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安徽省阜阳市界首中学2024-2025学年高一下学期期末
数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若与共线，则( )
A. B. C. D.
3.已知，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，则下列条件能推出的是( )
A. ， B. ，
C. ，， D. ，，，
5.海南椰雕不仅仅是一门传统手艺，更是一段传承千年的文化史图是一个椰雕工艺台灯，其灯罩的几何模型如图所示，相当于球被一个平面截得的一部分，若是截面圆的直径，，圆的面积为，则球的体积为( )
A. B. C. D.
6.若函数，图象的相邻两个对称中心之间的距离为，且恒成立，则( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的体积为( )
A. B. C. D.
8.的内角的对边分别为，且，，则( )
A.
B. 的外接圆半径为
C. 的面积的最大值为
D. 的周长的取值范围是
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据，其中，则该组数据的( )
A. 极差为 B. 平均数小于 C. 中位数大于 D. 分位数为
10.设函数，，下列关于和的性质，正确的是( )
A. 对任意的，，
B. 对任意的，且，
C. 函数是定义域为的奇函数
D. 函数在定义域上是增函数
11.若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则与同向的单位向量为
C. 若且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数的虚部为 ．
13.如图，甲乙两同学在假期旅游期间测量了法国埃菲尔铁塔的高度为塔顶，为在地面上的射影，甲在地面上的点处测得点的仰角为，乙在点处测得点的仰角为米，且点在一条直线上，若甲乙两同学的身高忽略不计，则塔高 米
14.已知三棱锥的顶点都在球的表面上，平面，与底面所成的角为，，，的面积为，所在的平面与球的交线长为 ，球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若，求；
若与共线，求的值．
16.本小题分
已知函数
求函数的最小正周期及最值
令，判断函数的奇偶性，并说明理由．
17.本小题分
已知函数，的最小值为．
求的值；
求的解集；
在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，且分别是棱的中点．
求证：平面；
若为等边三角形，，判断几何体是什么几何体，并求其体积．
19.本小题分
函数称为高斯函数，其中“”表示不超过实数的最大整数，又称“的整数部分”高斯函数在数论、函数绘图和计算机等领域有广泛的应用，我们记．
设方程的两个不同实数解为与，且，求的值；
请确认是否存在函数：，满足对，都有：
；同时成立．
求证：对，，．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为，则，
又因为，则，解得，
则，所以．
由题意可得：，
因为，则，解得．

16.解：，
的最小正周期．
当时，取得最小值
当时，取得最大值．
由知
又，
．
，
函数是偶函数．

17.解：
因为的最小值为，所以当时，，
所以．
由知，，则，即，
所以或，解得或，，
的解集为：或．
因为在锐角中，，，，
所以，即
所以，所以，
设的外接圆半径为，则有
所以
所以
又
所以，所以
所以周长的取值范围为

18.解：如图，连接，
因为分别为的中点，
所以，
又因为，
所以，即四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
因为分别是棱的中点．
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，
又因为，平面，平面，
所以平面平面，
所以几何体是棱台，
过点作于点，
因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
由以上分析可知四边形与四边形相似，且相似比，
而为等边三角形，，
设棱台的高、体积分别为，棱台的下底面、上底面的面积分别为，
所以，棱台的下底面是分别以为底，以为高的直角梯形，
所以，
所以，
即棱台的体积为．

19.解：因为，所以，所以，
由，则，所以，
当时，，，
由，即，解得，
当时，，，
由，即，解得，
因为，所以；
不成立，理由如下：
在中，用代换并结合可得，
所以
再令中可得，又左边，右边，不成立，
所以不存在满足条件的函数；
令，
则
，
所以为的一个周期，
当时，所以，
所以，
由周期性可知，对，，，
因此对，，．

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