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2024-2025学年四川省眉山中学校高二下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是( )
A. B. C. D.
2.展开式中第项的二项式系数为( )
A. B. C. D.
3.某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，踢毽在跳绳的前面，则不同的安排方案种数为( )
A. B. C. D.
4.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则
A. B. C. D.
5.已知函数，则的极大值为
A. B. C. D.
6.将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，要使方盒容积最大，则的取值为( )
A. B. C. D.
7.包含甲同学在内的个学生去观看滑雪、马术、气排球场比赛，每场比赛至少有名学生且至多有名学生前往观看，则甲同学不去观看气排球的方案种数有( )
A. B. C. D.
8.设是以为首项，为公差的等差数列，是为首项，为公比的等比数列，记，则中不超过的项的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列的前项和为，，则有( )
A. B. 为等比数列
C. D.
10.已知，则( )
A. B.
C. D.
11.若存在过点的直线与曲线和都相切，则的值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，含项的系数是 用数字表示．
13.数列满足，，则 ．
14.奇函数定义域为，其导函数是当时，有，则关于的不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小．
求的值及展开式中二项式系数最大的项；
求展开式中的有理项．
16.本小题分
已知函数，曲线在点处切线方程为．
求实数的值；
求的单调区间，并求的极大值．
17.本小题分
已知等差数列，正项等比数列，其中的前项和记为，满足，，．
求数列，的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数 ．
当时，求函数的单调递增区间；
当时，证明：其中为自然对数的底数．
19.本小题分
设，函数．
当时，求的最大值；
当时，关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
求证：当，时．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：令，则展开式中各项系数之和为，各二项式系数和为，
则，解得，
展开式有项，二项式系数最大的为第项
二项式的展开式的通项公式为，
令，且，解得，
则展开式中含的有理项有项，分别为．

16.解：，
曲线在点处的切线方程为，
，解得．
由可知：，
．
由解得，或，此时函数在单调递增；
由解得，此时函数在单调递减．
故当时，函数取得极大值，极大值为．

17.解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为；
利用基本量运算有，
因为为正项数列，可得，
所以；
即数列的通项公式为
数列的通项公式为
由可得，
所以

得：
即数列的前项和

18.解：的定义域为，
，
当，即时，在递增．
当时，，在上递增．
当，即时，在上，递增．
综上所述，当时，的递增区间为，
当时，的递增区间为．
当时，，的递增区间为．
当时，由化简得，
构造函数，
，在上递增，
，
故存在，使得，即．
当时，递减；
当时，递增．
所以时取得极小值，也即是最小值．
，
所以，故．

19.解：当时，，而，
，
令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，
故
时，，
关于的方程化为，
令，，
，
令，解得或，
令，解得，此时函数单调递增，
令，解得，此时函数单调递减，
关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，则在上恰有两个不相等的实数根
则，即，解得：，
实数的取值范围是
设，
则当时，在单调递减，当时，在单调递增，故当，
故当且仅当时取等号，
令则，
依次取，，，．
累加求和可得，
当时，，
，
，
故，
即

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