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第二十五章　概率初步
25.3 用频率估计概率
养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个塘里养的是同一种鱼),先捕上100条做上标记，然后放回塘里，过一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条，发现其中带标记的鱼有10条，塘里大约有鱼多少条？他用了什么数学方法？
怎样知道鱼塘里有多少条鱼？
用样本的频率估计总体的频率
新课导入
问题1 抛掷一枚硬币，正面(有数字的一面)向上的概率是二分之一，这个概率能否利用试验的方法──通过统计很多掷硬币的结果来得到呢？
【试验要求】
1.全班同学分组，每组六名同学分为三小组，分别做投掷试验。
2.统计试验结果，按要求计算频率（频率结果保留两位小数），
向组长汇报，并由组长填写好表格.投掷试验的总次数不少于100次.
3.组长将表格交给老师.
试验投掷时要细心、认真哟！
探究新课
探究频率与概率的关系
试验探究
掷硬币试验
试验者(一组) 1号与6号 2号与5号 3号与4号 小组合计
正面向上次数m 46 78 102 226
总投掷次数n 100 150 200 450
正面向上频率m/n
试验者(二组) 1号与6号 2号与5号 3号与4号 小组合计
正面向上次数m 84 88 109 281
总投掷次数n 160 180 210 550
正面向上频率m/n
实验者 一组 二组 三组 四组 五组 六组 全班
合计
正面向 上次数m 226 281 260 238 246 259
总投掷 次数n 450 550 503 487 510 495
正面向上频率m/n
试验汇报：（以一组为例）
问题2 分析试验结果及下面数学家大量重复试验数据，大家有何发现？
试验者 抛掷次数n “正面向上”次数m “正面向上”频率( m/ n)
皮尔逊 24000 12012 0.5005
皮尔逊 12000 6019 0.5016
费 勒 10000 4979 0.4979
布 丰 4040 2048 0.5069
棣莫弗 2048 1061 0.518
问题3 分析试验结果及下面数学家大量重复试验数据，大家有何发现？
试验次数越多频率越接近0. 5，即频率稳定于概率.
抛掷次数n
0.5
2048
4040
10000
12000
24000
0
"正面向上"
频率
人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应客观规律.这称为大数法则,亦称大数定律.
由频率可以估计概率是由瑞士数学家雅各布·伯努利（1654－1705）最早阐明的，因而他被公认为是概率论的先驱之一．
数学史实
频率稳定性定理
问题4 为什么可以用频率估计概率？
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的概率 会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)=p.
问题5 频率与概率有什么区别与联系？
所谓频率，是在相同条件下进行重复试验时事件发生的次数与试验总次数的比值，其本身是随机的，在试验前不能够确定，且随着试验的不同而发生改变. 而一个随机事件发生的概率是确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关. 从以上角度上讲，频率与概率是有区别的，但在大量的重复试验中，随机事件发生的频率会呈现出明显的规律性：随着试验次数的增加，频率将会越来越集中在一个常数附近，具有稳定性，即试验频率稳定于其理论概率.
一般地,当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时, 则用列举法，利用概率公式P(A)=的方式得出概率.
当试验的所有可能结果不是有限个,或各种可能结果发生的可能性不相等时,常常是通过统计频率来估计概率,即在同样条件下,大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的概率.
方法归纳
例1 某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
分析 根据上表估计柑橘损坏的概率为0.1，则柑橘完好的概率为0.9.
典例解析
解：根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9=9000千克，完好柑橘的实际成本为
(元/千克)
设每千克柑橘的销价为x元，则应有
(x-2.22)×9000=5000，
解得 x≈2.8.
因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元.
柑橘总质量(n)/千克 损坏柑橘质量(m)/千克 柑橘损坏的频率(m/n )
频率估计概率的应用
填表：
由上表可知：柑橘损坏率是 ，完好率是 .
1.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%，则这个水塘里有鲤鱼 尾,鲢鱼 尾.
310
270
2. 养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个塘里养的是同一种鱼),先捕上100条做上标记，然后放回塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条，发现其中带标记的鱼有10条，鱼塘里大约有鱼多少条？
解：设鱼塘里有鱼x条，根据题意可得
解得 x=1000.
答：鱼塘里有鱼1000条.
随堂演练
3.抛掷硬币“正面向上”的概率是0.5.如果连续抛掷100次，而结果并不一定是出现“正面向上”和“反面向上”各50次，这是这什么？
答：这是因为频数和频率的随机性以及一定的规律性.或者说概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.
某池塘里养了鱼苗10万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为95%，一段时间准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼重 2.5千克，第二网捞出25条，称得平均每条鱼重2.2千克，第三网捞出35条，称得平均每条鱼重2.8千克，试估计这池塘中鱼的重量.
学习致用
解：先计算每条鱼的平均重量是：
(2.5×40+2.2×25+2.8×35)÷(40+25+35)=2.53(千克)；
所以这池塘中鱼的重量是2.53×100000× 95%=240350(千克).
列举法
不能适应
频率稳定
常数附近
频率稳定时可看作是概率
但概率与频率无关
课堂小结
频率与概
率的关系
求非等可能性事件概率
用样本(频率)估
计总体(概率)
频率估计概率
大量重复试验
统计思想
一种关系

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