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河南省洛阳市2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、单选题
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是由正方形和直角三角形组成的，若正方形B，C的面积都为4，则正方形A的边长是（ ）
A．2 B．4 C． D．8
3．如图，已知四边形是平行四边形，下列条件中能判定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．对于两组数据：①5，6，6，7，8；②4，6，6，7，9，下列说法错误的是（ ）
A．众数相同 B．平均数相同
C．中位数相同 D．方差相同
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
7．现有甲、乙、丙、丁四个甜玉米试验品种，农科院计划为某地选出一个品种在该地不同区域推广种植．工作人员在该地不同区域选取了4块土壤条件具有代表性的试验田进行试验，得到各试验田中这四种甜玉米的产量（单位：公顷），统计结果如图所示．根据统计结果，最适合在该地不同区域推广种植的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．关于函数有下列结论，其中正确的是（ ）
A．图象经过点
B．若，在图象上，则
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象向下平移个单位长度后的解析式为
9．综合与实践课上，老师制定的活动主题为：用尺规作图或折叠的方式在平行四边形纸片上作出一个菱形．同学们思考后提出下列设计方案，设计错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．春耕期间，市农资公司连续10天调进一批化肥，并在开始调进化肥的第6天开始销售．若进货期间每天调进化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个公司的化肥存量S（单位：吨）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示，下列结论：①进货期间每天调进化肥6吨；②销售期间每天销售化肥4吨；③第11天时公司的化肥存量为12吨；④该公司这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用的时间是12天，其中正确结论的序号有（ ）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④
二、填空题
11．若二次根式有意义，则x的值可以是 （写出一个即可）．
12．如图，数轴上点A表示的数为，过原点O作的垂线并截取，以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点C，则点C表示的实数是 ．
13．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则关于x的方程的解是 ．
14．某校开展“节约每一滴水”活动，为了解开展活动的一个月以来节约用水的情况，从八年级的200名同学中随机选出20名同学统计了各自家庭一个月的节水情况，统计结果见下表：
节水量/ 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
家庭数/个 2 4 7 5 2
这20名同学的家庭一个月节约用水的平均数是 ．（结果保留两位小数）
15．在矩形中，，，点P在边上，将沿着折叠，若点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，则 ．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．如图，明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题，其大意为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请你解决这个问题．
18．某校九年级学生进行了一次体育模拟考试（满分：分），从男、女生中各抽取了名学生的测试成绩（成绩均为整数），对数据进行整理分析，并给出了下列信息：
名女生的测试成绩统计如图所示：
名男生的测试成绩整理为五组：；；；；，并分析绘制成扇形图；其中，组具体成绩如下：；
抽取的女生、男生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
性别 平均数 中位数 众数
女生
男生
(1)根据以上信息可以求出：______，______，_____；
(2)你认为该校九年级男生的体育成绩较好还是女生的体育成绩较好？请说明理由（理由写出一条即可）．
19．如图，在四边形中，，．
(1)尺规作图：作的平分线，其中点E在上；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形．
20．如图，直线l是一次函数的图象．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)连接，求的面积；
(3)根据图象直接写出的解集．
21．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．请你尝试证明．证明的方法很多，下面是其中一种方法．请结合图2，补全求证及完成证明．
已知：在中，点D，E分别是的中点．
求证： ．
证明：
22．在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多80元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A，B两种型号模型的单价；
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
23．综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究．
定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形．
（1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
性质探究
（2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当时，请判断中点四边形的形状并说明理由；
（3）如图3，在中，，D为外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积．
参考答案
1．D
解：A．被开方数是小数，不是最简二次根式；
B．被开方数是分数，不是最简二次根式；
C．被开方数含能开的尽的因数9，不是最简二次根式；
D．是最简二次根式．
故选：D．
2．C
解：由勾股定理得，，
∵B，C的面积都为4，
∴正方形A的面积为，
∴正方形A的边长为，
故选：C．
3．B
解： A、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项不符合题意；
B、，能判定为矩形，本选项符合题意；
C、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项不符合题意；
D、，不能判定为矩形，本选项不符合题意；
故选：B．
4．D
解：第①组数据中，6出现的次数最多，众数为6，中位数为6，平均数为，
方差为，
第②组数据中，6出现的次数最多，众数为6，中位数为6，平均数为，
方差为，
∴两组数据的平均数，中位数和众数都相同，方差不相同，
故选：D．
5．B
解：A、，不能合并，故选项不符合题意；
B、，故选项符合题意；
C、，不能合并，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：D．
6．A
解：A选项：，
设，则，，
，
解得:，
∴最大角：，
不是直角三角形，
故A选项符合题意；
B选项：，
，
，
，
，
是直角三角形，
故B选项不符合题意；
C选项：，
设，则，，
，
是直角三角形，
故C选项不符合题意；
D选项：，
是直角三角形，
故D选项不符合题意．
故选：A．
7．C
解：从统计结果可以看出甲和丁稳定性不好，丙的平均产量高于乙，故丙的稳定性和产量是最好的，
故选∶C
8．D
解：选项A：将代入，得，故点不在图像上，故A选项错误，不符合题意；
选项B：函数的比例系数，故随增大而减小，因为，对应，，故，故B选项错误，不符合题意；
选项C：函数，，所以直线与轴交点在轴的正半轴，且故随增大而减小，所以图像经过第一、二、四象限，而非第二、三、四象限，故C选项错误，不符合题意；
选项D：图像向下平移个单位，解析式为，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
9．C
解：如图，根据作图过程可知：，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，故A不符合题意．
如图，由作图可得：，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，而，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，故B不符合题意．
如图，
由对折可得：，，
同理可得：，
∴，
∴四边形为菱形，故D不符合题意．
无法证明C选项中的四边形为菱形，故C符合题意；
故选：C
10．A
解：进货期间每天调进化肥吨，故①符合题意；
当在第6天时，库存物资应该有36吨，在第10天时库存20吨，
∴销售化肥的速度是（吨/天），故②不符合题意；
第11天时公司的化肥存量为吨；故③不符合题意；
∴剩余的20吨完全调出需要（天），
该公司这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用的时间是12天，故④符合题意．
故选：A
11．0（答案不唯一）
解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
∴x的值可以是0（答案不唯一）．
故答案为：0（答案不唯一）．
12．
解：由题意得，，
∴，
∴，
∴点C表示的实数是，
故答案为：．
13．
解：设点坐标为，
将代入中，
∴，
∴，
即点坐标为，
∴由图象可得关于的方程的解是，
故答案为：．
14．0.33
解：，
故答案为： ．
15．或
分两种情况：①如图，点M，N分别是，的中点，当点落在上时，
则直线是矩形的对称轴，
∴四边形，是矩形，
∴，
∵将沿着折叠得到，
∴，，
∴，
∴
∵
∴
∴
解得：
∴；
②如图，点H，Q分别是，的中点，当点落在上时，连接，
则直线是矩形的对称轴，
∴四边形，是矩形，
∴，
∴
由折叠得，
∴
∴是等边三角形
∴
∴由折叠得，
∴
∵
∴
∴
∴
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
16．(1)3；
(2)．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．绳索的长度为14.5尺．
由题意知：，，，．
四边形为矩形，
，
又，
．
设，则．
在中，由勾股定理得，
．
解得尺，
绳索的长度为14.5尺．
18．(1)
(2)九年级女生的体育成绩好，理由见解析
（1）解：由扇形统计图得，，
∴，
∴名男生的测试成绩在组的人数为名，
∵男生的测试成绩由低到高排列，中位数为第和第名成绩的平均数，
∴，
由折线统计图可知，名女生的测试成绩中的人数最多，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：九年级女生的体育成绩好，理由如下：
男生和女生的平均数相同，但女生的中位数和众数都高于男生，所以九年级女生的体育成绩好．
19．(1)见解析；
(2)见解析．
（1）解：如图所示，射线即为所求：
（2）证明：由（1）知，，
．
．
，
．
．
，
∴四边形是平行四边形．
20．(1)；
(2)2；
(3)．
（1）解：把代入到中得，
∴，
∴一次函数解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：由函数图象可得的解集为．
21．见解析
解：求证：．
证明：延长至F，使，连接，
∴
∵E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
又因为点D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
22．(1)A型机器人模型单价是200元，B型机器人模型单价120元；
(2)购买A型机器人模型5台，B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2240元．
（1）解：设B型机器人模型单价是x元，则A型机器人模型单价是元，
根据题意，得．
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴（元）．
答：A型机器人模型单价是200元，B型机器人模型单价120元．
（2）解：设购买A型机器人模型a台，则购买B型机器人模型台，
根据题意，得，
解得，
设花费W元，
则，
，
∴W随a的减小而减小，
，
∴当时W值最小，，
∴（台），
答：购买A型机器人模型5台，B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2240元．
23．（1）②④；
（2）四边形为正方形，理由见解析；（3）或．
解：（1）①平行四边形的对角线不相等，故不是等角线四边形；
②矩形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形；
③菱形的对角线不相等，故不是等角线四边形；
④正方形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形；
综上，一定是等角线四边形的有②④．
故答案为：②④；
（2）四边形为正方形，理由如下：
∵E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点，
∴，，，，，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
（3）分以下两种情况：
当点在的上方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，的中点，对角线，，
由（2）可知，四边形为正方形，且，
∴四边形的面积为；
当点在的下方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，的中点，对角线，，
由（2）可知，四边形为正方形，且，
∴四边形的面积为；
综上，以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积为或．

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