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专题12.1 函数考点题型梳理与训练
【沪科版】
知识点1：函数的相关概念
1. 常量、变量：
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量 ；数值始终不变的量叫做常量。
函数的概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
【题型1 辨别函数的相关概念】
【例1】（23-24八年级·贵州毕节·期末）一个长方体的长为12，宽为，高为1，体积为，体积随着宽的变化而变化，在这个变化过程中，对变量的描述正确的是（ ）
A．，都是因变量 B．是因变量，是自变量
C．，都是自变量 D．是自变量，是因变量
【变式1-1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）下列各曲线中，不表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（23-24八年级·广东河源·期末）王司机到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中的常量是（ ）
A．金额 B．数量 C．金额和数量 D．单价
【变式1-3】（23-24八年级·福建福州·期中）下列各关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 根据实际问题列函数关系式】
【例2】（23-24八年级·福建厦门·期中）一个弹簧，不挂物体时长，挂上物体后，所挂物体质量每增加，弹簧就伸长，但总质量不得超过，则弹簧的总长度y（单位：）与所挂物体质量x（单位：）之间的函数解析式是 ，其中自变量x的取值范围是 ．
【变式2-1】（23-24八年级·全国·课后作业）某种储蓄月利率是0.36%，今存入本金100元，则本息和（元）与所存月数（个）之间的函数解析式是 .
【变式2-2】（23-24八年级·山东济南·期末）出租车的收费标准为：5km以内（含5km）起步价为8元，超过5km后每1km收1.5元，如果用表示出租车行驶的路程，表示的是出租车应收的车费，请你表示y与s之间的表达式 .
【变式2-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 确定自变量的取值范围】
【例3】（23-24八年级·河南周口·期末）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24·湖南长沙·二模）在函数，自变量x的取值范围是 ．
【变式3-2】（23-24八年级·安徽亳州·期末）函数中，自变量x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．一切实数
【变式3-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）函数自变量x的取值范围是 ．
知识点2：求函数的值
当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．
【题型4 函数图象上点的坐标特征】
【例4】（23-24八年级·广东湛江·期末）下列函数中，经过点的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24八年级·北京朝阳·期末）若函数y=，则当函数值y＝8时，自变量x的值等于 ．
【变式4-2】（23-24八年级·山东青岛·期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于( )
【变式4-3】（23-24八年级·安徽蚌埠·阶段练习）已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在正数n，使得，则称函数和是“正和谐函数”．下列函数和是“正和谐函数”的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
知识点3：函数的三种表示形式
列表法
图象法
（3）解析式法
【题型5 列表法表示函数关系】
【例5】（23-24八年级·河北秦皇岛·期中）已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内，其关系如表所示，下列说法错误的是（ ）
温度/℃ 0 10 20 30
传播速度/ 318 324 330 336 342 348
A．传播速度是自变量，温度是传播速度的函数
B．温度越高，传播速度越快
C．当温度为时，声音可以传播
D．温度每升高，传播速度增加
【变式5-1】（23-24八年级·辽宁丹东·期末）火星探测车是在火星登陆用于火星探测的可移动探测器，为人类了解火星做出了巨大贡献．为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率K（）与温度T（℃）的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ．
温度T（℃） 100 150 200 250 300
导热率K（） 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
【变式5-2】（23-24八年级·辽宁鞍山·期中）一个蓄水池有水60，打开放水阀门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表，下面说法不正确的是（ ）
放水时间（min） 2 3 5 8 …
水池中的水量（） 54 51 45 36 …
A．放水时间是自变量，水池中的水量是放水时间的函数
B．每分钟放水3
C．放水30min后，水池中的水全部放完
D．放水10min后，水池中还有水30
【变式5-3】（23-24八年级·山西运城·期末）游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如下表：
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水/立方米 858 780 702 546

(1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？
(2)请将上述表格补充完整；
(3)设放水时间为小时，游泳池的存水量为立方米，写出与的函数关系式．（不要求写自变量范围）
【题型6 解析法表示函数关系】
【例6】（23-24八年级·黑龙江大庆·开学考试）对于关系式，下列说法：①x是自变量，y是因变量，5是常量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①②⑤
【变式6-1】（23-24八年级·陕西渭南·期中）某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：，则下列说法错误的是（ ）
A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关
C．x可以取任意大于零的实数 D．当时，
【变式6-2】（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：，则下列说法错误的是（ ）
A．时间是自变量，水位高度是因变量
B．y是变量，它的值与x有关
C．当时，
D．当时，
【变式6-3】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，梯形上底的长为，下底长为，高为，梯形的面积为，则下列说法不正确的是（ ）
A．梯形面积与下底长之间的关系式为
B．当时，，此时它表示三角形面积
C．当每增加时，增加
D．当从变到时，的值从变化到
知识点4：函数的图象
把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．
用描点法画函数的图象的一般步骤
a、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）
注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
b、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
c、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。
【题型7 描点法作函数图象】
【例7】（23-24八年级·全国·课后作业）画出函数的图象．
(1)列表：
x … 0 1 …
y … …
(2)描点并连线；
(3)判断点，，是否在函数的图象上；
(4)若点在函数的图象上，求出m的值．
【变式7-1】（23-24八年级·天津津南·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象．
(1)列表：
x ... 0 1 2 ...
y ... ...
(2)描点并连线．
【变式7-2】（23-24八年级·福建三明·期中）问题：探究函数的图象与性质．请按下面的探究过程，补充完整：
(1)函数的自变量x的取值范围是________；
(2)下表是与的几组对应值．
m的值为________；
(3)在如图网格中，建立平面百角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．

【变式7-3】（23-24八年级·河南焦作·期末）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小卫根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小卫的探究过程，请补充完整：
(1)对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8
PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83
PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83
AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定　 　的长度是自变量，　 　的长度和　 　的长度都是这个自变量的函数；
(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
(3)结合函数图象，解决问题：当时，AD的长度约为　 　cm．（保留一位小数）
【题型8 图象法表示函数关系】
【例8】（23-24八年级·河南许昌·期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（）之间的关系如图2所示．从图中获取的信息错误的是（ ）
A．变量y是x的函数 B．摩天轮转一周所用的时间是
C．摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是54m D．摩天轮的半径是35m
【变式8-1】（23-24八年级·陕西铜川·期末）张华上午8点骑自行车外出办事，中途休息了一段时间，然后加速到达目的地，办完事情后按原路匀速返回，如图表示他离家的距离（千米）与所用时间（时）之间的函数图象．根据这个图象回答下列问题：
(1)在这个过程中自变量是__________，因变量是__________；
(2)张华何时到达目的地？在那里逗留了多长时间？目的地离家多远？
(3)张华何时返回？何时到家？返回的速度是多少？
【变式8-2】（23-24八年级·广东深圳·期末）深圳地铁号线，也称“深圳地铁东部快线”，它起于福田区岗厦北交通枢纽，途至坪山区沙田，采用自动化无人驾驶技术，全长，最高运行速度可达．如图，为地铁号线从黄木岗站到罗湖北站行驶的速度时间图象，根据图象，下列分析错误的是（ ）

A．自变量是行驶时间，因变量是行驶速度
B．地铁加速用时比减速用时长
C．地铁匀速前进的时长为
D．在这段时间内地铁的最高运行速度为
【变式8-3】（23-24八年级·四川宜宾·期末）甲乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上骑行到目的地B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（时）之间的函数关系的图象，如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：
①他们都骑行了18千米，但不是同时到达目的地．
②甲在中途停留了小时．
③乙比甲晚出发了小时，却早到了小时．
④相遇后甲的速度大于乙的速度．
其中不符合图象描述的说法是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
【题型9 函数图象的识别】
【例9】（23-24八年级·江苏镇江·期末）周末，小丽同学做了以下几件事情：
第一件：小丽去文具店购买黑色水笔，支付费用与购买黑色水笔支数的关系：
第二件：小丽去奶奶家吃饭，饭后，和奶奶聊一会天，然后再按原速度原路返回，小丽离家的距离与时间的关系；
第三件：小丽和奶奶聊天时，了解到：奶奶用的手机是含有月租费的计费方式，奶奶每月支付的话费与通话时间的关系．
用下面的函数图像刻画上述事情，排序正确的是（ ）

（1）（2）（3） B．（2）（1）（3）
C．（1）（3）（2） D．（2）（3）（1）
【变式9-1】（23-24·浙江绍兴·一模）小刚从家里出发，以400米/分钟的速度匀速骑车5分钟后就地休息了6分钟，然后以500米/分钟的速度匀速骑回家里掎回家里.表示离家路程，表示骑行时间，下列函数图象能表达这一过程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-2】（23-24八年级·全国·竞赛）在物理实验课上，小明用弹簧测力计将长方体铁块悬于盛有水的水槽中，使铁块完全浸没于水中（如图所示），然后匀速向上提起，直到铁块完全露出水面一定的高度，则下图中能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式9-3】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，将一个圆柱形无盖小烧杯的杯底固定在圆柱形大烧杯的杯底中央，现沿着大烧杯内壁匀速注水，注满后停止注水．则大烧杯水面的高度与注水时间之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【题型10 动点问题的函数图象】
【例10】（23-24八年级·安徽滁州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（ ）
A． B．长方形的周长是
C．当时， D．当时，
【变式10-1】（23-24八年级·河北邯郸·期末）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AC=AD．动点P从点B出发沿折线B-A-D-C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，写出
①AB= ；
②CD= （提示：过A作CD的垂线）；
③BC= ．
【变式10-2】（23-24八年级·广东深圳·期中）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图所示的边框按从的路径移动，相应的的面积S关于时间t的函数图象如图所示，若，试回答下列问题．
(1)此题的自变量是　　　，因变量是　　　．
(2)如图甲，的长是　　　cm；图甲图形面积是　　　cm．
(3)如图乙，图中的a是　　　，b是　　　．
【变式10-3】（23-24八年级·河南漯河·期末）甲、乙两车从地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是；②；③点的坐标是；④．其中说法正确的是 （填写序号）．专题12.1 函数考点题型梳理与训练答案
【沪科版】
知识点1：函数的相关概念
1. 常量、变量：
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量 ；数值始终不变的量叫做常量。
函数的概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
【题型1 辨别函数的相关概念】
【例1】（23-24八年级·贵州毕节·期末）一个长方体的长为12，宽为，高为1，体积为，体积随着宽的变化而变化，在这个变化过程中，对变量的描述正确的是（ ）
A．，都是因变量 B．是因变量，是自变量
C．，都是自变量 D．是自变量，是因变量
【答案】D
【详解】解：体积随着长的变化而变化，，
是自变量，是因变量，
故选：D．
【变式1-1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）下列各曲线中，不表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A．对于任意的x,y都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意；
B．对于任意的x,y都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意；
C．对于任意的x,y都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意；
D．当时，y有两个值与之对应，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（23-24八年级·广东河源·期末）王司机到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中的常量是（ ）
A．金额 B．数量 C．金额和数量 D．单价
【答案】D
【详解】解：解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：D．
【变式1-3】（23-24八年级·福建福州·期中）下列各关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：对于，当时，则，表明对于x的一个取值，y的取值不唯一，故y不是x的函数；
对于、、，在使得代数式有意义的自变量取值范围内，对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数；
故选：A．
【题型2 根据实际问题列函数关系式】
【例2】（23-24八年级·福建厦门·期中）一个弹簧，不挂物体时长，挂上物体后，所挂物体质量每增加，弹簧就伸长，但总质量不得超过，则弹簧的总长度y（单位：）与所挂物体质量x（单位：）之间的函数解析式是 ，其中自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：由于不挂物体时弹簧长，即当时，，
所挂物体质量每增加，弹簧就伸长，
故所求y与x之间的函数关系式为．
由于物体质量不超过，故．
故答案为：，．
【变式2-1】（23-24八年级·全国·课后作业）某种储蓄月利率是0.36%，今存入本金100元，则本息和（元）与所存月数（个）之间的函数解析式是 .
【答案】
【详解】根据题意，y=100+100×0.36%×x=0.36x+100.
故填.
【变式2-2】（23-24八年级·山东济南·期末）出租车的收费标准为：5km以内（含5km）起步价为8元，超过5km后每1km收1.5元，如果用表示出租车行驶的路程，表示的是出租车应收的车费，请你表示y与s之间的表达式 .
【答案】y＝1.5s＋0.5
【详解】解：当s≥5时，y＝8＋1.5（s 5）＝1.5s＋0.5；
故答案为：y＝1.5s＋0.5．
【变式2-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：设苹果单价提高x元，则销售量为千克，
由题意得，，
故选D．
【题型3 确定自变量的取值范围】
【例3】（23-24八年级·河南周口·期末）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意，得
，
∴．
故选A．
【变式3-1】（23-24·湖南长沙·二模）在函数，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：由题意得：，解得：．
故答案为：．
【变式3-2】（23-24八年级·安徽亳州·期末）函数中，自变量x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．一切实数
【答案】D
【详解】解：函数中，自变量x的取值范围是一切实数．
故选：D．
【变式3-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）函数自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：由题意得：，
∴；
故答案为．
知识点2：求函数的值
当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．
【题型4 函数图象上点的坐标特征】
【例4】（23-24八年级·广东湛江·期末）下列函数中，经过点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、当时，，故函数图象经过点，此选项符合题意；
B、当时，，故函数图象不经过点，此选项不符合题意；
C、当时，，故函数图象不经过点，此选项不符合题意；
D、当时，，故函数图象不经过点，此选项不符合题意，
故选：A．
【变式4-1】（23-24八年级·北京朝阳·期末）若函数y=，则当函数值y＝8时，自变量x的值等于 ．
【答案】或4
【详解】由已知可得x2+2=8或2x=8,
分别解得x1=(不符合题意舍去)，x2=-，x3=4
故答案为或4
【变式4-2】（23-24八年级·山东青岛·期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于( )
【答案】-9
【详解】∵当x=7时，y=6﹣7=﹣1，∴当x=4时，y=2×4+b=﹣1，解得：b=﹣9．
故答案为－9．
【变式4-3】（23-24八年级·安徽蚌埠·阶段练习）已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在正数n，使得，则称函数和是“正和谐函数”．下列函数和是“正和谐函数”的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【详解】A、，解得，不合题意；
B、，解得，不合题意；
C、，解得，符合题意；
D、，解得，不合题意；
故选C．
知识点3：函数的三种表示形式
列表法
图象法
（3）解析式法
【题型5 列表法表示函数关系】
【例5】（23-24八年级·河北秦皇岛·期中）已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内，其关系如表所示，下列说法错误的是（ ）
温度/℃ 0 10 20 30
传播速度/ 318 324 330 336 342 348
A．传播速度是自变量，温度是传播速度的函数
B．温度越高，传播速度越快
C．当温度为时，声音可以传播
D．温度每升高，传播速度增加
【答案】A
【详解】解：A、温度是自变量，传播速度是传播速度的函数，故原题说法错误；
B、温度越高，传播速度越快，故原题说法正确；
C、当温度为时，声音可以传播，故原题说法正确；
D、温度每升高，传播速度增加，故原题说法正确；
故选：A．
【变式5-1】（23-24八年级·辽宁丹东·期末）火星探测车是在火星登陆用于火星探测的可移动探测器，为人类了解火星做出了巨大贡献．为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率K（）与温度T（℃）的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ．
温度T（℃） 100 150 200 250 300
导热率K（） 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
【答案】/500摄氏度
【详解】解：根据题意，温度每增加，导热率增加，
所以，
所以，当导热率为时，温度为，
故答案为：．
【变式5-2】（23-24八年级·辽宁鞍山·期中）一个蓄水池有水60，打开放水阀门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表，下面说法不正确的是（ ）
放水时间（min） 2 3 5 8 …
水池中的水量（） 54 51 45 36 …
A．放水时间是自变量，水池中的水量是放水时间的函数
B．每分钟放水3
C．放水30min后，水池中的水全部放完
D．放水10min后，水池中还有水30
【答案】C
【详解】解：A、根据表格数据知：蓄水池原有水，每分钟水闸排水．
水池剩余水量可以看以时间为自变量的函数，故A正确，不符合题意．
B、每分钟水闸排水．故B正确，不符合题意．
C、．故放水20min后，水池中的水全部放完，故C错误，符合题意．
D、放水10分钟，还剩水：，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【变式5-3】（23-24八年级·山西运城·期末）游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如下表：
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水/立方米 858 780 702 546

(1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？
(2)请将上述表格补充完整；
(3)设放水时间为小时，游泳池的存水量为立方米，写出与的函数关系式．（不要求写自变量范围）
【答案】(1)放水时间，游泳池的存水；
(2)见解析；
(3)．
【详解】（1）解：由题意知，两个变量分别是：放水时间及游泳池的存水；
（2）解：根据每小时放水78立方米，完成表格如下：
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水/立方米 858 780 702 624 546 468 390
（3）解：与的函数关系式为．
【题型6 解析法表示函数关系】
【例6】（23-24八年级·黑龙江大庆·开学考试）对于关系式，下列说法：①x是自变量，y是因变量，5是常量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①②⑤
【答案】D
【详解】解：①x是自变量，y是因变量，5是常量，正确；
②x的数值可以任意选择，正确；
③y是变量， 随x的变化而变化，原说法错误；
④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示，原说法错误；
⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，正确；
综上分析可知，正确的是①②⑤．
故选：D．
【变式6-1】（23-24八年级·陕西渭南·期中）某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：，则下列说法错误的是（ ）
A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关
C．x可以取任意大于零的实数 D．当时，
【答案】C
【详解】A. 从题意及给出的函数关系式可以得出：时间是自变量，水位高度是因变量，故A选项说法正确；
B. 从函数关系式可以得出：x，y都是变量，并且y的值与x有关, 故B选项说法正确；
C. 根据函数关系式：，可以看出x的取取值范围是：，故C选项说法错误；
D. 当时，，故D选项说法正确；
故选 ：C
【变式6-2】（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：，则下列说法错误的是（ ）
A．时间是自变量，水位高度是因变量
B．y是变量，它的值与x有关
C．当时，
D．当时，
【答案】C
【详解】解：A、时间是自变量，水位高度是因变量，则正确，故不符合题意；
B、y是变量，它的值与x有关，则正确，故不符合题意；
C、当时，即，
解得：，则错误，故符合题意；
D、当时，即，则正确，故不符合题意；
故选C．
【变式6-3】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，梯形上底的长为，下底长为，高为，梯形的面积为，则下列说法不正确的是（ ）
A．梯形面积与下底长之间的关系式为
B．当时，，此时它表示三角形面积
C．当每增加时，增加
D．当从变到时，的值从变化到
【答案】D
【详解】解∶．∵梯形上底的长是，下底的长是，高是，
∴梯形的面积与下底长之间的关系式为：，该项正确，不符合题意；
．当时，，此时它表示三角形面积，该选项正确，不符合题意；
．∵，
∴当每增加时，增加，故该选项正确，不符合题意；
．当时，，
当时，，
当从变到时，的值从变化到，故该选项错误，符合题意；
故选∶．
知识点4：函数的图象
把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．
用描点法画函数的图象的一般步骤
a、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）
注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
b、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
c、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。
【题型7 描点法作函数图象】
【例7】（23-24八年级·全国·课后作业）画出函数的图象．
(1)列表：
x … 0 1 …
y … …
(2)描点并连线；
(3)判断点，，是否在函数的图象上；
(4)若点在函数的图象上，求出m的值．
【答案】(1)3，1，-1
(2)见解析
(3)点A、B不在函数的图象上，点C在其图象上
(4)-4
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：3，1，；
（2）解：如图：
（3）解：∵当时，；
当时，；
当时，，
∴点不在函数的图象上，点C在其图象上．
（4）解：∵点在函数的图象上，
∴，解得．
【变式7-1】（23-24八年级·天津津南·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象．
(1)列表：
x ... 0 1 2 ...
y ... ...
(2)描点并连线．
【详解】（1）解：列表：
x ... 0 1 2 ...
y ... 2 1 0 ...
（2）
【变式7-2】（23-24八年级·福建三明·期中）问题：探究函数的图象与性质．请按下面的探究过程，补充完整：
(1)函数的自变量x的取值范围是________；
(2)下表是与的几组对应值．
m的值为________；
(3)在如图网格中，建立平面百角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．

【详解】（1）解：在函数中，自变量x的取值范围是x为任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）解：当时，，
故答案为：；
（3）解：描点、连线，画出函数的图象如图：

（4）解：由函数图象可知，
①函数有最小值为；
②当时，y随x的增大而增大．
【变式7-3】（23-24八年级·河南焦作·期末）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小卫根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小卫的探究过程，请补充完整：
(1)对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8
PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83
PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83
AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定　 　的长度是自变量，　 　的长度和　 　的长度都是这个自变量的函数；
(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
(3)结合函数图象，解决问题：当时，AD的长度约为　 　cm．（保留一位小数）
【详解】（1）解：（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量；
故答案为：AD、PC、PD；
（2）（2）描点画出如图图象；
（3）从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求，即AD的长度为2.3cm和cm；
故答案为：2.3和4.0．
【题型8 图象法表示函数关系】
【例8】（23-24八年级·河南许昌·期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（）之间的关系如图2所示．从图中获取的信息错误的是（ ）
A．变量y是x的函数 B．摩天轮转一周所用的时间是
C．摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是54m D．摩天轮的半径是35m
【答案】D
【详解】解：由题意可得：
A、变量y是x的函数，说法正确，故本选项不合题意；
B、摩天轮转一周所用的时间是6min，说法正确，故本选项不合题意；
C、摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是54m，说法正确，故本选项不合题意；
D、摩天轮的半径是：（70-5）÷2=32.5（m），原说法错误，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式8-1】（23-24八年级·陕西铜川·期末）张华上午8点骑自行车外出办事，中途休息了一段时间，然后加速到达目的地，办完事情后按原路匀速返回，如图表示他离家的距离（千米）与所用时间（时）之间的函数图象．根据这个图象回答下列问题：
(1)在这个过程中自变量是__________，因变量是__________；
(2)张华何时到达目的地？在那里逗留了多长时间？目的地离家多远？
(3)张华何时返回？何时到家？返回的速度是多少？
【详解】（1）解：根据题意得：在这个过程中自变量是所用时间，因变量是离家的距离；
故答案为：所用时间t，离家的距离S
（2）解：观察图象得：张华11时到达目的地，在那里逗留的时间为12-11=1时，目的地离家30千米；
（3）张华12时返回，14时到家，
返回的速度是千米/时．
【变式8-2】（23-24八年级·广东深圳·期末）深圳地铁号线，也称“深圳地铁东部快线”，它起于福田区岗厦北交通枢纽，途至坪山区沙田，采用自动化无人驾驶技术，全长，最高运行速度可达．如图，为地铁号线从黄木岗站到罗湖北站行驶的速度时间图象，根据图象，下列分析错误的是（ ）

A．自变量是行驶时间，因变量是行驶速度
B．地铁加速用时比减速用时长
C．地铁匀速前进的时长为
D．在这段时间内地铁的最高运行速度为
【答案】B
【详解】解：A、根据题意可知：自变量是行驶时间，因变量是行驶速度，故此选项正确，不符合题意；
B、根据图象可知地铁加速时间是，减速时间是，故地铁加速用时比减速用时短，故此选项错误，符合题意；
C、根据图象可知地铁匀速前进的时长为，故此选项正确，不符合题意；
D、根据图象可知在这段时间内地铁的最高运行速度为，故此选项正确，不符合题意；
故选：B．
【变式8-3】（23-24八年级·四川宜宾·期末）甲乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上骑行到目的地B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（时）之间的函数关系的图象，如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：
①他们都骑行了18千米，但不是同时到达目的地．
②甲在中途停留了小时．
③乙比甲晚出发了小时，却早到了小时．
④相遇后甲的速度大于乙的速度．
其中不符合图象描述的说法是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【详解】解：①观察图象得：他们都行驶了18千米，故①正确；
②观察图象得：甲在中途停留了（小时），故②正确；
③观察图象得：乙比甲晚出发了小时，故③正确；
④观察图象得：相遇后，甲到达目的地用的时间比乙到达目的地所用时间多用小时，而行驶的路程相等，因此相遇后甲的速度小于乙的速度，故④错误；
∴不符合图象描述的说法是④．
故选：D．
【题型9 函数图象的识别】
【例9】（23-24八年级·江苏镇江·期末）周末，小丽同学做了以下几件事情：
第一件：小丽去文具店购买黑色水笔，支付费用与购买黑色水笔支数的关系：
第二件：小丽去奶奶家吃饭，饭后，和奶奶聊一会天，然后再按原速度原路返回，小丽离家的距离与时间的关系；
第三件：小丽和奶奶聊天时，了解到：奶奶用的手机是含有月租费的计费方式，奶奶每月支付的话费与通话时间的关系．
用下面的函数图像刻画上述事情，排序正确的是（ ）

（1）（2）（3） B．（2）（1）（3）
C．（1）（3）（2） D．（2）（3）（1）
【答案】C
【详解】解：小丽去文具店购买黑色水笔，支付费用与购买黑色水笔支数成正比例关系，
该变化对应图象（1），
小丽去奶奶家吃饭，饭后，和奶奶聊一会天，然后再按原速度原路返回，
该变化对应图象（3），
奶奶用的手机是含有月租费的计费方式，奶奶每月支付的话费与通话时间成一次函数关系，
该变化对应图象（2），
故选：C．
【变式9-1】（23-24·浙江绍兴·一模）小刚从家里出发，以400米/分钟的速度匀速骑车5分钟后就地休息了6分钟，然后以500米/分钟的速度匀速骑回家里掎回家里.表示离家路程，表示骑行时间，下列函数图象能表达这一过程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵（米）=2（千米），
∴小刚以400米/分的速度匀速骑车5分行驶的路程为2千米，
而选项A与B中纵轴表示速度，且速度为变量，这与事实不符，故排除选项A与B，
又∵“回到原出发地”表示终点的纵坐标为0，
∴排除选项C，
故选：D．
【变式9-2】（23-24八年级·全国·竞赛）在物理实验课上，小明用弹簧测力计将长方体铁块悬于盛有水的水槽中，使铁块完全浸没于水中（如图所示），然后匀速向上提起，直到铁块完全露出水面一定的高度，则下图中能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意，铁块被提起的过程中，离开水面前弹簧读数不变，离开水面的过程中，读数越来越大，全部离开水面后，读数不变，故弹簧秤的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位）之间的函数关系的大致图象为B；
故选：B．
【变式9-3】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，将一个圆柱形无盖小烧杯的杯底固定在圆柱形大烧杯的杯底中央，现沿着大烧杯内壁匀速注水，注满后停止注水．则大烧杯水面的高度与注水时间之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：先大烧杯的液面高度y随时间x的增加而增大，当大烧杯的液面高度达到小烧杯的高度时，大烧杯的液面高度y保持不变，所以B选择项不符合题意；当小烧杯水注满后，大烧杯的液面高度y随时间x的增加而增大，所以A选择项不符合题意；这时增加的速度较先前的慢，所以C选择项不符合题意，D项符合题意．
故选：D．
【题型10 动点问题的函数图象】
【例10】（23-24八年级·安徽滁州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（ ）
A． B．长方形的周长是
C．当时， D．当时，
【答案】D
【详解】解：由图2可知，长方形MNPQ的边长，MN=9-4=5，NP=4，故选项A正确；
选项B，长方形周长为2×（4+5）=18，正确；
选项C，x=6时，点R在QP上，△MNR的面积y=×5×4=10，正确；
选项D，y=8时，即，解得，
或，解得，
所以，当y=8时，x=3.2或9.8，故选项D错误；
故选：D．
【变式10-1】（23-24八年级·河北邯郸·期末）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AC=AD．动点P从点B出发沿折线B-A-D-C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，写出
①AB= ；
②CD= （提示：过A作CD的垂线）；
③BC= ．
【答案】 3 6 5
【详解】①当t=3时，点P到达A处，即AB=3．
故答案是：3；
②过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，
∵AC=AD，
∴DE=CE=，
∴CD=6，
故答案是：6；
③当S=15时，点P到达点D处，则S=CD BC=（2AB） BC=3×BC=15，
则BC=5，
故答案是：5．
【变式10-2】（23-24八年级·广东深圳·期中）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图所示的边框按从的路径移动，相应的的面积S关于时间t的函数图象如图所示，若，试回答下列问题．
(1)此题的自变量是　　　，因变量是　　　．
(2)如图甲，的长是　　　cm；图甲图形面积是　　　cm．
(3)如图乙，图中的a是　　　，b是　　　．
【详解】（1）解：根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和的面积；
故答案为：时间t；面积S；
（2）解：已知当在上时，以为底的三角形的高在不断增大，到达点时，开始不变，由第二个图得，
在上移动了4秒，
．
在上移动了2秒，
，
在上移动了3秒，
，
，
，
∴图甲图形面积是
故答案为：8；60；
（3）解：由图得，是点运行4秒时的面积，
，
为点走完全程的时间：，
，．
故答案为：24；17．
【变式10-3】（23-24八年级·河南漯河·期末）甲、乙两车从地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是；②；③点的坐标是；④．其中说法正确的是 （填写序号）．
【详解】解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；
由图象第2-6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；
当乙在B休息1h时，甲前进80km，距离缩短为80km，则H点坐标为（7，80），③正确；
乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④正确．
故答案为：①②③④．

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