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重庆市第十八中学2024 2025学年八年级下学期半期模拟检测数学试题
一、单选题
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．某中学校园文化艺术节歌唱比赛有13 名同学参赛，得分前7名的同学进入决赛，经过角逐，这13名同学的得分各不相同，小明知道自己的得分后，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学得分的（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
3．估计的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间
C．9和10之间 D．10和11之间
4．下列命题中说法一定正确的一项是（ ）
A．邻边相等的平行四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．正方形是邻边相等的平行四边形
D．两组对边平行的四边形是矩形
5．如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
6．直线与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
7．张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是
A．加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y=﹣8t+25
B．途中加油21升
C．汽车加油后还可行驶4小时
D．汽车到达乙地时油箱中还余油6升
8．已知直线与轴、轴分别交于点，，另一直线经过点，且把的面积分为的两部分．则的值为（ ）
A． B．2或 C．或 D．2或
9．如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心（即三条内角平分线的交点），的延长线交于点，是上一动点，连接，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．13
10．如图，在边长为6的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．2 D．10
二、填空题
11．一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是 ．
12．某果农将直径从至的苹果每相差分为1个等级，共分，，，四个等级，它们每箱的价格依次是20元，30元，40元，50元．某天这四个等级苹果销售数量的百分比为：等级，等级，等级，等级，则这天销售的苹果平均每箱的价格为 元．
13．如图，在平行四边形中，点，分别在，的延长线上，，，，，则的长是 ．
14．如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接，．若与关于直线对称，则的周长是 ．
15．已知一次函数的图象不经过第四象限，且关于的不等式组至少有2个整数解，则所有满足条件的整数的值和为 ．
16．如图所示，在正方形中，，、、分别为、、边上的动点，且，则的最小值为 ．
17．如图，在菱形中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，是延长线上一点，且，连接，，交的延长线于点，连接．若，，则的长为 ．
18．若一个四位数M的千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的和也为10，则这个四位数M为“双十数”．例如：，∵，∴3278是“双十数”；又如：，∵ ，∴1294不是“双十数”．若一个“双十数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，当是整数时，的最大值为 ，若、均为整数时，记，当取得最大值，且时，M的值为 ．
三、解答题
19．计算：
（1）；
（2）．
20．小高在学习矩形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是矩形的方法，他的想法是作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则可论证该平行四边形是矩形．
（1）用直尺和圆规，作射线平分交于点；
（2）已知：如图，在平行四边形中，平分交于，平分交于点，且．求证：平行四边形是矩形．
证明：，分别平分，，
，．
四边形为平行四边形，
，①___________，
，，
，②______________，
，，．
在和中，，，，
．
．
，，
③_________________，
平行四边形是矩形．
21．为了让师生更规范地操作教室里的多媒体设备，我校电教中心制作了“教室多媒体设备培训”视频，并在电视课期间进行播放．结束后为了解初高中各班电教委员对设备操作知识的掌握程度，现教中心对他们进行了相关的知识测试．现从初高中各随机抽取了15名电教委员的成绩，得分用x表示，共分成4组：A： 60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100，对得分进行整理分析，给出了下面部分信息：
初中电教委员的测试成绩在C组中的数据为：81，85，88．
高中电教委员的测试成绩：76，83，71，100，81，100，82，88，95，90，100，86，89，93，86．
成绩统计表如下：
学部 平均数 中位数 最高分 众数 极差
初中 88 a 98 98 32
高中 88 86 100 b c
（1）a= ，b= ，c=
（2）通过以上数据分析，你认为 (填“初中”或“高中”)学部的电教委员对多媒体设备操作的知识掌握更好？请说明理由（一条理由）
（3）若初高中共有240名电教委员，请估计此次测试成绩达到90分及以上的电教委员约有多少人？
22．如图，考古人员在古墓大门A处探测到一青铜古物O，由于大门A正北方向有间墓室，考古人员无法沿直线直接挖掘前往．经勘测，考古人员发现有两条线路可以挖掘前往青铜古物O：线路①；线路②．其中点C在点A的正东方10米处，点O在点C北偏西 方向，点D在点C正北方，点O在点D西北方向20米处，点B在点A正西方向，点O在点B北偏东方向．（参考数据：，）

(1)求的长度；（结果保留根号）
(2)受周围环境的影响，考古人员在线路①挖掘的平均速度为3米/小时，在线路②挖掘的平均速度为3.2米/小时，请通过计算说明选择哪条线路能更快挖掘到古物O．
23．如图，在四边形中，，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，运动到点停止，设运动时间为秒，的面积为．
(1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质：
(3)若一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点，请直接写出的取值范围．
24．夏天到了，水果陆续上市．某水果店看好有机水果蓝莓和樱桃的市场价值．若购进40千克蓝莓和30千克樱桃需要1250元；若购进60千克蓝莓和20千克樱桃需要150元，两次购进同种水果的价格一样．
（1）求有机水果蓝莓和樱桃每千克的购进价格各是多少元？
（2）该水果店决定每天购进有机水果蓝莓和樱桃共500千克进行销售，但投入资金不超过9000元，假定该水果店将蓝莓和樱桃的售价分别定为每千克35元和每千克25元，设购进蓝莓x千克，请问当x为何值时，该超市总店将获得最大利润？最大利润是多少？
25．如图1，直线交轴，轴于点和点，直线交轴，轴于点和点，和交于点，已知．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，已知点是轴上一动点，点在直线上，且在点的右侧，连接，当的面积为时，连接，，当取最小值时，求点的坐标；
(3)如图3，连接，将绕点顺时针旋转得到，所在直线交轴于点，连接，点是轴上的一点，是否存在点使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图1，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作平行四边形．
（1）求证：平行四边形是菱形；
（2）如图2，若，连接，，，，求的度数并判断的形状；
（3）如图3，若，，，是的中点，求的长．
参考答案
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】A
10．【答案】B
11．【答案】12
12．【答案】
13．【答案】2
14．【答案】
15．【答案】9
16．【答案】
17．【答案】/
18．【答案】6；2684
19．（1）解：
；
（2）解：
．
20．（1）解：根据题意所作射线如图所示：
；
（2）证明：，分别平分，，
，．
四边形为平行四边形，
，，，
，，
，，
，，
．
在和中，
，
．
，
，
，
，
平行四边形是矩形．
21．（1）解：A与B组共有6个，D组有6个，则中位数落在C组，而C组数据为81，85，88．
根据中位数定义知中位数在（15+1）÷2=8位置上，
第8个数据为85，
中位数为85，
，
观察高中的测试成绩，重复次数最多是3次的100，则高中的测试成绩的众数为100，
；
∵高中的最高成绩为100，最低成绩为76，
∴极差.
（2）解：从众数和中位数看，高中众数100，中位数86都比初中大，在平均数相同时，高中的众数（中位数）更大；说明高中的大部分学生的测试成绩优于初中.
（3）解：初中，有6人，高中90分以上有6人，
初中和高中90分以上占样本的百分比为，
此次测试成绩达到90分及以上的学生约：，
答：此次测试成绩达到90分及以上的电教委员约有96人．
22．（1）解：过点O作延长线的垂线，垂足为点E，

由题意得 ，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：的长度为；
（2）解：过点O作于点F，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴线路②路程为 ，
∴（小时），

线路①路程为 ，
∴（小时）
∴，因此线路①能更快挖掘到古物O．
23．（1）解： ∵四边形，，
∴，
∴四边形是梯形，
∴，
已知动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，运动到点停止，设运动时间为秒，，
当点在上时，，则，
∴，，
∵，
∴；
当点在上时，，
∴，，
∴；
综上所述，；
（2）解：根据（1）中的解析式，作图如下，
∴当时，随的增大而增大；当时，有最大值，最大值为；当时，随的增大而减小；
（3）解：由（2）可得，时，，当时，，时，，
在中，时，，当时，，
∴一次函数的图象经过，，随的增大而增大，
当时，一次函数解析式为，如图所示，
联立方程组得，，
解得，，
即一次函数与有1个交点，且另一个交点式，如直线；
∴当时，一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点；
当在一次函数的图象上时，，
解得，，
即当时，一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点，如直线；
当时，时，，
解得，，一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点，如直线；
综上所述，当时或时，一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点．
24．（1）解：设蓝莓和樱桃每千克的进价分别是a元和b元，
依题意得，
解方程组得，
答：有机水果蓝莓和樱桃每千克的进价分别是20元和15元；
（2）因为购进蓝莓x千克，则购进樱桃（500﹣x）千克，
由题意20x+15（500-x）≤9000，
解得x≤300，
∴，
设利润为W元，
则W＝（35﹣20）x+（25﹣15）（500﹣x）＝5000+5x，
∵50，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝300时，W最大，最大值为5000+5×300＝6500，
答：当x＝300时，该水果店将获得最大利润6500元．
25．（1）解：∵直线交轴，轴于点和点，
∴当，则，当，则，
∴，，
∵，
∴，，
∵和交于点，
∴，
∴，
∵为，
∴，解得：，
∴直线为：．
（2）解：由题意设，
∵的面积为，
∴，
解得：，
∴，
∵直线为：．
∴当时，，
∴，
如图，作关于轴的对称点，
∴，
∴，
当三点共线时，最小，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
当时，，
解得：，
∴．
（3）解：如图，∵，，，将绕点顺时针旋转得到，
∴，，，
过作轴于，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
同理可得：的解析式为，
同理可得：，
同理可得：直线的解析式为：，
∵，
∴，
∴直线的解析式为：，
∴当时，解得，
∴，
如图，当时，记的交点为，
∴，
设，
∴，
解得：，
∴，
∴，
同理可得：的解析式为：，
当时，解得：，
∴，
综上：或．
26．（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形为菱形；
（2）解：；是等边三角形；
∵，，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，四边形是菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（3）解：如图，连接，，
∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
又由（1）可知四边形为菱形，，
∴四边形为正方形．
根据解析（2）可知，，
∵M为中点，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，．
∴，
∴是等腰直角三角形．
∵，，
∴，
∴．

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