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2024-2025学年湖南省长沙市岳麓实验中学高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边绕点逆时针旋转后，经过点，则( )
A. B. C. D.
2.若，是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题不正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3.某单位职工参加某推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答题，每题答对得分，答错得分，该单位从职工中随机抽取了位，他们一天中三次作答的得分情况如图：
根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是( )
A. 该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致
B. 该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致
C. 该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差
D. 该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差
4.已知中，内角，，的对边分别为，，，若点到直线的距离为，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，则的值是( )
A. B. C. D.
6.定义，已知，，若，且，，则的最大值为
A. B. C. D.
7.设椭圆的左，右焦点分别为，直线过点，若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中使得有两个解的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10.如图，正方体中，点为的中点，点为的中点，则下列结论正确的是( )
A. B. 平面
C. 平面 D. 直线与平面所成的角为
11.如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，点在侧面内运动包含边界，且与平面所成角的正切值为，则( )
A. 长度的最小值为
B. 存在点，使得
C. 存在点，存在点，使得
D. 所有满足条件的动线段形成的曲面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为圆：的直径，点为椭圆上一动点，则的最小值为 ．
13.若，且，则的最小值为 ．
14.若直角坐标平面内两点满足条件：都在函数的图像上；关于原点对称，则对称点是函数的一个“友好点对”点对与看作同一个“友好点对”已知函数，则的“友好点对”有 个．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，求：
的值
与的夹角．
16.本小题分
已知函数的定义域为，对，总有成立若时，．
判断并证明函数的单调性；
若，求解关于的不等式的解集．
17.本小题分
如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点．
证明：是直角三角形；
若，且当直线与平面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
我们把其中称为一元次多项式方程代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程即为实数在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根重根按重数计算那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为个一元一次多项式的积即，其中，为方程的根进一步可以推出：在实系数范围内即为实数，方程有实数根，则多项式必可分解因式例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，．
在复数集内解方程：；
设，其中，且．
分解因式：；
记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点求证：当时，．
19.本小题分
两个非空有限整数集，，定义，对，．
若中元素之和小于，求集合；
若且，求出所有满足条件的数集；
已知，在的条件下，当且时，求函数的值域．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由，得，
则，而，于是，
所以．
显然，
则，而，于是．
所以与的夹角为

16.在上单调递减，证明如下：
由已知可得，．
，且，则，
则，即，
所以，在上单调递减．
令，由已知可得．
又，
不等式化为．
由知，在上单调递减，
所以，．
又，，
所以，所以有，
整理可得，，
解得，所以，．
所以，不等式的解集为．

17.是的直径，则，又垂直于所在的平面，即
平面，又平面，则，又，于是平面，又平面，则，即，故是直角三角形；
由题可得平面，则与平面所成角为，即，，计算易得，则，由知，是直角三角形，，设到平面的距离为，由线面角的定义，于是与平面所成角的正弦值为，三棱锥的体积：，又，根据，解得，于是与平面所成角的正弦值为

18.观察可知，是方程的一个根，
则一定是多项式的一个因式，
即，
即有，解得
即，
令，则，
即该方程的根为：、；
观察可知，是方程的一个根，
则一定是多项式的一个因式，
即，
则有，即
即；
令，即，
即，
设，由，
有，故函数必有两个不同零点，
设，且，则，故，
又，
故，则方程的根有、、，且，
故的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点的横坐标为，即．

19.为三元素集，所以中元素个数为或，
所以或或或，
所以或或或
或或或或
或或．
由题意得，，
设，且，则，
所以，解得，
所以集合中只能有，
若，则，不符合要求；
若或，则，
若或，则，
所以集合的所有情况为：或或，
所以，因为，所以，
如果，则或或，符合题意；
如果，则，符合题意；
如果，则，符合题意．
综上，或或．
由知，，，
时，，所以值域为；
时，
所以值域为；
时，，无解，函数不存在；
时，
，
所以值域为；
综上，时，值域为；
时，值域为；
时，值域为．

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