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2024-2025学年天津市第五中学高二下学期期末
数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( )
A. B. C. D.
4.由表格数据得到的线性回归方程为，则表格中的值为( )
A. B. C. D.
5.若则，，之间的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
7.已知函数，则( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数
8.已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的值域为
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
9.设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.某市有小学所，中学所，大学所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取所学校对学生进行视力调查，则应从中学中抽取 所学校．
11.已知函数，若为奇函数，则
12.，，，则的最小值是 ．
13.若，则
14.某中学组建了，，，，五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响．记事件为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团”，则 ；若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率为 ．
15.定义函数，若至少有个不同的实数解，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，内角，，所对的边分别是，，，已知
求的值；
求；
求的值．
17.在的内角，，所对边的长分别是，，，已知：，
求的值；
求的值；
求的值．
18.在中，内角，，所对的边分别是，，，已知
求的值；
求的值；
求面积的值．
19.已知函数，，．
若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值；
设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；
对中的，证明：当时，．
20.已知函数
若，求函数在点处的切线方程；
若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；
设函数求证：
参考答案
1.
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3.
4.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.由以及正弦定理可得，即，
由于，所以，
故，
由，可得，
由正弦定理可得可得
由正弦定理可得可得

17.由正弦定理和可得，
又，故，
由余弦定理可得，
由，且可得为锐角，所以，
则，
故

18.由可得，
由正弦定理可得，即，解得，
，
，化简可得，即，
由于解得
由，可得，

19.由已知，，
由已知得，解得：
所以．
由条件知，知，
当时，令解得，
当时，，在上递减；
当时，，在上递增．
是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点．
最小值；
当时，，在上递增，无最小值．
故的最小值的解析式为．
由知，
则，令解得．
当时，，在上递增；
当时，，在上递减．
在处取得最大值，
在上有且只有一个极值点，所以也是的最大值．
当时，总有

20.当时，则，
故，
故在点处的切线方程为，即，
，，
当时，在单调递增，
当时，在单调递减，
因此即可，
解得，
，
则
，
因此，
分别取，
则，
，
，
，
因此
即

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