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锦绣育才教育集团2024学年第二学期
期中测试七年级数学问卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列现象是平移的是（　　）
A. 电梯从底楼升到顶楼 B. 卫星绕地球运动
C. 纸张沿着它的中线对折 D. 用投影仪把文字变换到屏幕上
2. 下列关于计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
3. 若等式，是关于，的二元一次方程，则的值是（ ）
A. B. 1 C. D.
4. 下列各选项中计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
5. 如图，直线与直线，分别交于点，，，，则1的度数为（　　）
A. B. C. D.
6. 某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生x人，分成y个小组，则可得方程组（ ）
A. B. C. D.
7. 用一块含60°角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的60°角顶点重合，直尺两边分别与三角板的两条直角边相交，若，则的度数为（ ）
A. 25° B. 22.5° C. 20° D. 15°
8. 已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A. 102° B. 108° C. 124° D. 128°
10. 把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11. 已知，请你用含的代数式表示_______．
12. 流感病毒的直径约为，其中用科学记数法可表示为______．
13. 如图，若将木条绕点旋转后使其与木条平行，则旋转的最小角度为______．
14. 对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是______．
15. 利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当_____时，有最小值是______．
16. 图1是某折叠式靠背椅的实物图，支撑杆，可绕连接点O转动，椅面底部有根可以绕点H 动的连杆，段在转动过程中形状保持不变．图2是椅子合拢状态的侧面示意图，椅面和靠背平行，测得，，则靠背与水平地面的夹角________．如图3，打开时椅面 与地面平行，延长交于点H，平分．若，则________。
　　　 　　　
三、解答题（第17、18题各6分，第19、20题各8分，第21、22题各10分，第23、24题各12分，共72分）
17. 解方程组：
（1）；
（2）
18. 计算：
（1） ；
（2）．
19. 完成下面的证明．
如图，与互补，，求证：．对于本题小丽是这样证明的，请你将她的证明过程补充完整．
证明：与互补，（已知）
∴．（_____________________）
．（__________________）
，（已知）
，（等量代换）即__________________．
．（__________________）
．（__________________）
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，已知，平分，且．
（1）请说明的理由．
（2）连结，若，且，求的度数．
22. 如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．
（1）由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，解决下列问题：
①两个正方形，如图3摆放，边长分别为．若，，求的值；
②求图中阴影部分的面积和．
23. 根据以下素材，探索完成任务：
素材1 某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地，已知围栏的横杠长为，竖杠长为，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成．
素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏，已知这种规格的围栏材料每根长为，价格为50元/根．
解决问题
任务要求 解决办法
任务1 一根长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废） 方法①：当只裁剪长的用料时，最多可裁剪______根． 方法②：当先裁剪下1根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根． 方法③：当先裁剪下2根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根．
任务2 要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为（即需要制作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠）． 劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务，请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根长的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？
任务3 劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根调整为每根，再将其中两根竖杠材料由每根调整为每根（其它三根竖杠长度不变）． 若要搭建任务2中所需的围栏长度（），每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（无剩余）或者若干根的用料（可剩余）．问：购买的材料至少需要多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度，（剩余材料不可拼接）
24. 如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且．
（1）若，求的度数；
（2）如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连接，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）．
参考答案
1—10：ACCBD BCCAC
##度
9
15. ①. ②.
16. ①. 80 ②. 105
17.解：（1），
②﹣①得：2y＝﹣2，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得：x＝，
∴方程组的解为；
（2），
由得：，
得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴方程组的解为．
18.（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19. 证明：与互补，（已知）
∴．（同旁内角互补，两直线平行）
．（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
，（等量代换）即
．（内错角相等，两直线平行）
．（两直线平行，内错角相等）
20. 原式
∵
∴
原式
21.（1） ∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴
∵，
∴，
∴，
，
，
，
即，
22.（1）解：∵大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，
∴．
∴．
故答案为：；
（2）①∵，为正方形，边长分别为，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
②．
23. 解：任务1：（根）
方法①：当只裁剪长竖杠时，最多可裁剪7根．
（根），
方法②：当先裁剪下1根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠5根．
（根），
方法③：当先裁剪下2根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠2根．
任务2：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依据题意得：
，解得：．
答：方法②和方法③各裁剪6根与5根长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料；
任务3：根据题意：需制作围栏：（副）
即的横杠：（根）
的竖杠：（根）
竖杠：（根）
长的围栏材料无剩余裁剪时：，即，
，
为正整数，
，
长的围栏材料无剩余裁剪可裁剪下2根、1根、2根的用料，
长的围栏材料有剩余裁剪时：（根），即可裁剪7根的竖杠，
需要长的围栏材料无剩余裁剪（根）
则的竖杠有：（根），的竖杠有：（根）
还需要的竖杠（根）
（根），则长的围栏材料有剩余裁剪3根，
共需要长的围栏材料（根）
剩余材料为：，
至少所需要费用：（元）．
24. （1）解：如图1，过点作直线，
，
，
，
，
，
，
；
（2），理由如下：
如图2，过点作直线，
由（1）得，，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）或理由如下：
当点M在上时，如图3（1），
在中，，
，
，
，
，
，
；
当点M在的延长线上时，如图3（2），
在中，，
，
，
，
，
，
，
综上，或．

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