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黑龙江省2024-2025学年度高三上学期第三次月考考试
数学学科试题
考试时间：120分钟 总分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题
C. p和都是真命题 D. 和都是真命题
4. 已知向量与满足，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面给出下列四个命题：
①若，，，则；
②若，，，则；
③若，，，则；
④若，，，，则．
其中正确命题的个数是（ ）
A. B. C. D.
6. 北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有..........依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共层，小球总个数为，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，关于的不等式有且只有三个正整数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 该图象向右平移个单位长度可得的图象
D. 函数在上单调递增
10. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，则
11. 已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A B.
C. 的最小值为8 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 等比数列前项和记为，若，则__________.
13. 已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为______．
14. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体（图1），若中间层旋转角（为锐角，如图2所示），记表面积增加量为，则_____________，S的最大值是_____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列各项均为正数，且，.
（1）求的通项公式；
（2）记数列前项和为，求.
16. 已知面积为，角，，的对边分别为，，，请从以下条件中任选一个，解答下列问题：
①；
②；
③
（1）求角；
（2）若，是上的点，平分，的面积为，求角平分线的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点.
（1）设平面与直线相交于点，求证：；
（2）若，，，求棱锥的体积
18. 已知数列的前项和为，满足，.数列满足，，且.
（1）证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围；
（3）记，的前项和记为，是否存在，，使得成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数，求函数极值点的个数；
（3）当时，若在上恒成立，求证：.
黑龙江省实验中学2024-2025学年度高三学年上学期第三次月考考试
数学学科试题
考试时间：120分钟 总分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BC
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】3
【14题答案】
【答案】 ①. ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）；
（2）.
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1），
（2）实数的取值范围为
（3）存在这样，使得成立
【19题答案】
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
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