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第1章　因式分解
单元复习课
概览提纲挈领　　方寸之间 尽显乾坤
答案:①　乘积　　　　②　互逆　　　　③　(x+y)(x-y)=x2-y2　
④　(x±y)2=x2±2xy+y2　　　　⑤　公因式　　　　⑥　公式　
考点定向突破　　怀揣梦想 勇攀高峰
【考点1】因式分解与整式乘法的关系
1.下列因式分解正确的是(B)
A.ax+ay=a(x+y)+1 B.3a+3b=3(a+b)
C.a2+4a+4=(a+4)2 D.a2+b=a(a+b)
2.如果把多项式x2-3x+n分解因式得(x-1)(x+m),那么m=　-2　,n=　2　.
【考点2】提公因式法
3.把9mn+6mn2分解因式,应提取的公因式是(C)
A.3m B.mn C.3mn D.mn2
4.把多项式2(a-2)+6x(2-a)分解因式,结果是(D)
A.(a-2)(2+6x) B.(a-2)(2-6x)
C.2(a-2)(1+3x) D.2(a-2)(1-3x)
5.(2023·永州中考)2a2与4ab的公因式为　2a　.
6.(2024·内江中考)分解因式:m2-5m=　m(m-5)　.
7.(2024·福建中考)因式分解:x2+x=　x(x+1)　.
8.(2024·江西中考)因式分解:a2+2a=　a(a+2)　.
【考点3】公式法
9.(2024·北京中考)分解因式:x3-25x=　x(x+5)(x-5)　.
10.(2024·赤峰中考)因式分解:3am2-3a=　3a(m+1)(m-1)　.
11.(2024·眉山中考)分解因式:3a3-12a=　3a(a+2)(a-2)　.
12.(2024·达州中考)分解因式:3x2-18x+27=　3(x-3)2　.
13.(2024·威海中考)因式分解:(x+2)(x+4)+1=　(x+3)2　.
14.(2024·广元中考)分解因式:(a+1)2-4a=　(a-1)2　.
【考点4】因式分解的应用
15.(2024·广西中考)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为(D)
A.0 B.1 C.4 D.9
16.已知a+b=1,则代数式a2-b2+2b+9的值为 　10　.
17.(2023·济宁中考)已知实数m满足m2-m-1=0,则2m3-3m2-m+9=　8　.
18.(2024·安徽中考)数学兴趣小组开展探究活动,研究了“正整数N能否表示为x2-y2(x,y均为自然数)”的问题.
(1)指导教师将学生的发现进行整理,部分信息如下(n为正整数):
N 奇数 4的倍数
表示结果 1=12-02 3=22-12 5=32-22 7=42-32 9=52-42 … 4=22-02 8=32-12 12=42-22 16=52-32 20=62-42 …
一般结论 2n-1=n2-(n-1)2 4n=________________
按上表规律,完成下列问题:
(ⅰ)24=(________)2-( ________)2;
(ⅱ)4n=_____________________;
(2)兴趣小组还猜测:像2,6,10,14,…这些形如4n-2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2-y2(x,y均为自然数).师生一起研讨,分析过程如下:
假设4n-2=x2-y2,其中x,y均为自然数. 分下列三种情形分析: ①若x,y均为偶数,设x=2k,y=2m,其中k,m均为自然数, 则x2-y2=(2k)2-(2m)2=4(k2-m2)为4的倍数. 而4n-2不是4的倍数,矛盾.故x,y不可能均为偶数. ②若x,y均为奇数,设x=2k+1,y=2m+1,其中k,m均为自然数, 则x2-y2=(2k+1)2-(2m+1)2=________________　为4的倍数. 而4n-2不是4的倍数,矛盾.故x,y不可能均为奇数. ③若x,y一个是奇数一个是偶数,则x2-y2为奇数. 而4n-2是偶数,矛盾.故x,y不可能一个是奇数一个是偶数. 由①②③可知,猜测正确.
阅读以上内容,请在情形②的横线上填写所缺内容.
【解析】(1)(ⅰ)4=4×1=(1+1)2-(1-1)2,
8=4×2=(2+1)2-(2-1)2,
12=4×3=(3+1)2-(3-1)2,
20=4×5=(5+1)2-(5-1)2,
24=4×6=(6+1)2-(6-1)2=72-52,
…
4n=4·n=(n+1)2-(n-1)2.
答案:7　5
(ⅱ)由(ⅰ)推导的规律可知4n=4·n=(n+1)2-(n-1)2.
答案:(n+1)2-(n-1)2
(2)(2k+1)2-(2m+1)2=(2k+1+2m+1)(2k+1-2m-1)=4(k2-m2+k-m).
答案:4(k2-m2+k-m)
19.(2024·福建中考)已知实数a,b,c,m,n满足3m+n=,mn=.
(1)求证:b2-12ac为非负数;
(2)若a,b,c均为奇数,m,n是否可以都为整数 说明你的理由.
【解析】(1)因为3m+n=,mn=,
所以b=a(3m+n),c=amn,
则b2-12ac=[a(3m+n)]2-12a2mn
=a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn
=a2(9m2-6mn+n2)
=a2(3m-n)2,
因为a,m,n是实数,
所以a2(3m-n)2≥0,
所以b2-12ac 为非负数.
(2)m,n不可能都为整数.
理由如下:若m,n都为整数,其可能情况有:①m,n都为奇数;②m,n为整数,且其中至少有一个为偶数,
(ⅰ)当m,n都为奇数时,则3m+n必为偶数,
又因为3m+n=,
所以b=a(3m+n),
因为a为奇数,
所以a(3m+n) 必为偶数,这与b为奇数矛盾;
(ⅱ)当m,n为整数,且其中至少有一个为偶数时,则mn必为偶数,
又因为mn=,
所以c=amn,
因为a为奇数,
所以amn必为偶数,这与c为奇数矛盾.
综上所述,m,n不可能都为整数.
阶段测评,请使用　“单元质量评价(一)”第1章　因式分解
单元复习课
概览提纲挈领　　方寸之间 尽显乾坤
答案:① 　　　② 　　　③
④ 　　　⑤ 　　　⑥
考点定向突破　　怀揣梦想 勇攀高峰
【考点1】因式分解与整式乘法的关系
1.下列因式分解正确的是( )
A.ax+ay=a(x+y)+1 B.3a+3b=3(a+b)
C.a2+4a+4=(a+4)2 D.a2+b=a(a+b)
2.如果把多项式x2-3x+n分解因式得(x-1)(x+m),那么m= ,n= .
【考点2】提公因式法
3.把9mn+6mn2分解因式,应提取的公因式是( )
A.3m B.mn C.3mn D.mn2
4.把多项式2(a-2)+6x(2-a)分解因式,结果是( )
A.(a-2)(2+6x) B.(a-2)(2-6x)
C.2(a-2)(1+3x) D.2(a-2)(1-3x)
5.(2023·永州中考)2a2与4ab的公因式为 .
6.(2024·内江中考)分解因式:m2-5m= .
7.(2024·福建中考)因式分解:x2+x= .
8.(2024·江西中考)因式分解:a2+2a= .
【考点3】公式法
9.(2024·北京中考)分解因式:x3-25x= .
10.(2024·赤峰中考)因式分解:3am2-3a= .
11.(2024·眉山中考)分解因式:3a3-12a= .
12.(2024·达州中考)分解因式:3x2-18x+27= .
13.(2024·威海中考)因式分解:(x+2)(x+4)+1= .
14.(2024·广元中考)分解因式:(a+1)2-4a= .
【考点4】因式分解的应用
15.(2024·广西中考)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为( )
A.0 B.1 C.4 D.9
16.已知a+b=1,则代数式a2-b2+2b+9的值为 .
17.(2023·济宁中考)已知实数m满足m2-m-1=0,则2m3-3m2-m+9= .
18.(2024·安徽中考)数学兴趣小组开展探究活动,研究了“正整数N能否表示为x2-y2(x,y均为自然数)”的问题.
(1)指导教师将学生的发现进行整理,部分信息如下(n为正整数):
N 奇数 4的倍数
表示结果 1=12-02 3=22-12 5=32-22 7=42-32 9=52-42 … 4=22-02 8=32-12 12=42-22 16=52-32 20=62-42 …
一般结论 2n-1=n2-(n-1)2 4n=________________
按上表规律,完成下列问题:
(ⅰ)24=(________)2-( ________)2;
(ⅱ)4n=_____________________;
(2)兴趣小组还猜测:像2,6,10,14,…这些形如4n-2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2-y2(x,y均为自然数).师生一起研讨,分析过程如下:
假设4n-2=x2-y2,其中x,y均为自然数. 分下列三种情形分析: ①若x,y均为偶数,设x=2k,y=2m,其中k,m均为自然数, 则x2-y2=(2k)2-(2m)2=4(k2-m2)为4的倍数. 而4n-2不是4的倍数,矛盾.故x,y不可能均为偶数. ②若x,y均为奇数,设x=2k+1,y=2m+1,其中k,m均为自然数, 则x2-y2=(2k+1)2-(2m+1)2=________________ 为4的倍数. 而4n-2不是4的倍数,矛盾.故x,y不可能均为奇数. ③若x,y一个是奇数一个是偶数,则x2-y2为奇数. 而4n-2是偶数,矛盾.故x,y不可能一个是奇数一个是偶数. 由①②③可知,猜测正确.
阅读以上内容,请在情形②的横线上填写所缺内容.
19.(2024·福建中考)已知实数a,b,c,m,n满足3m+n=,mn=.
(1)求证:b2-12ac为非负数;
(2)若a,b,c均为奇数,m,n是否可以都为整数 说明你的理由.

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