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延庆区2024—2025学年第二学期期末试卷
高二数学
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．
3．已知函数的导函数．则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知等差数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A．21 B．22 C．24 D．35
5．已知曲线在点处的切线方程为，则b值为（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．2
6．下列函数中，图象存在与x轴平行的切线的是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A．0 B．－1 C．81 D．80
8．设是公比为q的等比数列．则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且不存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且不存在常数，使得恒成立
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．在的二项展开式中，常数项为－20，则a的值为______．
12．2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统．《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气．某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从24个节气中选择2个节气，则2个节气恰好在同一个季节的概率为______．
13．已知1，m，n是公比不为1的等比数列，将1，m，n调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组m，n的值依次为______．
14．已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，，如图所示．
则______；______．
15．已知函数．给出下列四个结论：
①当时，在区间上单调递增；
②当时，有最小值；
③当时，设的零点从大到小依次为，，，…，则对任意正整数i，都有；
④存在a，使得在上有四个零点．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题14分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若函数有三个零点，直接写出c的取值范围．
17．（本小题13分）在中，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分．
18．（本小题13分）某市在高中阶段举办“传统文化知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动．现从参赛学生中随机抽取了男、女各20名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下：
成绩
男生人数 1 4 10 3 2
女生人数 4 4 4 4 4
（Ⅰ）在抽取的40名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率；
（Ⅱ）从该市参赛的男生中随机抽取3人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）从该市参赛的女生中随机抽取3人，设成绩在80分及以上的人数为Y，用频率估计概率，试比较Y的方差与（Ⅱ）中X的方差大小．（结论不要求证明）．
19．（本小题15分）已知椭圆C：的离心率为且经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点，斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点B，D，且与直线交于点E，点D在线段BE（不包括两端点）上，O为坐标原点，直线EO与直线AB，AD分别交于点M，N，若和的面积为和，求：的值．
20．（本小题15分）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，写出的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数的极大值为0，且对，成立，求实数k的最大值；
（Ⅲ）若过原点至少存在1条直线与曲线相切，求a的取值范围．
21．（本小题15分）已知A：，，…，为有穷实数数列．对于实数x，若A中存在，，，…，，使得，则称x为A的连续可表数，将所有A的连续可表数构成的集合记作．
（Ⅰ）设数列A：1，2，3；B：1，1，1，2．写出和．
（Ⅱ）是否存在数列A，满足，若存在，求出所有数列A，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求出所有的整数m，使得存在数列A，满足．
延庆区2024-2025学年第二学期期末考试
高二数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．A 2．C 3．A 4．D 5．B 6．C 7．B 8．D 9．A 10．D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．1 12． 13．，或－2，4
14．1，－1（注：第一问3分，第二问2分） 15．①④（注：对一个3分，有选错0分）
三、解答题（共6小题，共85分）
16．（共14分）解：（Ⅰ）因为，
所以；，，
所以曲线在处的切线方程为．
（Ⅱ）令，即，解得或，
的单调递增区间为，递减区间为，
且，，；
所以当时，最大值为，
所以当时，最小值为．
（Ⅲ）c的取值范围为．
17．（共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理及，
可得：；由余弦定理得；
由于，所以．
（Ⅱ）选条件②：．
结合，，解得，；
所以．
选条件③：．
由，可得；
由正弦定理可得，结合，可得，；
由；所以．
18．（共13分）解：（Ⅰ）根据题中数据，成绩在80分及以上的学生共13人，
设事件A为“恰好男、女生各1人，且两人分数段不同”，
．
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3．
用频率估计概率，从该市参赛的男生中随机抽取1人，成绩在80分及以上的概率为，
可估计为，可估计为，
可估计为，可估计为．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
EX可估计为．
或者因为，所以EX可估计为．
（Ⅲ）．
19．（共15分）解：（Ⅰ）椭圆C的离心率为，且经过点，
所以解得，．则椭圆C的方程为．
（Ⅱ）过点，斜率为k的直线方程为．
由得．
因为在椭圆内，所以．
设，，则，．
直线AB的方程为：，直线AD的方程为：，
在直线方程中，令，得，．
直线EO的方程为：．
由得．
同理得．
．
，
所以，即点O为线段MN中点，
所以点，．
20．（共15分）解：（Ⅰ）当时，，定义域，
，令，得，
所以的单调递增区间是．
（Ⅱ），定义域，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取极大值，
即，所以．
对任意的，成立，
只需要对任意的，，
记，则，
①时，此时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，取极大值也是最大值，
，不符合题意．
②当时，此时，
当时，，单调递增，
当时，符合题意，
综上可得，所以实数k的最大值为．
（Ⅲ）当时，，曲线过原点，存在至少一条切线．
当时，过原点作曲线的切线，切点设为，，
，所以，
要使过原点作曲线的切线，至少存在一条，
则方程至少存在一个解，
即至少存在一个解，
令，，
增区间为，减区间为，
所以当时，最大值为，
要至少一个解，，
，在存在一个解．所以．
21．（共15分）解：（Ⅰ）数列A：1，2，3，所有A的连续可表数构成的集合，
则，，；，，，
则，同理可得．
（Ⅱ）若数列A：，，…，满足，不妨设．
假设数列A只有两项，则中至多3个元素，这与中有5项矛盾，故假设错误，
所以数列A至少3项，即，．
因为数列A：，，…，中任意一项都属于，
所以，所以，解得，所以；
又因为且，所以，
此时，即不存在数列A满足．
（Ⅲ）若数列A：，，…，满足，
不妨设．由（Ⅱ）可知数列A至少3项，即，．
①当时，由，
得，且，
解得，所以，又，所以，即，2；
由（Ⅱ）可知不成立，所以，
令数列A：1，1，1，1，1，满足；
②当，即时，由，
得，且，
解得，所以，又，则，－6；
当时，令数列A：－1，－1，－1，－1，－1，满足；
当时，由（Ⅱ）同理可得不成立．
③当时，由，，－3，－2，－1，0．
当时，令数列A：0，1，1，1，1，满足；
当时，令数列A：－1，0，1，1，1，满足；
当时，令数列A：－1，－1，0，1，1，满足；
当时，令数列A：－1，－1，－1，0，1，满足；
当时，令数列A：－1，－1，－1，－1，0，满足；
综上所述，m可能的取值有－5，－4，－3，－2，－1，0，1．

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