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2024-2025学年陕西省西安市铁一中学高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设集合，集合，则( )
A. B. C. D.
3.某钢管车间生产的无缝钢管的直径规格为，现从生产的钢管中随机抽取根，测得根钢管的平均直径为，方差为，若再加入根直径为的钢管，则这根钢管直径的( )
A. 平均数变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 方差变大
4.给出以下命题其中，，是空间中不同的直线，，，是空间中不同的平面：若，，则；若，，则；若，，则；若，，，，则其中正确的个数为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.为响应国家“体重管理年”的号召，某校高二年级对四个班的同学体重数据进行分析将四个班同学的体重数据分别绘制成下图所示的频率分布直方图，则班级平均体重高于该班体重中位数的是( )
A. B.
C. D.
6.甲、乙两人从门课程中各选修门，则甲、乙所选的课程中至少有门不相同的概率等于
A. B. C. D.
7.已知圆锥的母线长为，其侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥内切球半径为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，，设，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则相互独立
D. 若相互独立，则
10.若，则( )
A. B.
C. D. 若，则
11.若点为点在平面上的正投影，则记如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点与、不重合，给出下列三个结论，其中正确的是( )
A. 线段长度的取值范围是 B. 存在点，使得平面
C. 存在点使得 D. 存在点使得点，重合
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
13.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台两个底面都是正方形的
四棱台，如果一个方斗的容积为升一开为一立方分米，上底边长为分米，下底边长为分米，则该方斗的表面积为 平方分米．
14.已知定义在上的函数，则不等式的解集是 ．
四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设复数，且是纯虚数．
求实数的值；
若是方程的根，求实数，的值．
16.本小题分
已知函数．
若，在上恒成立，求实数的取值范围；
若函数在区间上的值域是，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知向量，，设函数．
求在区间上的单调递增区间；
在锐角中，若，求的取值范围．
18.本小题分
甲每次投篮投进的概率是，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件为“甲至少投进两球
用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点用表示“投进”，表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由；
用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现，，时表示“未投进”，以每个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生组随机数：
利用该模拟试验，估计事件的概率，并判断事件的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由
19.本小题分
如图，在中，是的中点，是的中点，过点的直线与边分别相交于点设，．
若，求的值；
求的最小值；
若是边长为的等边三角形，求的最小值．
20.本小题分
球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为．，，为球面上三点，设表示以为圆心且过，的圆，表示以为圆心且过，的圆，表示以为圆心且过，的圆，由圆的劣弧围成的曲面阴影部分叫做球面三角形，若设二面角分别为，则球面三角形的面积为为球半径已知．
若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
若平面三角形为直角三角形，，设则：
求证：；
延长与球交于点若直线与平面所成的角分别为为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值以及此时平面截球的截面面积．
参考答案
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14.
15.解：因为，
因为是纯虚数，所以解得．
由知，，
因是方程的根，则，
即，
则，得．

16.解：由可得：，
即在上恒成立，
又因为当时，，当且仅当，即时等号成立，
所以，
即实数的取值范围为．
因为函数在上为增函数，
所以当时，；
当时，，
即、为方程的两个不同的正根，
也即方程有两个不同的正根、，
故得，解得，
故实数的取值范围为．

17.解：
，
时，，
则在上的增区间为和．
，又为锐角三角形，所以，则，
则，
在锐角中，，即，所以，
所以，则
所以的取值范围是．

18.该试验的样本空间为
，
共有个样本点，
样本点的概率为，样本点的概率为，这两个样本点的概率不相等，所以这个试验不是古典概型．
产生组随机数相当于做了次重复试验，其中事件发生了次，
则事件的频率为，所以事件的概率的估计值为．
设事件“甲第次投进”，，则
因为．
又因为每次投篮结果互不影响，所以与相互独立，与相互独立，与相互独立，与相互独立且两两互斥，
所以
所以事件的概率的估计值和有差异原因如下：
随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异；
重复试验次数为，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大．

19.解：为中点，，
为中点，，，
．
由得：，
三点共线，，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为．
，
，
，，，
，
，
，
由知：，即．
又，，解得：当且仅当时取等号，
，
，当时，取得最小值：，
即的最小值为．

20.解：若平面两两垂直，有，
所以球面三角形面积为．
由余弦定理有：，且，
消掉，可得；
由是球的直径，则，
且，平面，
所以平面，且平面，则，
且，平面，可得平面，
由直线与平面所成的角分别为，所以，
由于，则，
由，
以为坐标原点，以所在直线为，轴，
过点作的平行线为轴，建立如图空间直角坐标系，
设，则，
可得，
则
设平面法向量，则
取，则，可得，
设平面法向量，则
取，则，可得，
要使取最小值时，则取最大值，
因为
，
令，则，
可得，
当且仅当取等，则取最大值，为最小值，
此时点，可得，
设平面中的法向量，则
取，则，可得，
，
可得球心到平面距离为，
设平面截球圆的半径为，则，
所以截面圆面积为．

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