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衡阳县2025届高三上学期第一次模拟考试卷
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知是的共轭复数，则（ ）
A．0 B． C．2 D．
3．“”是“直线与圆相切”的 （　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．存在最大值为9 D．的最大值为
5．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（ ）
①，且；
②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992.
A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
7．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数有零点，那么实数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．抛物线C：的准线为，过焦点F的直线与C交于A，B两点，分别过A，B作的垂线，垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，则（ ）
A．为锐角三角形 B．的最小值为4
C．，，成等差数列 D．，，成等比数列
10．如图，在三棱锥中，两两垂直，为上一点，，分别在直线上，，则：（ ）.
A．
B．
C．若平面且到距离相等，则直线与的夹角正弦值为
D．的最小值为
11．在平面直角坐标系中有一点，到定点与轴距离之积为一常数，点构成的集合为曲线，已知在或分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是：（ ）.

A．曲线关于直线对称
B．若，则时到轴距离的最大值为
C．若，如图，则
D．若与轴正半轴交于，则与轴负半轴的交点横坐标在区间内
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是 .
13．已知数列的前项和为，满足，函数定义域为，对任意都有，若，则的值为 .
14．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）已知数列，其前项和为，对任意正整数恒成立，且.
(1)证明：数列为等比数列，并求实数的值；
(2)若，数列前项和为，求证：；
(3)当时，设集合，.集合中元素的个数记为，求数列的通项公式.
16．（15分）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知是等边三角形．
(1)求证：；
(2)求二面角；
(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角的正弦值最大？求出最大角正弦值，并说明点此时所在的位置．
17．（15分）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩 防护服 消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量 该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.
(1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数；
(2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差；
(3)在2024年“五一”劳动节前，甲 乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成.假定甲 乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲 乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值.
18．（17分）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为
(1)求直线的方程及椭圆的方程.
(2)若椭圆上的两动点A，B均在轴上方，且，求证：的值为定值.
(3)在（2）的条件下求四边形的的面积的取值范围.
19．（17分）解答下列问题：
(1)求函数的极小值；
(2)若，函数为上严格增函数，求实数的取值范围；
(3)已知，，且只有一个极大值点，求实数的取值范围.
数学答案
1．【答案】D
【解析】由解得，所以，
所以，所以 .
故选：D
2．【答案】B
【解析】，
则.
故选：B.
3．【答案】A
【解析】圆的圆心为，半径为，
若直线与圆相切，
则有，解得或.
所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.
故选：A
4．【答案】D
【解析】在边长为3的正中，，为的中点，则，对于A，由，得，则，A正确；
对于B，，
则
，B正确；
对于C，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图，
则，显然点在以为圆心，为半径的下半圆上，
设，
则，
，
由，得，则当时，取得最大值，C正确；
对于D，由，得，
即，
因此，则，
而，则当时，取得最大值，D错误.

故选：D
5．【答案】A
【解析】，即，
则圆心，半径为.
椭圆方程，,
则，
则圆心为椭圆的焦点，
由题意的圆的直径，且
如图，连接，由题意知为中点，则，
可得
.
点为椭圆上任意一点，
则，，
由，
得 .
故选：A.
6．【答案】A
【解析】第一局：摸1次甲获胜概率为：，摸3次甲获胜概率为：，
摸5次甲获胜概率：，摸7次甲获胜概率：，，
摸次甲获胜概率： ，
所以，
所以，
第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球，
则，故①正确；
由，设，解得，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
则，即，
所以，即，
即，即，即，
则，即，解得，
所以不小于1992，所以②正确.
故选：A
7．【答案】A
【解析】因为三棱锥为鳖臑，平面，
在中，，
过做垂足为，则，
即，所以，
因为，
，
在中，，
所以，则，
又平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以中，，
过作，，
即，可得，
则过作，因为是中点，所以，
所以动点在内（含边界）的轨迹为以为圆心以为半径的半圆，
则点的轨迹长度为.
故选：A.
8．【答案】D
【解析】由，得，即，
则，令函数，则有，
而函数都是R上的增函数，于是函数是R上的增函数，
因此，即，令，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数在时取得最大值，所以实数的最大值为.
故选：D
9．【答案】ABD
【解析】由题意可知：焦点，准线，直线的斜率不为0，且与抛物线必相交，

设，，则，
可得，
联立方程，消去x可得，
则，
对于选项A：因为，可得，
可知，所以为直角三角形，故A错误；
对于选项B：因为，
可得，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为4，故B正确；
对于选项CD：因为，
则
，
即，显然不恒相等，且不为0，
所以，，成等比数列，不成等差数列，故C错误，D正确；
故选：ABD.
10．【答案】AD
【解析】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设，则，
因为，则，解得.
对于选项A：因为，且，
可得，
则，所以，故A正确；
对于选项B：因为，所以，故B错误；
对于选项C：因为，
例如平面过的中点，且与平面平行，
则到平面的均为距离，符合题意，此时平面的法向量，
可得，
此时直线与的夹角正弦值为，故C错误；
对于选项D：设，
则，，
若取到最小值，则，
可得，解得，
则，，
所以的最小值为，故D正确；
故选：AD.
11．【答案】BCD
【解析】设点，则，
对于A选项，点关于直线的点为，
因为，
即点不在曲线上，所以，曲线不关于直线对称，A错；
对于B选项，当时，曲线的方程为，
当时，则，则，
所以，，可得，可得，
对于不等式，即，显然该不等式恒成立，
对于不等式，即，解得，
因为，则，此时，若，则时到轴距离的最大值为，B对；
对于C选项，点关于直线的对称点为，
因为，
即点在曲线上，故曲线关于直线对称，
如下图所示，当时，直线与曲线有两个交点，

当时，在曲线的方程中，令，可得，可得，
所以，曲线与在上的图象有两个公共点，如下图所示：

显然，曲线与射线在上的图象有一个公共点，
则曲线与线段相切，
由，可得，则，可得，
且当时，方程为，解得，合乎题意，
综上所述，，C对；
对于D选项，若曲线与轴正半轴交于，
则，则有，
当时，令可得，整理可得，
即，
令，其中，
则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为，，则，
所以，曲线与轴负半轴的交点横坐标在区间内，D对.
故选：BCD.
12．【答案】
【解析】因为的定义域为，
，
所以为奇函数.因为函数在上单调递增，
函数在上单调递增，
所以在上单调递增.
因为为R上的奇函数，所以在上单调递增，
因为，所以不等式即为，则.
因为，所以，即.
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即的取值范围是.
13．【答案】
【解析】对数列：当时， ，
当时，，所以，
两式相减得： .
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列.
所以.所以.
对函数：
令得：；令得：；
令得：；令得：…
所以函数为周期函数，且周期为4.
又因为： .（）
所以.
故答案为：
14．【答案】
【解析】设的内切圆的圆心为，的内切圆的圆心为，
记边上的切点分别为，
由切线的性质可得：，由双曲线定义可得：，即，则，又.
则，又，则，即.
同理可得，的内切圆也与轴相切于点.
连接，则与轴垂直，设圆与相切于点，连接，
过点作，记垂足为，则.
设直线倾斜角为，则.
在四边形中，注意到，又四边形内角和为，
则，在中，，
，
则，
则直线斜率，即.
故答案为：.
15．【解析】（1）由题意得，
两式相减可得，
令可得，即.
令可得，即，所以
又.
数列为首项为4，公比为2的等比数列.
（2）由（1）可知，所以.
，
要证成立，
只需证，即
令，
当时，单调递增,
故，
；
（3）时，集合，
即，
中元素个数等价于满足的不同解的个数，
如果，则，矛盾；
如果，则，矛盾
，
又，
，
即，共个不同解，所以.
16．【解析】（1）因为点在底面上的射影是与的交点，
所以平面，又平面，所以，
因为四边形为菱形，所以，
因为平面，所以平面，
又平面，所以．
（2）过作于，连接，因为平面，
因为平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以为二面角的平面角，由题意知，是边长为2的等边三角形，
所以，由，知，
在中，，即，
所以二面角的大小为．
（3）因为，且平面平面，所以平面，
所以到平面的距离即为到平面的距离，因为，
所以，即，
所以，即到平面的距离为，
设直线与平面所成的角为，则，
要使最大，则需使最小，此时，由对称性知，，
所以，即时
故当点在线段上靠近点的处时，
直线与平面所成的角最大，最大角正弦值为．
17．【解析】（1）该厂商生产口罩质量指标值的平均数为
；
，
故第60百分位数落在内，设其为，
则，
解得，故第60百分位数为125；
（2）一级口罩与二级口罩的个数比为，
现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，
则一级口罩有个，二级口罩有个，
再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为0,1,2，
，，，
故的分布列如下：
0 1 2
数学期望为，
方差为
（3）的可能取值为，
，
，
，
故，
令，设，则，
因为，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当，即时，取最大值.
18．【解析】（1）由长轴长为，可得，.
因为点上顶点，直线的倾斜角为，
所以中，，则，
又，则.
因为，，
所以直线的方程为.
椭圆的方程为.
（2）设，，，
则关于原点的对称点，即，
由，
三点共线，又，.
设代入椭圆方程得
，，，.
，
，
.
（3）四边形为梯形，
令，则
（当即时等号成立）.
19．【解析】（1）因为，所以，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值为，
所以函数的极小值为；
（2）因为函数为上严格增函数，
所以在R上恒成立，
即在R上恒成立，
设，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
所以，
所以实数的取值范围为；
（3）因为，，
所以，，
因为函数只有一个极大值，故恒成立或方程有两个不同的根.
若恒成立，即在上恒成立，
则当时， 单调递增；
当时， 单调递减；
此时函数只有一个极大值点，满足题意，所以此时，
由（1）可知，所以；
令，则，
故当时， 单调递减；当时， 单调递增；
且时，时；时，如图，
若方程即有两个不同的根，则，
显然，当时， 单调递增；当时， 单调递减，
所以在处取得极大值，
因为只有一个极大值点，所以只能，即是的一个根，此时，
当时，，
令，解得；令，解得或，
所令在和上单调递增，在上单调递减，满足题意；
综上，.

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