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2024-2025学年安徽省宿州市第二中学雪枫校区高二下学期期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“”的否定为( )
A. B.
C. D.
3.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知今天是星期三，则天后是( )
A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期五
5.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，若，，则的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 若随机变量，则方差
B. 在的展开式中的系数是
C. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
D. 若随机变量的分布列为，则
10.以下结论正确的是( )
A. 函数最小值为
B. 函数值域为
C. 函数值域为
D. 函数值域为
11.设定义在上的函数与的导函数分别为和，若为奇函数，且，，则下列说法中一定正确的是( )
A. B. 函数的图象关于对称
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域是 ．
13.已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ．
14.已知函数，则 ，的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为，，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行睡眠时间的调查．
应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
若抽出的人中有人睡眠不足，人睡眠充足，现从这人中随机抽取人做进一步的身体检查．用表示抽取的人中睡眠充足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望．
16.本小题分
已知，，．
若，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数
若，在上恒成立，求实数的取值范围；
若成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下：
决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；
如果在答满轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第轮结束时，双方答对题目数量比为，则不需再答第轮了；
设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望；
求在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出的概率．
19.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
已知函数，求的单调区间；
若对于任意，都有为自然对数的底数，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

15.解：某单位甲乙丙三个部门的员工人数分别为，
现采用分层抽样的方法，从中抽取人，进行睡眠时间的调查，
则从甲部门的员工中抽取人，
从乙部门的员工中抽取人，
从丙部门的员工中抽取人
解：若抽取的人中有人睡眠不足，人睡眠充足，
现从这人中随机抽取人做进一步的身体检查，用表示抽取的人中睡眠充足的员工人数，则的可能取值为，
则，
，
所以随机变量的分布列为：
则数学期望为

16.对于，解可得，
若，则，
若，有且只有一个为真命题，则真假或假真，
若真假，即，无解，
若假真，即，解可得或，
综合可得：或，
即的取值范围为；
若是的充分不必要条件，则有，解可得，
即的取值范围为．

17.由题意得在上恒成立，
，解得，实数的取值范围为．
由题意得成立，
成立．
令，
则在区间上单调递增，
，
，
解得，
实数的取值范围为．

18.由题可得，的可能取值为、、、，
所以，，
，，
所以，的分布列为：
所以．
将“在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出”记为事件，
“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，
“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，则、互斥，且，
则，
，
所以．
因此，在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出的概率为．

19.由得，，，，
所以在点处的切线方程为；
，，
，令，解得，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以的单调减区间为，单调增区间为；
由题可知，，
所以，，
设，，
则，令，解得，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
又，即，
所以．

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