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2024-2025学年天津市耀华中学高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
2.甲、乙两人同时解答一道数学题，两人各自独立思考互不影响、已知甲能正确解答的概率为，乙能正确解答的概率为，则此题被正确解答的概率为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在中，角，，的对边分别是，，，已知，，三角形的面积为，则( )
A. B. C. D.
5.已知均值为，方差为，则的均值和方差分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.已知圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为( )
A. B. C. D.
7.已知是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是( )
A. 若、，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
8.在长方体中，，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
9.某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在分至分之间，进行适当分组后每组的取值区间均为左闭右开区间，画出频率分布直方图如图，下列说法正确的是( )
A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有人
B. 直方图中的值为
C. 估计全校学生成绩的中位数为
D. 估计全校学生成绩的样本数据的分位数约为
10.如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为，、分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
11.已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
12.在平面四边形中，，将沿折起，使点到达点的位置，且三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.一个公司共有名员工，要采用按比例分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为的样本．已知某部门有名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为 ．
14.已知正四面体，则二面角的余弦值为 ．
15.已知等边边长为，平面，且，则点到平面的距离为 ．
16.如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，记，则 ．
17.从长度为、、、、的条线段中任取条，这三条线段能构成一个三角形的概率为 ．
18.如图，两个正交的全等正四面体每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点，若正四面体棱长为，则这两正交四面体公共部分的体积为 ．
19.天津是一个历史悠久的文化古都，五大道，石家大院，古文化街，鼓楼这四个景点又是天津十分有名的旅游胜地．已知某游客游览五大道的概率为，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客只游览一个景点的概率为 ；该游客至少游览三个景点的概率为 ．
20.如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为设，则 ；是平面图形边上的动点，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共3小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
在中，角所对的边分别为，且．
求的值；
求的值；
求的值．
22.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点．
求证：平面；
在上取一点不与重合，设过点和的平面交平面于，求证：．
23.本小题分
如图，在四棱柱中，底面为菱形，其对角线与相交于点，，，．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正切值；
求二面角的余弦值．
参考答案
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20.

21.解：由题设及正弦边角关系得，又，则，
由余弦定理有，则；
由且，则，
由正弦定理，则；
由上，故为锐角，则，
所以，，
所以．

22.解：取的中点，连接，如图所示．
因为分别是的中点，
所以中，，且．
因为为四棱锥，所以，且．
所以且
所以四边形为平行四边形，所以
又在平面内，在平面外，
所以平面．
连接交于点，连接，如图所示．
因为四边形是平行四边形，所以是的中点．
又因为是的中点，在中，根据三角形中位线定理可得．
因为平面，在平面外，
根据线面平行的判定定理，得知平面．
因为过点和的平面交平面于，且平面，
根据线面平行的性质定理可得，．

23.解：连接，，如图，
，，为公共边，
，，又为的中点，，
在中，由余弦定理可知，
在中，又在中，，，满足，
，又，平面，
平面．
平面，平面
平面，在平面内作的延长线于点，
平面，就是斜线在平面内的投影
是直线与平所成的角
显然四边形为矩形，，
由知，
，，在中，
直线与平面所成角的正切值为
过作于，连接，

平面，平面，
又且，
平面，平面，，
为二面角的平面角，
，在中，
二面角的余弦值为．

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