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2024-2025学年四川省高县中学校高二下学期期末质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知正六棱锥底边，体积为则该正六棱锥的表面积为( )
A. B. C. D.
5.已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象( )
A. 关于直线对称 B. 关于直线对称
C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称
6.衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为，且与表示不大于的最大整数成正比，第天有人进店消费，则第天进店消费的人数为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.过点向曲线为正整数引斜率为的切线，切点为，则下列结论不正确的是 ．
A. B. C. D. 数列的前项和为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量，则( )
A.
B.
C. 函数在上单调递增的概率为
D. 函数有零点的概率为
10.已知的面积为，若，则( )
A. B.
C. D.
11.设是定义域为的奇函数，且的图象关于直线对称，若时，，则下列说法正确的是( )
A. 为偶函数 B. 在上单调递减
C. D. 在区间上有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从名男生和名女生中选出人参加一项创新大赛，要求选出的人中必须有女生，且男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，则有种不同选法 用数字作答．
13.已知的面积为，且所对的边记为，满足，则的最大值为 ．
14.设双曲线的左、右焦点分别为，，点在曲线上，，，，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知内角的对边分别为，点是的内心，若，．
求角；
延长交于点，若，求的周长．
16.本小题分
根据历史资料显示，某种疾病的自然痊愈率为为深入研究该种疾病的痊愈情况与患者身体素质指标的关系，研究人员收集了部分患者的数据，其中名患者的身体素质综合评分满分分和痊愈所需时间天的数据如下表所示：
编号
根据表中数据，得到痊愈所需时间和身体素质综合评分近似为线性相关关系，建立关于的一元线性回归模型的计算结果精确到小数点后位；
根据所求的经验回归方程，计算号患者痊愈时间的残差；
某药企针对该疾病研发了一种新药，认为该药可将治愈率提高到医院为检验其疗效，把此药给个病人服用，试验方案为：若这个病人中至少有人痊愈，则认为这种药有效；否则认为这种药无效．求经此试验认定该药无效的概率，并根据值的大小解释试验方案是否合理．
附：对于一组数据，，，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若，讨论的单调性．
18.本小题分
如图，菱形的边长为，，将沿折起至如图，且点为的中点．
证明：平面平面：
若，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
离心率为；经过点；，请在上述三个条件中选择一个作为已知条件，回答下列问题．
已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆经过点，_________．
求椭圆的方程；
过的斜率为的直线与椭圆交于点异于点，过与直线垂直的直线交椭圆于点，，记中点为，记的中点为，求满足的直线的斜率．
参考答案
1.
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4.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由可得，由正弦定理可得，
故可得，即，而，故
因为点是的内心，，，
因，，则
从而，．
又，所以，即．
由余弦定理可得．
将代入上式化简得．
解得，因为，所以．
所以的周长为．

16.解：，
，
，
，
，
，
；
把代入得
所以这位患者的痊愈天数的预测值为
所以号患者痊愈时间的残差为；
将个病人服用新药视为重伯努利试验，在每次试验中，每个病人痊愈的概率为，且每个病人是否痊愈是相互独立的．
设表示这个病人中痊愈的人数，则，
设“经过试验该药被认定无效”，事件等价于，
则
由题意可知，如果新药是有效的，则当痊愈的病人数不超过人时，认定新药无效，此时作出了错误的判断．
因为作出错误判断的概率很小，属于小概率事件，所以试验方案是合理的．

17.解：因为，所以，所以，
因为，所以切线方程的斜率为，
又因为切线方程过点，所以切线方程为，即，
故当时，曲线在点处的切线方程为．
因为的定义域为，
，
令，解得或，
当时，即，，
所以函数在区间上单调递减；
当，即时，
令，解得或，所以函数在区间和上单调递减，
令，解得，所以函数在区间上单调递增；
当，即时，
令，解得或，所以函数在区间和上单调递减，
令，解得，所以函数在区间上单调递增．
综上所述，当时，函数在区间上单调递减；
当时，函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增；
当时，函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．

18.解：连接，交于点，连接，，
在菱形中，，，且既是的中点，也是的中点，
又，是等边三角形，
，，
又，，平面，平面，
平面，，
，又是的中点，，
又，、平面，平面，
平面，平面平面；
在边长为的菱形中，，，
以为原点，，所在直线分别为，轴，作平而，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，，
设，，
，解得，
又折叠过程中，，，解得，
，，，
由知平而，
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则
取，则，，，
设平面与平面夹角为，则，
平面与平面夹角的余弦值为．

19.解：若选，离心率为，由题意得
解得，所以椭圆方程为．
若选，经过点．
将点、代入椭圆方程得，解得
所以椭圆方程为．
若选，．
由题意得，解得
所以椭圆方程为．
由题意得直线的方程为，点，
联立直线方程与椭圆方程
消去并整理得，
由
，则，
所以，则，
由知，
所以直线的方程为，即，
设点，，
联立直线方程与椭圆方程
消去并整理得，
因为，所以，
因为是中点，所以，
所以，
因为，所以，
化简得，则，解得或舍去，
所以满足条件的斜率的值为或．

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