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2024-2025学年四川省成都市青白江区鸿鹄高级中学高一下学期期末联考数学试卷（C层）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，，，，则一定共线的三点是( )
A. B. C. D.
5.函数的图象经过的定点是( )
A. B. C. D.
6.一蜂巢的精密结构由个边长均为的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中为三个固定顶点，则( )
A. B. C. D.
7.的内角，，的对边分别为，，，，，如果有两解，则的值可能为( )
A. B. C. D.
8.某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为，其中为年收益率，为投资时间单位：年，为自然对数的底数，为初始资金，为年后的资金，已知某产品年收益率，则使初始资金翻倍至少需要参考数据：( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是( )
A. 的定义域为 B. 的值域为
C. 为偶函数 D. 是其定义域上的减函数
10.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为
C. 是偶函数 D. 的图象关于直线对称
11.如图，在平面直角坐标系中，，则下列说法正确的有( )
A. B. 四边形的面积为
C. 外接圆的周长为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ．
13.已知角，满足，，则 ．
14.解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为，在地面上共线的三点，，处分别测得顶点的仰角为，且，则解放碑的高为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，的夹角为，且满足，．
求向量在向量上的 投影长度；
若向量与向量共线，求的值．
16.本小题分
已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且．
求的值；
将的终边按顺时针方向旋转，此时终边所对应的角为，求的值．
17.本小题分
已知函数，，且
求函数的定义域；
判断函数的奇偶性，并说明理由；
当时，若有两个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
在中，角所对应的边分别为已知．
求角；
若，，求的周长；
如图，的平分线交于点，，求的取值范围．
19.本小题分
已知、都是单位向量，，，函数，．
当时，求值；
若，求实数的值；
是否存在实数，使函数，有四个不同零点？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：因为，，且向量与的夹角为，
所以，
所以．
所以向量在向量上的投影长度为
若向量与向量共线，则存在 实数，使，
所以，解得．

16.解：由三角函数定义可得，得，
则，
，，
因为，，
所以，，
所以．

17.解：由题意得，
由，得，
所以的定义域为．
因为，定义域关于原点对称，
由于，
所以是奇函数．
当时，定义域为．
易知，函数为偶函数，
令根据二次函数的性质，在上单调递增，在上单调递减，所以．
而是单调递增的，所以函数在上单调递增，在上单调递减．
故．
要使有两个零点，即有两个解，
所以，所以实数的取值范围是．

18.解：，
由正弦定理可得，
在中，，所以，
化简得，
，则，又，则．
在中，，，所以，
又，由余弦定理得，得，
配方得，于是，得，所以，
故的周长为．
在中，由正弦定理可得，
，同理中，有，
，因为，所以，
，
，所以．
．

19.解：当时，，则；
由，则，
则，
令，则，则，其对称轴，
当，即时，当时函数取得最小值，得舍；
当，即时，当时函数取得最小值，得，符合题意；
当，即时，当时函数取得最小值，得舍．
综上，实数的值为．
令，得或，
方程或在上有四个不同的实根，
则即得，，即得，
即实数的取值范围是．

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