2024-2025学年山东省泰安市某校高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年山东省泰安市某校高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年山东省泰安市某校高二下学期期末考试
数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.已知,下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.用数字、、、、组成没有重复数字的三位数,其中满足,且的三位数的个数是( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量,且,则的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.已知为正数,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.若函数,则函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
7.设函数,若关于的方程恰好有个不相等的实数解,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若,函数有两个极值点,,则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知由样本数据点集合,求得的回归直线方程为,且,现发现两个数据点和误差较大,剔除后重新求得的回归直线的斜率为,则( )
A. 变量与具有负相关关系
B. 剔除后不变
C. 剔除后的回归方程为
D. 剔除后相应于样本点的残差为
10.已知函数是定义域为的偶函数,且为奇函数,则( )
A. B. 的图象关于点中心对称
C. 函数的周期为 D.
11.对于函数,下列说法正确的是( )
A. 在处取得最小值
B.
C. 有两个不同的零点
D. 对任,函数有三个零点
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.数字通信中心信号是由数字和组成的序列由于随机因素干扰,发送的信号或,有可能被错误地接收为或已知发送时,接收为和的概率分别为和;发送时,接收为和的概率分别为和假设发送信号和是等可能的,则接收到信号为的概率为 .
13.已知,
若,则
若,则
若,则中含项的系数为
若为偶数,则能被整除
则正确命题的序号是
14.已知不等式,对恒成立,则的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集,集合,集合.
若,求;
若“”是“”的必要不充分条件,求实数的取值范围.
16.本小题分
某赛事结束后,主管部门为提升服务质量,随机采访了名参赛人员,得到如下不完整列联表:
满意度 性别 合计
女性 男性
比较满意
非常满意
合计
补全列联表,依据小概率值的独立性检验,能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异?
用频率估计概率,现随机采访名女性参赛人员与名男性参赛人员,设表示这人中对该部门服务质量非常满意的人数,求的分布列和数学期望.
附:,.
17.本小题分
已知函数,.
若,求曲线在处的切线方程;
求函数的单调增区间;
若存在极大值点,求证:.
18.本小题分
甲、乙两工厂试生产同一型号的零件,经检验,甲工厂试生产的零件的合格率为,乙工厂试生产的零件的合格率为,若将将这些零件混合放在一起,则合格率为.
设甲工厂试生产的零件有件,乙工厂试生产的零件有件,求证:;
从混合放在一起的零件中随机抽取一个,若该零件是合格品,求该零件来自甲工厂的概率;
从混合放在一起的零件中随机抽取个,用频率估计概率,记这个零件中来自甲工厂的个数为,求的分布列和数学期望.
19.本小题分
已知函数为自然对数的底数,其中.
试讨论函数的单调性;
若有两个极值点和,记过点,的直线的斜率为,同:是否存在,使得?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由
参考答案
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15.解:由得,即,
所以集合.
又全集,所以,
当时,集合,
所以.
若“”是“”的必要不充分条件,则且.
所以或,解得.
故实数的取值范围为.

16.解:根据题意,完整的列联表如下
满意度 性别 合计
女性 男性
比较满意
非常满意
合计
零假设为:不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价没有差异.
根据列联表中的数据,计算得,
依据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异.
由列联表,得女性对服务非常满意的概率为,男性对服务非常满意的概率为.
由题意可知,可能的取值为,,.
,,,
故的分布列为
故的数学期望.

17.解:若,则,,,
曲线在处切线的斜率,
曲线在处的切线方程为;
,定义域为,

当时,令,得或,
函数的单调增区间为和;
当时,,函数的单调增区间为;
当时,令,得或,
函数的单调增区间为和.
综上,当时,函数的单调增区间为和;
当时,函数的单调增区间为;
当时,函数的单调增区间为和;
当时,函数在和上单调递增,在上单调递减,
的极大值为;
当时,函数在和上单调递增,在上单调递减,
的极大值为,
,,,;
当时,在单调递增,此时无极值,不合题意;
综上,若存在极大值点,则.

18.解:甲工厂试生产的件零件的合格率为,则合格零件为件;
乙工厂试生产的件零件的合格率为,则合格零件为件,
混合后,总零件为件,合格率为,则混合后合格零件为件,
依题意,,化简得,即.
设甲工厂试生产的零件有件,乙工厂试生产的零件有件,由知,
事件“任取一个混合放在一起的零件,零件来自甲工厂”,
事件“任取一个混合放在一起的零件,零件来自乙工厂”,
事件“任取一个混合放在一起的零件,零件是合格品”,
则,,
所以所求概率.
由知,任取一个混合放在一起的零件,零件来自甲工厂的概率是,
依题意,的可能取值为,,,,且,
,,
,,
所以的分布列为
的数学期望.

19.解:函数定义域为,求导得,而,
则当时,即在上为增函数,
当时,由,得,即,解得或,
则有或,由,解得,
所以在上递减,在和上递增.
依题意,,求导得,
有两个极值点,即在上有两个不等根和,则,且,
因为,
则,若存在,使得,则,
即,不妨令,亦即成立,
令,,,因此在上递增,
,于是得当时,不成立,
所以不存在,使得.

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