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2024-2025学年湖南省长沙市望城区第二中学高二下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，其中若，则( )
A. B. C. D.
2.函数在点处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C. D.
3.“”是“直线与直线垂直”的 ．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知集合，满足，，则，可能是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.已知是奇函数，则在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
8.实数，满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B. C. D.
10.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列说法正确的有( )
A. 曲线恒过定点 B. 若，则的极小值为
C. 若，则 D. 若，则的最大值大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.化简： ．
13.已知正的边长为，内切圆圆心为，点满足，则_____ __．
14.已知函数，且满足，则实数的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.在中，，，．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ求的值．
16.已知某校初二年级有名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内现从该校初二年级的学生中随机抽取名学生的数学成绩，按，，分成组，得到如图所示的频率分布直方图．
求的值；
估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分各组数据以该组数据的中点值作代表；
记这次测试数学成绩不低于分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数．
17.已知函数．
若为奇函数，求实数的值；
在的条件下，试判断在上的单调性并用定义法给出证明，写出此时的值域．
18.单位圆与轴正半轴的交点为，点，在圆上，且点在第一象限，点在第二象限．
如图，当的长为时，求线段与所围成的弓形阴影部分面积；
记，，当，点的横坐标为时，求的值．
19.已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式
设若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.Ⅰ由题意可得：，解得：．
Ⅱ由同角三角函数基本关系可得：，
结合正弦定理可得：，
很明显角为锐角，故，
故．

16.由频率分布直方图可得，解得．
由题意，估计平均分分
由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀”的频率为，
则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为，
故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数为．

17.因为，定义域为，且为奇函数，
所以，
所以，
即，解得．
由知，，在上单调递增，
证明如下：
设，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增．
由的单调性可知，，即，
所以的值域为．

18.设所对的圆心角为，弧长为，弓形的面积为．
因为，圆的半径为，所以，
，，．
设，由题知，
于是，，
即．

19.解：由图可知，，
解得，所以，所以；
因为的图象过点，所以，解得，；
因为，所以，
所以；
由可得
；
设，因为，所以；
又因为不等式恒成立，
即在上恒成立，
则，即
解得，
所以的取值范围是．

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