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北京二中2024—2025学年度第六学段高一年级学段考试试卷
数学必修第二册
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题纸上）
1. 样本中共有五个个体，其值分别为，若该样本的平均值为1，则样本的方差为（ ）
A B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应点是，的对应点是，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
3. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，，则；
④若，，则与所成的角和与所成的角相等．
其中正确命题的序号是　　）
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④
4. 如图，已知正四棱锥的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，则当面积的最小值时，OH与平面ABCD所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 设A为平面上一点，过点A的直线AO在平面上的射影为AB，AC为平面内的一条直线，令，，，则这三个角存在一个余弦关系：(其中和只能是锐角)，称为最小张角定理.直线l与平面所成的角是，若直线l在内的射影与内的直线m所成角为，则直线l与直线m所成的角是（ ）
A B. C. D.
6. 在某校运会的跳高比赛中，小明准备挑战1米90的校运会记录.已知试跳共有三次机会，根据小明日常训练的数据，他每次试跳成功的概率为0.2，每次试跳的结果相互独立，则在本次比赛中，小明挑战成功的概率为（ ）
A. 0.2 B. 0.6 C. 0.384 D. 0.488
7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形或直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
8. 设，是两个非零向量，则“”是“向量与向量的夹角为锐角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）
①某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为；
②三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为；
③甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为；
④设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是；
A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①③④
10. 某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如下检查项目：
项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；
项目②：打开过程中（如图2），检查；
项目③：打开过程中（如图2），检查；
项目④：打开后（如图3），检查；
项目⑤：打开后（如图3），检查.
下列检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是（ ）
A. ①②③ B. ③④⑤ C. ②③⑤ D. ②④⑤
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上）
11. 下列数据的70%分位数为________．
20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22.
12. 从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是__________.
13. 若，则________.
14. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为______．
15. 如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是________.
16. 如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：
①存在点，使；
②存在点，使；
③到直线和的距离相等的点有无数个；
④若，则四面体体积的最大值为．
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题（本大题共70分，请将答案填在答题纸上）
17. 某地区在政府和有关部门的号召下，通过多样的科普宣传，充分调动了当地居民的运动热情．为了解当地居民每天的运动情况，从甲社区随机抽取了300人，从乙社区随机抽取了200人，对他们每天的运动时长（单位：）进行统计，将所得数据按照进行分组，得到样本数据的频率分布直方图如下．
（1）若乙社区共有居民2万人，估计乙社区居民每天运动时长不少于60min的人数；
（2）估计甲社区居民每天运动时长的中位数；
（3）假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计甲社区抽取的300人每天运动时长的平均值为，乙社区抽取的200人每天运动时长的平均值为，以及甲、乙两个社区抽取的500人每天运动时长的平均值为，试比较和的大小．
18. 在中，角的对边分别为，若：
（1）求的大小；
（2）求的最大值.
19. 已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．
（1）求解析式；
（2）设，求函数在上的单调递增区间．
条件①：；
条件②：为偶函数；
条件③：的最大值为1；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
20. 在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，.
（1）若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：；
（2）①证明：；
②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值.
21. 已知集合，x、，其中．定义，若，则称x与y正交．
（1）若，写出中与x正交的所有元素；
（2）令，若，证明：为偶数；
（3）若，且A中任意两个元素均正交，分别求出，14时，A中最多可以有多少个元素．
北京二中2024—2025学年度第六学段高一年级学段考试试卷
数学必修第二册
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题纸上）
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】A
【10题答案】
【答案】C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上）
【11题答案】
【答案】28
【12题答案】
【答案】##
【13题答案】
【答案】##04
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】##
【16题答案】
【答案】①③④
三、解答题（本大题共70分，请将答案填在答题纸上）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）；
（2）
【20题答案】
【答案】（1）证明见解析．
（2）①证明见解析．②
【21题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）8个，2个

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