
5．(1)；
(2)不变，是定值，见解析．
【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键．
∠AOE-∠BOF的值是定值，
（1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可；
（2）首先由题意可得，再根据角平分线的定义得出，，然后由角平分的定义解答即可．
【详解】（1）解：∵平分，平分，
∴，，
∴；
（2）解：是定值．理由如下：
由题意：，
则，，
∵平分，平分，
∴，
，
．
∴的值是定值，定值为．
6．（1）；（2）不会变化，定值为；（3）
【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．
（1）首先根据角平分线的定义求得和的度数，然后根据求解；
（2）根据角平分线的定义得出：，
，然后代入求值即可；
（3）根据，，求出，根据角平分线的定义求出，，根据角度间的关系，求出结果即可．
【详解】解：（1）∵平分，平分，，，
∴，，
∴；
（2）的值是定值；理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，
，
∴．
∴的值是定值，定值为；
（3）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
7．(1)
(2)或或
(3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：
（1）直接根据角之间的关系进行求解即可；
（2）分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，三种情况讨论求解即可；
（3）①，则；②先由角平分线的定义得到，再由即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴当射线，重合时，，
故答案为：；
（2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则；
如图2-2所示，当是的角平分线时，则；
如图2-3所示，当是的角平分线时，则；
综上所述，的度数为或或；
（3）解：①如图所示，∵，，
∴，
∴；
②度数不发生变化，为定值，理由如下：
∵，，
∴，
∵，分别是和的平分线，
∴，
∴．
8．(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：
（1）先根据角之间的关系得到，再由角平分线的定义得到，则；
（2）仿照（1）求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
9．(1)是锐角，是直角，是钝角，是平角，
(2)
(3)，（答案不唯一）
(4)90
【分析】本题考查锐角、直角、钝角、平角的定义，角度之间的和差关系，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键．
（1）根据锐角、直角、钝角、平角的定义，结合图形即可求解；
（2）根据图形即可求解；
（3）根据图形即可求解；
（4）由题意可知，结合，即可得．
【详解】（1）解：由图可知，是锐角，是直角，是钝角，是平角，
则；
（2）由图可知，；
（3）由图可知，，（答案不唯一）
（4）∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：90．
10．(1)
(2)不改变，，理由见解析
【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．
（1）利用角平分线和图形寻找出角之间的关系即可得到结论；
（2）分两种情况，找出角之间的关系即可求出结论．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴；
（2）解：①在内部时．
令，则，，
∴，
∴；
②的两边在射线的两侧时．令，
则，，，
∴，
∴．
综上可得，和的数量关系不改变，．
11．(1) ； ；
(2)，理由见解析．
(3)，理由见解析．
【分析】（1）根据三角板的特点及角度和差求解即可；
（2）根据三角板的特点及角度和差求解即可；
（3）根据角度和差求解即可；
本题考查了角的运算，熟练掌握角度和差运算是解题的关键．
【详解】（1）由题意可得：，
∵，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴
故答案为：，；
（2），理由：
由题意可知：，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3），理由：
∵，，
∴，
∵，
∴．
12．(1)90
(2)，理由见解析
(3)的度数是一个定值，理由见解析
【分析】本题考查了三角板中角度计算，与角平分线的有关的角的计算，掌握角平分线的定义是解答本题的关键．
（1）由平角的性质可求解；
（2）由补角和余角的性质可求解；
（3）由角平分线的定义和平角的性质可求解．
【详解】（1）解： ，
；
故答案为90；
（2）解：，
理由如下：，，
；
（3）解：的度数是一个定值，
理由如下：射线、分别是、的角平分线，
，，
．
13．(1)t为21
(2)t为22.5秒或24.75秒
【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义，
（1）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题；
（2）根据出现的情况分类讨论，再根据将与的结果关联即可求解．
【详解】（1）解：如图1，
平分，
，
旋转的角度为，
（秒），
答：当t为21时，平分．
（2）解：由题可知：当时会出现以下两种情况：
①如图2，
由图可得：
，
又，
，，
旋转的角度为，
（秒），
②如图3，
由图可得：
，
又，
，，
旋转的角度为，
（秒），
答：当t为秒或秒时，．
14．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元一次方程，角平分线的定义，几何图形中的角度计算；
（1）根据角平分线的定义可得，根据题意得，进而根据补角的定义求得，根据，即可求解；
（2）根据（1）的方法得出，将代入，解一元一次方程，即可求解；
（3）根据（2）可得，将代入，解关于的一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵，为的角平分线，
∴，
∵从初始位置旋转秒，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）解：∵，为的角平分线，
∴，
∵从初始位置旋转秒，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：由（2）可得，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
15．(1)①；；②猜想，理由见解析
(2)①，理由见解析；②3或21
【分析】此题考查了三角板中角度的技术，解答本题的关键是仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系．
（）①本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出，的度数；②根据前两个小问题的结论猜想与的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明；
（）①根据（）解决思路确定与的大小并证明即可；②分点G在上方和下方两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴
故答案为：；；
②猜想，理由如下：
∵，，
∴，，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵，
∴
；
②如图所示，当点G在上方时，
∵，
∴，
∴由（3）①的结论可知，，
∴，
∴；

如图所示，当点G在下方时，则在的基础上再旋转180度时，，
∴；
综上所述，t的值为3或21．

16．(1)①65；②10；
(2)①；②的度数不发生变化，理由见解析．
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相应角的数量关系是解本题的关键．
（1）①根据题意和角的和差进行求解即可；
②由结合题意可得从而得出 进而求出时间t；
（2）①根据平分平分可得 ，则可以整理为进而得出答案；
②根据平分平分，可得 进而推导出，继而得出答案．
【详解】（1）解：①当时， ，
∴，
故答案为：；
②∵，，
∴，
∴，
(秒) ，
∴当t为10秒时，；
（2）解：①∵平分平分，
，
故答案为：
的度数不发生变化，理由如下：
∵平分
∵平分
．
17．（1）是；（2）20或30或40；（3），，；
【分析】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键．
（1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可；
（2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可；
（3）射线是的“量尺金线”，在的内部，在的外部，然后分三种情况求解即可．
【详解】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义，
故答案为：是；
（2），射线是的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论：
当时，如图，
∵，
∴；
当时，如图，
∵
∴；
当时，如图，
∵，
∴；
综上：当为，，时，射线是的“量尺金线”．
（3）∵射线是的“量尺金线”，
∴在的内部，
∴在的外部；
分三种情况：
①如图，当时，如图所示：
∴，
∴；
②如图，当时，如图所示：
∴，
∴；
③当时，如图所示：
∵，
∴，
∴；
综上：当t为或或时，射线是的“量尺金线”．
18．（）是；（）或或；（）或或．
【分析】（）根据奇妙线定义即可求解；
（）分三种情况，根据奇妙线定义即可求解；
（）分三种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可；
本题考查了角平分线定义，角度和差，奇妙线的定义，理解“奇妙线”的定义是解题的关键．
【详解】（）解：根据角平分线的定义可知：
由平分，
得：，
则一个角的角平分线是这个角的“奇妙线”，
故答案为：是；
（）当平分时，
∴，
当时，
∴，
，
∴，
则综上可知：的度数为或或；
（）由题意得：如图，
则，，则，
∵射线是的“奇妙线”，
∴，即，解得：，
，即，解得：，
，即，解得：，
综上可知：或或．
19．(1)是；不是
(2)①t的值为或；②的度数为或
【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，理解并熟练应用新定义是解题的关键．
（1）利用“双倍和谐线”的定义结合图形进行判断即可；
（2）①由题意得：，，利用分类讨论的思想方法分或两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程即可；②由题意得：，，，，利用分类讨论的思想方法分或两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∴射线是射线，的“双倍和谐线”；
∵平分，
∴，
∴射线不是射线，的“双倍和谐线”．
故答案为：是；不是．
（2）解：①由题意得：，．
∵射线是射线，的“双倍和谐线”，
∴或，
如图所示：当时，则：，解得：；
如图所示：当时，则：，解得：；
综上，当射线是射线、的“双倍和谐线”时，t的值为或；
②由题意得：，，，，
∵当射线与射线重合时，运动停止，
∴此时，
∴，解得：．
∴当秒时，运动停止，此时，
∵射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”，
∴或，
如图所示：当时，
即：，
则：，解得：，
∴；
如图所示：当时，即：，则：，解得：，
∴；
综上，当射线位于射线左侧且射线是射线、的“双倍和谐线”时，的度数为或．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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