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1.3　公式法
第1课时
知识点1　用平方差公式进行因式分解
1.对于多项式(1)x2-y2;(2)-x2-y2;(3)4x2-y;(4)-4+x2中,能用平方差公式分解的有_____个(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.对多项式4x2-1进行因式分解,正确的是(B)
A.4x2-1=(x+1)(x-1)
B.4x2-1=(2x+1)(2x-1)
C.4x2-1=(4x+1)(4x-1)
D.4x2-1=(1+2x)(1-2x)
3.下列各式应用平方差公式进行因式分解:
①32-y2=9-y2;②a2-9b2=(a+9b)(a-9b);③4x4-1=(2x2+1)(2x2-1);
④m2n2-=;⑤-a2-b2=(-a+b)(-a-b).其中正确的有(B)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.某同学粗心大意,因式分解时,把等式a4-※=(a2+4)(a+2)(a-●)中的两个数弄污了,那么你认为式子中的※和●所代表的数分别是　16,2　.
5.(教材再开发·P11练习T2变式)利用因式分解计算:5032-4972.
【解析】原式=(503+497)×(503-497)
=1 000×6
=6 000.
知识点2　提公因式法与平方差公式的综合运用
6.因式分解ab2-a,下列结果正确的是(C)
A.ab2-a=a(b2-1)
B.ab2-a=a(b-1)2
C.ab2-a=a(b+1)(b-1)
D.ab2-a=a(b+1)2
7.把x3-16x因式分解,结果正确的是(D)
A.x(x2-16) B.x(x-4)2
C.x(x+4)2 D.x(x+4)(x-4)
8.(2024·广安中考)分解因式:a3-9a=　a(a+3)(a-3)　.
9.因式分解:a4b-81b=　b(a2+9)(a+3)(a-3)　.
10.因式分解及简便方法计算:
3.14×5.52-3.14×4.52.
【解析】原式=3.14×(5.52-4.52)
=3.14×(5.5+4.5)×(5.5-4.5)
=3.14×10×1
=31.4.
11.已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式因式分解,则单项式M可以是(D)
A.2ab B.-2ab C.3b2 D.-5b2
12.216-1可以被10~20之间的两个整数整除,那这两个整数是(D)
A.13和15 B.12和16
C.14和17 D.15和17
13.对于任意整数n,多项式(n+7)2-(n-3)2的值都能(A)
A.被20整除 B.被7整除
C.被21整除 D.被n+4整除
14.因式分解:ax4-81ay4=　a(x2+9y2)(x-3y)(x+3y)　.
15.计算2 025×512-2 025×492的结果是　405 000　.
16.已知x与y互为相反数,且(x+2)2-(y+1)2=4,求x,y的值.
【解析】因为(x+2)2-(y+1)2=4,
所以[(x+2)+(y+1)][(x+2)-(y+1)]=4,
即(x+y+3)(x-y+1)=4,
因为x,y互为相反数,
所以x+y=0①,所以3(x-y+1)=4,则x-y=②,
令①+②得2x=,所以x=,
把x=代入①得y=-,
所以x=,y=-.
17.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“奇特数”,例如:8=32-12,16=52-32,24=72-52;则8,16,24这三个数都是奇特数.
(1)填空:32________奇特数,2 022________奇特数.(填“是”或者“不是”)
(2)设两个连续奇数是2n-1和2n+1(其中n取正整数),由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗 为什么
(3)如图所示,拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数,按此规律拼叠到正方形ABCD,其边长为99,求阴影部分的面积.
【解析】(1)因为8=32-12,16=52-32,24=72-52,8,16,24这三个数都是奇特数,
所以奇特数是8的整数倍,即8N(N是正整数),
因为32=8×4=92-72,所以32是奇特数,
因为2 022=6×337,不是8的整数倍,
所以2 022不是奇特数.
答案:是　不是
(2)由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数,
理由:因为(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n,所以由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
(3)S阴影部分=992-972+952-932+912-892+…+72-52+32-12=(99+97)(99-97)+(95+ 93)(95-93)+(91+89)(91-89)+…+(7+5)(7-5)+(3+1)(3-1)=(99+97+95+…+3+1)×2
=×2=5 000.1.3　公式法
第2课时
知识点1　用完全平方公式因式分解
1.下列各式从左边到右边的变形,是因式分解且分解正确的是(B)
A.(a+1)(a-1)=a2-1
B.a2-8a+16=(a-4)2
C.a2-2a+4=(a-2)2
D.ab+ac+1=a(b+c)+1
2.多项式x2+2ax+4能用完全平方公式因式分解,则a的值是(C)
A.4 B.-4
C.2或-2 D.4或-4
3.分解因式:x2+x+1= (x+1)2　.
4.计算:46.522+93.04×53.48+53.482=　10 000　.
5.(教材再开发·P13练习T2变式)分解因式:
(1)16x2y2-40xy+25;
(2)x4+16y4+8x2y2;
(3)-m2+3m-9;
(4)(a-2b)2-12(a-2b)+36.
【解析】(1)原式=(4xy)2-40xy+52=(4xy-5)2.
(2)原式=(x2)2+2x2·4y2+(4y2)2=(x2+4y2)2.
(3)原式=-=-.
(4)原式=(a-2b-6)2.
知识点2　提公因式法、公式法的综合应用
6.下列因式分解正确的是(D)
A.2x2y-4xy2+2xy=2xy(x-2y)
B.x(x-y)-(y-x)=(x-y)(x-1)
C.x2-3x+9=(x-3)2
D.4x2-16=4(x+2)(x-2)
7.如图,长与宽分别为a,b的长方形,它的周长为16,面积为12,则a3b+2a2b2+ab3的值为(C)
A.766 B.767 C.768 D.769
8.分解因式:x3+6x2+9x=　x(x+3)2　.
9.因式分解:-8a3b+8a2b2-2ab3=　-2ab(2a-b)2　.
10.因式分解:
(1)a3-2a2b+ab2;
(2)4x2-8x+4;
(3)-18a3+12a2-2a.
【解析】(1)原式=a(a2-2ab+b2)=a(a-b)2;
(2)原式=4(x2-2x+1)=4(x-1)2;
(3)原式=-2a(9a2-6a+1)=-2a(3a-1)2.
11.下列因式分解中错误的是(C)
A.x2-8xy+16y2=(x-4y)2
B.xy-x+y-1=(x+1)(y-1)
C.x2-4x-5=(x-1)(x+5)
D.16x4-1=(4x2+1)(2x+1)(2x-1)
12.在三角形ABC中,若三边长a,b,c满足a2+2ab+b2=c2+24,a+b-c=4,三角形ABC的周长是(D)
A.12 B.16 C.8 D.6
13.因式分解:-a3+2a2-a=　-a(a-1)2　.
14.若实数m,n满足m2+n2+m2n2+8mn+9=0,则(m-n)2的值为　12　.
15.因式分解:
(1)1-a2-4b2+4ab;
(2)(a2-2ab+b2)+(-2a+2b)+1.
【解析】(1)原式=1-(a2-4ab+4b2)
=12-(a-2b)2
=(1+a-2b)(1-a+2b);
(2)原式=(a-b)2-2(a-b)+1
=(a-b-1)2.
16.我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明.例如,利用图1中边长分别为a,b的正方形,以及长为a、宽为b的长方形卡片若干张拼成图2(卡片间不重叠、无缝隙),可以用来解释完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2.
请你解答下面的问题:
(1)利用图1中的三种卡片若干张拼成图3,可以解释等式:______________ __________;
(2)利用图1中三种卡片若干张拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形ABCD,请你分析这个长方形的长和宽.
【解析】(1)(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2;
(2)2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b),
答:由图形可知,长为2a+b,宽为a+2b.1.3　公式法
第2课时
知识点1　用完全平方公式因式分解
1.下列各式从左边到右边的变形,是因式分解且分解正确的是( )
A.(a+1)(a-1)=a2-1
B.a2-8a+16=(a-4)2
C.a2-2a+4=(a-2)2
D.ab+ac+1=a(b+c)+1
2.多项式x2+2ax+4能用完全平方公式因式分解,则a的值是( )
A.4 B.-4
C.2或-2 D.4或-4
3.分解因式:x2+x+1= ( ) .
4.计算:46.522+93.04×53.48+53.482= .
5.(教材再开发·P13练习T2变式)分解因式:
(1)16x2y2-40xy+25;
(2)x4+16y4+8x2y2;
(3)-m2+3m-9;
(4)(a-2b)2-12(a-2b)+36.
知识点2　提公因式法、公式法的综合应用
6.下列因式分解正确的是( )
A.2x2y-4xy2+2xy=2xy(x-2y)
B.x(x-y)-(y-x)=(x-y)(x-1)
C.x2-3x+9=(x-3)2
D.4x2-16=4(x+2)(x-2)
7.如图,长与宽分别为a,b的长方形,它的周长为16,面积为12,则a3b+2a2b2+ab3的值为( )
A.766 B.767 C.768 D.769
8.分解因式:x3+6x2+9x= .
9.因式分解:-8a3b+8a2b2-2ab3= .
10.因式分解:
(1)a3-2a2b+ab2;
(2)4x2-8x+4;
(3)-18a3+12a2-2a.
11.下列因式分解中错误的是( )
A.x2-8xy+16y2=(x-4y)2
B.xy-x+y-1=(x+1)(y-1)
C.x2-4x-5=(x-1)(x+5)
D.16x4-1=(4x2+1)(2x+1)(2x-1)
12.在三角形ABC中,若三边长a,b,c满足a2+2ab+b2=c2+24,a+b-c=4,三角形ABC的周长是( )
A.12 B.16 C.8 D.6
13.因式分解:-a3+2a2-a= .
14.若实数m,n满足m2+n2+m2n2+8mn+9=0,则(m-n)2的值为 .
15.因式分解:
(1)1-a2-4b2+4ab;
(2)(a2-2ab+b2)+(-2a+2b)+1.
16.我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明.例如,利用图1中边长分别为a,b的正方形,以及长为a、宽为b的长方形卡片若干张拼成图2(卡片间不重叠、无缝隙),可以用来解释完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2.
请你解答下面的问题:
(1)利用图1中的三种卡片若干张拼成图3,可以解释等式:______________ __________;
(2)利用图1中三种卡片若干张拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形ABCD,请你分析这个长方形的长和宽.1.3　公式法
第1课时
知识点1　用平方差公式进行因式分解
1.对于多项式(1)x2-y2;(2)-x2-y2;(3)4x2-y;(4)-4+x2中,能用平方差公式分解的有_____个( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.对多项式4x2-1进行因式分解,正确的是( )
A.4x2-1=(x+1)(x-1)
B.4x2-1=(2x+1)(2x-1)
C.4x2-1=(4x+1)(4x-1)
D.4x2-1=(1+2x)(1-2x)
3.下列各式应用平方差公式进行因式分解:
①32-y2=9-y2;②a2-9b2=(a+9b)(a-9b);③4x4-1=(2x2+1)(2x2-1);
④m2n2-=;⑤-a2-b2=(-a+b)(-a-b).其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.某同学粗心大意,因式分解时,把等式a4-※=(a2+4)(a+2)(a-●)中的两个数弄污了,那么你认为式子中的※和●所代表的数分别是 .
5.(教材再开发·P11练习T2变式)利用因式分解计算:5032-4972.
知识点2　提公因式法与平方差公式的综合运用
6.因式分解ab2-a,下列结果正确的是( )
A.ab2-a=a(b2-1)
B.ab2-a=a(b-1)2
C.ab2-a=a(b+1)(b-1)
D.ab2-a=a(b+1)2
7.把x3-16x因式分解,结果正确的是( )
A.x(x2-16) B.x(x-4)2
C.x(x+4)2 D.x(x+4)(x-4)
8.(2024·广安中考)分解因式:a3-9a= .
9.因式分解:a4b-81b= .
10.因式分解及简便方法计算:
3.14×5.52-3.14×4.52.
11.已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式因式分解,则单项式M可以是( )
A.2ab B.-2ab C.3b2 D.-5b2
12.216-1可以被10~20之间的两个整数整除,那这两个整数是( )
A.13和15 B.12和16
C.14和17 D.15和17
13.对于任意整数n,多项式(n+7)2-(n-3)2的值都能( )
A.被20整除 B.被7整除
C.被21整除 D.被n+4整除
14.因式分解:ax4-81ay4= .
15.计算2 025×512-2 025×492的结果是 .
16.已知x与y互为相反数,且(x+2)2-(y+1)2=4,求x,y的值.
17.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“奇特数”,例如:8=32-12,16=52-32,24=72-52;则8,16,24这三个数都是奇特数.
(1)填空:32________奇特数,2 022________奇特数.(填“是”或者“不是”)
(2)设两个连续奇数是2n-1和2n+1(其中n取正整数),由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗 为什么
(3)如图所示,拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数,按此规律拼叠到正方形ABCD,其边长为99,求阴影部分的面积.

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