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2025年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组样本数据为“，，，，，，”，该样本数据的中位数是( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
4.已知复数，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，且，则的值是( )
A. B. C. D.
6.已知的三个内角、、，则“”是“为直角三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.若想要得到函数的图象，只需要将的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
8.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 是偶函数，且在上单调递增
B. 是偶函数，且在上单调递减
C. 是奇函数，且在上单调递增
D. 是奇函数，且在上单调递减
9.设函数，，的零点分别为、、，则下列说法中正确的是( )
A. B. C. D.
10.在三棱柱中，已知，是的中点，是的中点，与相交于点，，，则与所成的角的大小为( )
A. B. C. D.
11.在矩形中，，，为上靠近点的三等分点，为上的中点，连接，，与交于点，则( )
A. B. C. D.
12.已知定义在上的函数满足：，且当时，，若在上恒成立，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
13.对于实数、、、，下列选项中正确的是( )
A. ， B. ，，
C. ， D. ，，
14.用一个平面截取一个正方体，所得截面的形状可能是( )
A. 六边形 B. 五边形 C. 直角三角形 D. 矩形
15.如图所示，矩形的周长为，将沿着矩形的对角线翻折至，交于点，则下列说法中正确的是( )
A. 是等腰三角形 B. 的周长为
C. 面积的最小值为 D. 面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
16.已知，则 ．
17.函数，已知，则 ．
18.某校抽取了名学生的体育考试的分数，某同学用频率分布直方图表示出来如图所示，则可以得出分数在区间的人数为 ．
四、解答题：本题共3小题，共37分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
甲、乙二人各自独立地破译一份密码，甲破译密码成功的概率为，乙破译密码成功的概率为，且两者结果相互独立，请回答下列问题：
求甲和乙同时成功破译密码的概率；
求密码被成功破译的概率．
20.本小题分
如图所示，四边形是正方形在平面上的投影，请回答下列问题：
证明：平面平面；
若，且，且．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ试求的体积．
21.本小题分
已知函数，，．
已知，，求的值；
若的最小值为，求的值；
若对任意，存在，使得恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
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19.解：设甲破译成功为事件，设甲破译成功为事件，
两人都破译成功则为；
密码未被破译成功的概率，
所以密码被破译成功的概率为．

20.解：，平面，平面，
所以平面，
又为正方形，故，平面，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面平面；
Ⅰ正方形的平行投影有三种情况，正方形，矩形，平行四边形或线段，
显然投影不是线段，由于，故正方形的投影为矩形，
即四边形为矩形，要想投影为矩形，需满足，且，
，
又，，平面，
所以平面，
Ⅱ可视作直四棱柱，
其中，，
所以，，故四边形为等腰梯形，
过点分别作，于点，
故，，
由勾股定理得，
故等腰梯形的面积为，
又，
故．

21.解：，且，，；
因为是恒成立的，而，即恒成立．
当时，显然成立；
当时，恒成立，且能取到等号的，则；
当时，恒成立，且能取到等号的，则；
综上所述，；
对任意，存在，都有．
由于，当时，单调递增，单调递增，所以单调递减，
则，
即存在，使得，即，
而，则，，
所以，
其中，
则，
令，
所以
，
其中，
所以
，
所以．

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