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2024-2025学年四川省仁寿第一中学校南校区高一强基班下学期期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则的子集有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
3.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是( )
A. B. C. D.
4.设，则“”是“”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则( )
A. 是单调递增函数 B. 是偶函数
C. 函数的最小值为 D.
7.当，，且满足时，有恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于的不等式的解集，下列说法正确的是( )
A. 时，解集为
B. 时，解集为
C. 时，解集为
D. 时，原不等式在时恒成立
10.若，则下列不等式中，恒成立的是( )
A. B.
C. D.
11.定义在上的函数满足，当时，，则满足( )
A. B. 是奇函数
C. 在上有最大值 D. 的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“”的否定为 ．
13.已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是 ．
14.已知，若，都是正数，且，则的最小值为 ；若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若集合，，，．
求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
求最值：
已知，且满足，求的最小值；
已知，求的最大值；
已知，且满足，求的最小值．
17.本小题分
已知二次函数．
若函数的定义域为，求实数的取值范围；
解关于的不等式其中
18.本小题分
我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．
求函数图像的对称中心；
请利用函数的对称性求的值．
已知函数在是单调函数，若存在，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
19.本小题分
小明同学在课外学习时发现以下定义：设函数是定义在区间上的连续函数，若、，都有，则称为区间上的下凸函数．例如，函数在上为下凸函数通过查阅资料，小明同学了解到了琴生不等式：若是区间上的下凸函数，则对任意的、、、，不等式恒成立当且仅当时等号成立．
已知在上为下凸函数，若，求的最大值；
判断函数在上是否是下凸函数，若是，请证明；若不是，请说明理由；
设、、、，且，求的最小值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：
，，，，，，
．
，
，
，
，，
实数的取值范围为．

16.解：因为，且，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，有最小值，最小值为；
因为，则，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以当时，有最大值，最大值为；
因为，所以，
因为，所以，
当且仅当，即，即时取等号，
故当时，有最小值，最小值为．

17.解：由函数的定义域为，得在上恒成立，
则，解得，
所以实数的取值范围为；
不等式化为，
即，
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得或；
当时，不等式化为，
若，不等式无解，
若，则，解得，
若，则，解得，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．

18.解：设函数图像的对称中心为，
设，则为奇函数，依题可知
且，故，
即，
即．
整理得，
故解得
所以函数图像的对称中心为．
由知函数图像的对称中心为，故，所以且，所以．
在上单调递增，
在区间上的值域为，
则，化简得
即方程有两个大于的不等实根，
令，则，有两个不等实根，
，解得

19.解：由在上为下凸函数，得，
因此，当且仅当时取等号，则，即，
当且仅当时取等号，所以的最大值是．
判断：是下凸函数，
函数的定义域为，设、，
则
，
当且仅当时取等号，
因此恒成立，所以二次函数下是凸函数．
令，
设、，则
，即，
于是函数在上为下凸函数，
依题意，，
因此
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为．

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