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2024-2025学年云南省楚雄彝族自治州楚雄市等5地高二下学期期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则( )
A. B.
C. D.
5.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：之间的关系为，其中，是正的常数，则对于的瞬时变化率为( )
A. B. C. D.
6.如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点于点若，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线，点不与原点重合在的一条渐近线上，若点到另一条渐近线的距离与到轴的距离相等，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称
C. 当时，有极值 D. 曲线在点处的切线方程为
10.已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论正确的是( )
A. B. 是递减数列 C. D.
11.五人进行丢骰子游戏，最后统计每人所丢骰子的点数之和，点数之和最大的获胜．已知每人每次丢完后都等可能地随机传向另外人中的人．第次由将骰子传出，记第次传骰子之后骰子在或手上的概率为，记第次传骰子之后骰子在手上的概率为，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量满足，且，则 ．
13.已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是 ．
14.如图，在圆的内接四边形中，，的面积为，的面积为，则四边形的周长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足．
求的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
甲、乙、丙三人各投篮次．已知甲、乙、丙投篮的命中率分别是，，每个人能否投中相互独立．
在甲、乙、丙三人共投中次的条件下，求其中有次是甲投中的概率；
记甲、乙、丙三人共投中次，求的分布列和期望．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
求椭圆的方程．
直线与椭圆交于点．
求；
记直线的斜率分别为，求．
18.本小题分
如图，直四棱柱的底面是菱形，，为锐角，分别是的中点．
证明：平面．
求二面角的余弦值的最大值．
19.本小题分
已知函数与，若存在，使得，则称点为与的一个“关键点”．
请写出函数与的一个“关键点”的坐标不需要证明．
判断函数与是否存在“关键点”若存在，求出该“关键点”的坐标；若不存在，请说明理由．
已知函数和的一个“关键点”的坐标是，且，证明：．
参考答案
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14.
15.解：因为，所以，
，．
累加得，，
所以，则，当时，上式也成立，
所以的通项公式为．
．
记数列的前项和为，
则．

16.解：记“甲、乙、丙三人共投中次”为事件，“甲投中”为事件．
，
．
的所有可能取值为，，，．
，
，
，
，
所以的分布列为

17.解：因为点在椭圆上，所以．
又椭圆的离心率为，且，解得，
所以椭圆的方程为．

设．
联立得，则，
故．
，
．
又
，
所以．

18.解：证法一：连接，设，连接．
在中，分别是的中点，所以．
在中，分别是的中点，所以，则．
因为平面，平面，所以平面．
证法二：设的中点分别为，连接，如图所示．
因为，
所以四边形为平行四边形，所以．
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，所以．
因为平面，平面，所以平面．
因为，平面，平面，所以平面．
因为平面，平面，，所以平面平面．
因为平面，所以平面．
过点作交于点．
以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则．
设，且，则．
设，则，即，
则．
设平面的法向量为，则
所以可取．
易得平面的一个法向量为．
．
令，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以．
故二面角的余弦值的最大值为．

19.解：设，则有，
故满足由的点都是与的一个“关键点”，
对，有，故点符合要求；
由题意得的值域为的定义域为，
．
令，则，所以在上单调递增．
因为，
所以在上存在唯一零点，且．
当时，，在上单调递减，当时，，
在上单调递增，所以，
由，得，得，即，
所以，得．
又，所以不存在，使得，故与不存在“关键点”；
设，则，得，，
得，得，
由，得，则，
得．
设，则，
设，则．
令函数，因为，所以在上单调递增．
由，得，得在上单调递增，
由，得在上单调递增，
所以，则．
故．

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