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2025年陕西省普通高中学业水平合格性考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知数据的平均数为，数据的平均数为，则数据的平均数为( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知角的终边过点，则的值为( )
A. B. C. D.
5.在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列选项正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
7.命题“，”是假命题，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一以其名命名的函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，如，则( )
A. 是奇函数且为递增函数
B. 的值域为且为周期函数
C. 若，则的最小值为
D. ，满足的实数的取值范围是
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.是虚数单位，是复数的共轭复数，若，，则( )
A. B. C. D.
10.在平行四边形中，对角线，相交于点，则( )
A.
B. 与共线的单位向量为
C. 若，则四边形是矩形
D. 若，则四边形是菱形
11.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
12.如图，已知圆锥，，为圆的直径，，分别为线段，的中点，过作平行于底面的平面交圆锥的侧面于圆( )
A. 圆锥的轴截面面积为
B. 沿着该圆锥表面从到的最短距离为
C. 圆台的体积为
D. 圆台的外接球表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的零点是 写出满足条件的一个零点即可．
14.已知锐角满足，则 ．
15.一个袋中装有大小和质地相同的个小球，标号分别为，从袋中不放回的依次摸出两个小球的标号分别记为设事件“为偶数”，事件“”，则 ．
16.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：若以盛水筒刚出水面开始计时，则与时间单位：之间的关系为则盛水筒出水后至少经过 可以达到最高点精确到．
四、解答题：本题共3小题，共20分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
今年“五一”假期，水饺皇后苍茫的天涯是我的爱等多部影片投放全国电影院线，题材涵盖历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑等多种类型，持续为中国电影市场释放消费活力．甲、乙、丙三人在月日各自独立地观看了一场电影，已知甲观看科幻类电影的概率为，乙、丙观看科幻类电影的概率均为．
若历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑六种不同类型电影的参考票价分别为，，，，，单位：元，求这六种不同类型电影票价的第百分位数；
求甲、乙、丙三人恰有两人观看科幻类电影的概率．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知函数，．
若，解不等式；
函数的图象过点．
函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围；
若函数的定义域为，且当恒成立时，实数的最大值满足试比较与的大小．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或填，答案不唯一
14.
15.
16.
17.解：将已知数据由小到大排序，可得，，，，，．
由，得数据，，，，，的第百分位数为，
所以，这六种不同类型电影票价的第百分位数为元．
设事件“甲观看科幻类电影”，事件“乙观看科幻类电影”，
事件“丙观看科幻类电影”，则事件，，相互独立，
且，．
设事件“恰有两人观看科幻类电影”，则，
且事件，，两两互斥．
所以，
．
所以，恰有两人观看科幻类电影的概率为．

18.解：，，
，是直角三角形，
又为的外心，为的中点．
连接，又为的中点，所以中，
又平面，平面，
平面．
由知，又由已知平面，所以，，
因为，平面，平面，
平面，．
不妨设，，
，，，．
又，为的中点，
，
是边长为的等边三角形，．
设点到平面的距离为，
，，即，
，．
设直线与平面所成的角为，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

19.解：当时，，由，
得，所以，
解得，
所以不等式的解集为．
的图象过点，，解得，
所以．
又函数的图象与直线没有公共点，
所以方程无实数解，即方程无实数解．
令，，则，
，，则，，
即函数的值域为，所以实数的取值范围为．
若恒成立，则恒成立，
又，
由，得，当且仅当时取等号，
所以，则，故实数的最大值为．
由已知，得，所以，即．
所以．
又在上单调递增，，
所以，故．

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