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2024—2025学年度第二学期福九联盟期末联考
高中一年数学科试卷
完卷时间：120分钟 满 分：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合，，则（ ）。
A． B．
C． D．
2、下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（ ）。
A． B． C．y= D．
3、复数满足，则的虚部为（ ）。
A． B． C． D．
4、用抽签法从学号为1到50的50名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5名学生进行问卷
调查，每次抽取一个号码，共抽取5次，设李华第一次被抽到的概率为，第五次被抽到的
概率为，则（ ）。
A．a = ， B．a = ， C．a = ， D．a = ，
5、下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（ ）。
A．B．C．D．
6、要得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（ ）。
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
已知定义在上的奇函数周期为3，当时，，则的值为（ 　）。
A．-4 B．2 C．-2 D．4
8、如图，某人在水平地面上的点O处观测垂直水平面的墙面ABC上的动点P，观测点O到墙
面的距离OA=12m，墙角处点B到点A的距离BA=16m，墙面上 ，当动点P
沿射线BC在墙面上移动时，仰角θ(直线OP与水平面所成的角)正切值的最大值为（ ）。
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9、下列命题正确的是（ ）。
A. 如果直线和平面满足，，那么
B. 已知平面和直线，若，，，,则
C. 已知平面和直线，若 ，， ,则
D. 已知平面和直线，若，， ，则
10、甲、乙两人参加环保知识竞赛活动，活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题，
若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局．已知每轮中甲答对的概率
为，乙答对的概率为，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，
则以下说法正确的是（ ）。
A．每轮活动中，甲获胜的概率为 B．每轮活动中，平局的概率为
C．甲胜一轮且乙胜两轮的概率为 D．甲至少获胜两轮的概率为
11、如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是 ， ， 的中点，
Q是正方形 内的动点，则（ ）。
A．平面 截正方体所得截面面积为
B．经过A， ,P，N四点的球的体积为
C．若PQ垂直于AM,则Q的轨迹长度为
D．三棱锥 的体积为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12、已知一组数据7，7，8，9，10，11，13，16，则这组数据的80%分位数是 .
13、在矩形ABCD中，AB=2,AD=1，点M满足，则 .
14、设是一个随机试验中的两个事件，且，，则
四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、（13分）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件表示“第一次摸得红球”，事件表示“第二次摸得黄球”，
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述事件，；
(2)计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由．
16、（15分）在中，内角所对的边分别为，
(1)求角C； (2)若，求b．
17、（15分）2025年5月25日，平潭综合实验区成功举办半程马拉松赛。志愿服务是赛事成功举办的重要保障。在该赛事志愿者选拔工作中，工作人员随机抽取100名候选者，将其面试成绩按要求分成六组：[40,50)、[50,60)、…、[90,100]，并根据数据绘制了频率分布直方图（如图所示）。
(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)已知落在[50,60)区间内的面试成绩平均数为55，方差为16，落在[60,70)区间的面试成绩平均数为67，方差为20，试估算在区间[50,70)内所有面试成绩的平均数和方差。
18、（17分）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若PA=AB=BC=2,E为PB的中点，M,N分别为AE，AC的中点，
证明：MN//平面PBC；
求MC与AP所成的角的正切值；
若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？
如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由。
19、（17分）如图，在三棱台中，平面平面，，，
且。
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角的大小；
(3)线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切
值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由。
高一年级（数学）评分细则
单项选择题（每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B B D C B A
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 C D ABD ABD
填空题（每小题5分，共15分）
13 13.- 14.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15题
解：（1）设2个红球分别标为，2个黄球分别标为,则从中不放回地依次随机摸出2个球，用表示可能的结果，x是第一次摸到的球的标号，y是第二次摸到的球的标号，..............................................................................................................................................1
则试验的样本空间
，..........3
事件“第一次摸到红球”，即 或2，于是.
；......................................................................4
事件 “第二次摸到黄球”，即 或4，于是
..........................................................................6
事件和事件不独立，理由如下：
由（1）得=12，=6，=6 ..................................................................................8
又因为=，所以=4................................................. .9
所以，，................................................................10
所以，.............................................................................................11
因为，.................................................................................12
所以事件和事件不独立．..............................................................................................13
16题【答案】（1） （2）
【详解】（1）因为，
所以,（2分），
化简得（3分），
所以由正弦定理得：（4分），
所以由余弦定理可得（5分），
所以，
因为，所以（7分）．
（2）由，，又，解得（9分），
因为，所以（11分），
所以 ,
在中，由正弦定理得，
所以．
17【详解】【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1，得
解得，
由
得样本成绩的平均数为74
（2）由频率分布直方图知，成绩在的人数为，
成绩在的人数为，
所以落在[50,70)所有候选者的面试成绩的平均数
方差 .
估计落在[50,70)所有候选者的面试成绩的方差为
18题 (用空间向量完成答案对统一扣2分）
【详解】（1）方法一：
证明：连接，如图，
因为分别是的中点，所以 .………………2分
又平面平面，……………………4分
所以 平面.………………5分
方法二：如图，取的中点为，连接，则 .
又平面平面，
所以 平面.…………………………2分
同理可证 平面，
因为，平面，
所以平面 平面.…………………………4分
又平面，所以 平面.……………………5分
(2)因为底面，所以PAAB
过M点作MHAB，交AB于H点，则MH//PA，所以MC和AP所成的角是∠HMC，…7分
在 PAB中，PA=AB，E为PB中点，M为AE中点，所以MH==…………………8分
连接HC，在Rt HBC中，HB=，BC=2，所以HC==…………………9分
所以tan∠HMC=…………………………………………10分
（3）平面与平面垂直.
证明如下：因为底面底面，所以.
由题意知为直角三角形且，所以.
又平面，
所以平面.………………………………13分
又平面，所以.
因为为的中点，所以.
又平面，所以平面.…………………………16分
因为平面，所以平面平面.……………………………………17分
19（17分）（1）5分 （2） 5 分 （3） 7 分(用空间向量完成答案对统一扣3分）
（1）证明：在三棱台中，，，
在等腰梯形中， ，则1分
由余弦定理得， 2分
则， 3分
即，
而平面平面，平面平面 4分
平面，则平面，
又平面，所以. 5分
解：过，垂足为，
因为，又，，平面，
所以平面， 6分
平面，则 ， 7分
又，平面，则平面， 8分
则为与平面所成的角，
则，
（或者:则，则，） 9分
又，所以与平面所成的角为. 10分
解：三棱台侧棱延长线交于点，
由（1）得为正三角形，
由平面，平面，则平面平面， 11分
取中点，，则，且
而平面平面，平面，则平面，
过作交于，则平面， 12分
而平面，则，
过作于，连接，则为在平面内的射影，
又，平面，则平面，
又平面，则，
则为二面角的平面角， 13分
若存在使得二面角的平面角正切值为 ，即tan ，
设，则
因为，，
即，解得 ， 15分
，， 16分
所以 ，，
所以线段上存在满足题意的点. 17分

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