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2024-2025学年河南省南阳市方城县第一高级中学高二下学期期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的展开式中的常数项为 ．
A. B. C. D.
2.已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则( )
A. B. C. D.
3.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥，则在局胜制中，甲队打完局才胜的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知变量和变量的一组成对样本数据，其经验回归方程为，若，，新样本数据得到的经验回归方程依然为，则( )
A. B. C. D.
5.设、为不同的两点，直线，，以下命题中不正确的为( )
A. 存在实数，使得点在直线上；
B. 若，则过的直线与直线平行；
C. 若，则直线经过的中点；
D. 若，则点在直线的同侧且直线与线段的延长线相交；
6.已知空间四个点，，，在同一个平面内，则实数( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则大小关系正确的为( )
A. B. C. D.
8.设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件表示“次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件表示“次结果中最多一次正面向上”，事件表示“次结果中没有正面向上”，则( )
A. 事件与事件互斥
B.
C. 事件与事件独立
D. 记的对立事件为，则
10.某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是( )
A. 若哪吒每次使用两种法宝，对阵次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有
B. 若哪吒与敌人对阵次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有
C. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种
D. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种
11.已知函数，，则下列说法正确的是( )
A. 当时，函数在上单调递增
B. 当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为
C. 若函数存在两个极值，则实数的最大值为
D. 当时，若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线上一点到其焦点的距离的最小值为 ．
13.一件家用电器，现价元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付次，月利率为，并按复利计息，那么每期应付款 元．参考数据：，，，
14.某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为由抽签确定第次投篮的人选，第次投篮的人是甲、乙的概率各为已知在第次投篮的人是乙的情况下，第次投篮的人是甲的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
袋中有除颜色外完全相同的个白球和个黑球．
采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记为摸出的白球个数，求的分布列、均值和方差；
采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记为摸出的白球个数，求的分布列、均值和方差．
16.本小题分
记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
求的通项公式；
记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，四棱锥中，．
当为正三角形时，
若，证明：直线平面；
若，，，四点在以为半径的球面上，则四棱锥的体积是多少？
当为等腰直角三角形时，且，求二面角的余弦值的最小值．
18.本小题分
已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，．
求椭圆的方程；
设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点在圆上，直线，的斜率分别为，，且，求证：
；
直线过定点，并求出此定点的坐标．
19.本小题分
已知函数．
若，讨论函数在的单调性；
若在上有唯一的零点，求实数的最小值．
参考答案
1.
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14.
15.因为采取放回抽样方式，所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个黑球的概率为，
由题意可知：，
，由可知：，，
所以的分布列为：
，
．
由题意可知：，
，，，
所以的分布列为：
，
．

16.因为，故，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即，
则，两式相减得，即，
所以，
因此的通项公式为．
由题可知，
则，所以，
，
两式相减得，
所以．

17.因为，且，所以，
又为正三角形，所以，
因为，所以，进而．
因为，所以，
又因为，，平面，
所以直线平面．
延长至，使得，进而，连结，
又有，可知，四边形为正方形，
连结交于，过点作平面，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
因为，，，四点在以为半径的球面上，由球的性质可知球心在轴上，设点的坐标为，
所以，解得，即．
又为正三角形，连结，可知，又平面，
进而可得平面，所以点在坐标平面内，
设点的坐标为，又有，
则，，解得，
所以四棱锥的高，
直角梯形的面积，
所以四棱锥的体积．
因为为等腰直角三角形，且，连结，则．
建系方法如问，，
设点，
设平面的一个法向量，则
令，则，所以．
设平面的一个法向量为，则
令，则，所以．
．
令，则，
所以．
当且仅当即时等号成立，
所以二面角的余弦值的最小值．

18.由题知，，，又，解得，
所以椭圆的方程为．
由知，设直线，直线，
由，消得到，得到，，所以，
由，消得到，得到，，所以，
故，，
所以，
故，
由知，
所以直线的方程为，整理得到，
所以直线过定点，定点为．

19.由条件，
则，
由，所以，
令，则，得或，
令，则，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
由，则，
令，则，
所以当时，单调递增，
又，所以，
，
所以在上单调递增，，
由题意，，解得，
所以的最小值为．

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