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2024-2025学年天津市耀华中学高二下期末学情调研数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.若，，，则( )
A. B. C. D.
4.下列命题中错误的是( )
A. 在回归分析中，相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强
B. 若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则样本点的残差为
C. 在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
D. 对分类变量与，它们的随机变量的观测值越小，说明“与有关系”的把握越大
5.函数的部分图象虚直线方程为大致是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数有两个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.下列说法中，正确的个数是( )
若随机变量服从正态分布，且，则；
可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强．
残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高；
根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过．
决定系数，甲、乙两个模型的分别约为和，则模型乙的拟合效果更好．
A. B. C. D.
8.已知函数记，则( )
A. B. C. D.
9.若函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.设函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
12.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.幂函数在上是减函数，则的值为 ．
14.的展开式中项的系数为_______ 用数字作答
15.曲线在点处的切线方程为 ．
16.小轩操场跑步，一周次，一次跑圈或圈．第一次跑圈或圈的概率均为，若第一次跑圈，则第二次跑圈的概率为，跑圈的概率为；若第一次跑圈，则第二次跑圈的概率为，跑圈的概率为小轩一周跑圈的概率为 ；若一周至少跑圈为运动量达标，则连续跑周，记合格周数为，则的期望 ．
17.甲、乙等位大学生分配到所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、乙分到同一单位的方案有 种．
18.已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共3小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得分，负方得分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立．
求甲学校获得冠军的概率；
用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望．
20.已知函数．
时，求在处的切线．
求函数的极值；
若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
21.在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度．设光滑连续曲线：，定义为曲线在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数．已知曲线：．
当时，求曲线在点处的曲率；
已知曲线在不同的两点，处的曲率均为．
求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
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19.解：设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
依题可知，的可能取值为，所以，
，
，
，
．
即的分布列为
期望．

20.解：由题设，则，
所以，，则，可得；
的定义域为，则，
当时，恒成立，
此时在上单调递增，无极大值和极小值，
当时，，
由得：，由得：，
此时在单调递增，在单调递减，
所以的极大值为，无极小值．
由可知，当时，在单调递增，
所以在单调递增，不可能有两个零点，
当时，的极大值为，
因为，所以是的一个零点，
若函数在区间上恰有两个零点，则
即，可得：，
所以的取值范围为．

21.解：当时，，，
所以，，
故曲线在点处的曲率．
易知，由题意可知，，
则关于的方程有两个不同的根，，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又当时，，，且，
由题可知，直线与函数的图象有两个不同的交点，如下图所示：
时，满足题意，
故实数的取值范围为．
证明：由上可知，不妨设．
下面证明：当时，，
设，，则，
令，则，
所以在上单调递减，则，
所以在上单调递增，所以，
即，故，．
设点在直线上，则，即，
所以，即，
要证，需证，即证，
又，只需证，即证．
令，即证，则，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即，
所以在上单调递减，所以成立，
故．

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