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1.2 矩形的性质与判定-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·邛崃期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
故答案为：C．
【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，对边平行且相等，逐项进行判断即可求解.
2．（2023九上·沈阳月考）如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（　　）
A．一组对边平行而另一组对边不平行
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：当四边形ABCD的对角线互相垂直时，四边形为矩形，理由如下：
∵分别是四边形四条边的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
故答案为：C．
【分析】利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，可得，，再根据AC⊥BD，即可得，即可得矩形EFGH.
3．（2024九上·白银期末）在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，故A符合题意；
四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
，四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；
由四边形是平行四边形，，不能判定平行四边形是矩形，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
4．（【探究应用新思维】九年级数学微探究 道是无圆却有圆）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，点 E 是AB 边的中点，点 F 是线段 BC 边上的动点，将△EBF 沿 EF 所在直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则 B'D 的最小值是(　　).
B.6
D.4
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接DE，
∵B'D+B'E≥DE
∴B'D≥DE-B'E，
∴B'D的最小值为DE-B'E，
∴当E，B'，D三点共线时，B'D最小，
∵在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E是AB边的中点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F，
∴
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】将B'D放在△B'DE中，利用三角形的三边关系得出当，B'，D三点共线时，B'D最小，再利用勾股定理求出DB即可求解.
5．（2024九上·西城开学考）如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，设边上的高是h，
，
，
，
∵AD=3，
∴h=2，
动点P在与平行且与的距离是2的直线l上，
如图，作点A关于直线l的对称点E，连结，，
∴PA+PB=PE+PB，
∴当P、E、B三点共线时，此时PA+PB的最小值为BE的长，
在中，AB=5，AE=2+2=4，
，
∴的最小值为．
故答案为：D．
【分析】设边上的高是h，根据，利用三角形面积、矩形面积公式得出动点P在与平行且与的距离是2的直线l上，作点A关于直线l的对称点E，连结，，根据轴对称的性质得PA+PB=PE+PB，从而有P、E、B三点共线时，此时PA+PB的最小值为BE的长，然后利用勾股定理求得BE的长，即得求解.
6．（2024九上·成都期末）如图，将两个矩形叠合放置，如果，那么等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；直角三角形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图：
∵两个矩形叠合放置，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由题可得，然后根据角的和差求出∠5和∠2的度数即可．
7．（2024九上·昆明开学考）如图，在中，，，于点D，E为的中点，，则（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
在中，
∵E是的中点．
∴（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；
又∵，
∴；
∴，
故答案为：B
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．根据，，，利用等腰三角形的性质可推出，根据垂线的性质可知是直角三角形，在中，利用直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可推出，利用勾股定理可求出AD的长度．
8．（2024九上·麒麟开学考）如图，点F是矩形的边上一点，连结，作于点E，且满足，则下列结论中①，②，③，④，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，
，
，
故②正确；
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
故③，④正确；
现有条件不能证明，故①错误，
综上可知，正确的有②，③，④，共3个，
故答案为：C．
【分析】先利用“HL”证出，再利用“AAS”证出，最后利用全等三角形的性质，线段的和差及角的运算方法逐项分析判断即可.
二、填空题
9．（2018九上·深圳期中）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是　 　（添加一个条件即可）．
【答案】∠ABC=90°或AC=BD．
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】
解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．
故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形或有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行解答即可.
10．（2024九上·海淀月考）如图，矩形ABCD中，，．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'CD'，使得点B'落在边AD上，此时DB'的长为　 　．
【答案】1
【知识点】矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴
由旋转的性质可知
，
∴，
故答案为：1．
【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，利用矩形和旋转的性质，推出，，所以．
11．（2023九上·潼南月考）如图，在矩形ABCD中，，，作AE平分∠BAD，若连接BF，则BF的长度为　 　。
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】四边形ABCD是矩形，
，BC=AD=4，CD=AB=6，∠BCD=90°，
AE平分∠BAD，
DF=AD=4，
CF=CD-DF=6-4=2，
由勾股定理可得
故答案为： .
【分析】根据矩形的性质得到，BC=AD=4，CD=AB=6，∠BCD=90°，进而得到由角平分线的性质得到从而求得CF的值，最后利用勾股定理即可求解.
12．（2024九上·哈尔滨开学考）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝10，BC＝16，则EF的长为　 　.
【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：因为DE为△ABC的中位线，∠AFB=90°，所以DE=BC，DF=AB，
因为BC=16，AB=10，
所以DE=×16=8，DF=×10=5，
所以EF=DE-DF=8-5=3，
故填：3．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长度，根据三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）求出DE的长，然后相减即可得到EF的长．
13．（2024九上·福田期中）如图，在中，，，，点是边上的一点（异于，两点），过点分别作，边的垂线，垂足分别为，，连接，则的最小值是 　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接．
在中，，，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当时，的值最小，
此时的最小值，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】先证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和面积法求出的最小值，即可解决问题．
14．（2024九上·宁波开学考）如图，边长为10的菱形，点E是的中点，点是对角线的交点，矩形的一边在上，且，则的长为　 　．
【答案】2
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：菱形，边长为10，
∴AD=AB=10，AC⊥BD.
∴△AOD是直角三角形.
∵点E是的中点，
∴
四边形为矩形，
，，
∵，
，
，
故答案为：．
【分析】根据菱形的性质得AD=AB=10，AC⊥BD.根据矩形的性质得，，利用直角三角形斜边中线的性质得AE=OE的值，利用勾股定理得AF长，即可得到BG的长.
三、作图题
15．（2024九上·重庆市开学考）在学行四边形与矩形的相关知识后，小明同学进行了关于矩形的判定方法的深入研究，他发现对于一个任意四边形，满足一组对边相等，一组对角是直角，则该四边形是矩形．可利用证明三角形的全等和平行四边形的判定得到此结论，请根据这个思路完成作图和填空．
（1）尺规作图：在四边形中，过点作的垂线，交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接，其中，求证：四边形是矩形．（请补全下面的证明过程）
证明：，①______，
，
，②______，
∴
③______，
四边形是平行四边形
四边形是矩形．
请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：④____________是矩形．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：，①，
，
，②，
∴
③，
四边形是平行四边形
四边形是矩形．
请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：④四边形是矩形．
故答案为：①；②；③；④四边形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的判定；尺规作图-垂线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用”过直线外一点作已知直线的垂线的基本尺规作图“方法步骤进行作图即可；
（2）根据全等三角形判定定理”“证明，由全等三角形对应边相等得得，从而证出四边形ABCE是平行四边形，进而由：有一个角是直角的平行四边形是矩形”可证四边形是矩形．
（1）如图，
（2）证明：，①，
，
，②，
∴
③，
四边形是平行四边形
四边形是矩形．
请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：④四边形是矩形．
故答案为：①；②；③；④四边形．
四、解答题
16．（2023九上·昆明月考）如图，矩形中，垂直平分对角线，．
（1）求证：四边形是菱形，
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：证明：四边形是矩形，
，
，
垂直平分对角线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
（2）解：连接，
垂直平分，
，
，，
，
，
，
，
，
的长是5．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，则，根据垂直平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据垂直平分线性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：证明：四边形是矩形，
，
，
垂直平分对角线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
（2）连接，
垂直平分，
，
，，
，
，
，
，
，
的长是5．
17．（2024九上·宝安期中）如图，四边形ABCD是矩形，点在CD边上，点在DC延长线上，.
（1）下列条件：
①点是CD的中点，②BE平分；③点与点关于直线BE对称.请从中选择一个能证明四边形ABFE是菱形的条件，并写出证明过程
（2）若∠BEF=∠DAE，AE=3，BE=4，求EF的长，
【答案】（1）解：选择条件②
∵BE平分∠ABF，
∴∠EBF＝∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEF＝∠ABE，
∴∠BEF＝∠EBF，
∴BF＝EF
∵AE∥BF，AB∥CD，
∴四边形ABFE是平行四边形
∵BF＝EF，
∴平行四边形ABFE是菱形；
选择条件③
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∵AE∥BF，AB∥CD，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵点A与点F关于直线BE对称，
∴AB＝BF，
∴平行四边形ABFE是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCE＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠DAE+∠DEA＝90°，
∵∠BEF＝∠DAE，
∴∠BEF+∠DEA＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠BEF+∠DEA）＝90°
在Rt△ABE中，AE＝3，BE＝4
四边形 ABFE是平行四边形，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用菱形的判定方法分析求解即可；
（2）先利用角的运算求出∠AEB＝180°﹣（∠BEF+∠DEA）＝90°，再利用勾股定理求出AB的长，最后利用平行四边形的性质可得.
18．（2024九上·深圳开学考）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若菱形的边长为，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，且边长为4，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
由（1）得四边形为矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
∴的长为．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得，，从而得，进而得，，即可得证结论；
（2）根据菱形的性质、 证出是等边三角形，从而得，进而得，然后利用勾股定理求出OC的长，得AC=2OC的长，由（1）中四边形为矩形，得CE=OD的值，∠OCE=90°，最后利用勾股定理求出AE的长.
19．（2024九上·南山开学考）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．
（1）求证：BD=DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．
【答案】（1）证明：∵BD为AC的中线，∠ ABC=90°，
∴BD=AC.
∵AG//BD，
∵FG=BD ，
∴四边形BDFG是平行四边形，
∵点D是AC的中点，
∴DF=AC.
∴BD=DF.
（2）∵四边形BDFG是平行四边形，BD=DF，
∴四边形BDFG为菱形；
（3）解：设GF=x，
∵ AG=13，
∴AF=13-x，
∵四边形BDFG为菱形
∴FD=GF=x，
∴AC=2FD=2x，
∵CF2+ AF2=AC2，CF=6，
∴62+(13-x)2=(2x)2，
解得x=5.
∴ 四边形BDFG的周长 =4x5=20.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证明四边形BDFG中有一组对边平行且相等，可得这个四边形是平行四边形，再两次运用利用直角三角形斜边上的中线性质分别说明BD=AC，DF=AC.于是可得BD=DF.
（2）依据一组邻边相等的平行四边形是菱形说理；
（3）设GF=x，先用x分别表示AC，AF，再利用勾股定理得到关于x的方程求解，接着利用菱形的性质求出周长.
20．（2024九上·长沙开学考） 如图，O为矩形ABCD对角线AC的中点，EF⊥AC于点O，交AD，BC于点E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB=2，BC=4，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△FCO≌△EAO（AAS），
∴CF＝AE，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形.
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝AE＝FC，
设BF＝x，则AF＝FC＝4 x，
在Rt△ABF中，AB＝2，
根据勾股定理得，AB2＋BF2＝AF2，
即4＋x2＝（4 x）2，
解得：x＝1.5，
∴BF＝1.5，
∴AE＝FC＝4 1.5＝2.5．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出△FCO≌△EAO，可得CF＝AE，再结合AD∥BC，证出四边形AFCE是平行四边形，再结合AC⊥EF，即可证出四边形AECF为菱形；
（2）设BF＝x，则AF＝FC＝4 x，利用勾股定理可得AB2＋BF2＝AF2，即4＋x2＝（4 x）2，求出x的值，最后利用线段的和差求出AE的长即可.
五、实践探究题
21．（2024九上·顺德期末） 【作图与探究】如图，在矩形中，．
（1）用尺规作图法作菱形，使点分别在和边上；
（2）求的长度．
【答案】（1）解：如图，菱形即为所求作．
（2）解：设交于点．
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，解得，
，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可求出答案.
（2）设交于点，根据矩形性质可得，再根据勾股定理可得AC=10，则OA=OC=5，设，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据勾股定理可得，则，即可求出答案.
22．（2024九上·清远期末） 在一堂数学课上， 张老师要求同学们在一张长 12 cm 、宽 5 cm 的矩形纸片内折出一个菱形， 甲同学很快想了一个办法， 他将较短的一条边与较长一边重合，展开后得到四边形 (见图 1)； 乙同学按照取两组对边中点的方法折出四边形 (见图 2)； 丙同学也不甘示弱， 他沿矩形的对角线 折出 ，得到四边形 (见图 3). 请解答下列问题：
（1）关于甲、乙两位同学的做法描述正确的是____
A．甲、乙都得到菱形 B．甲、乙都没得到菱形
C．只有甲得到菱形 D．只有乙得到菱形
（2） 证明丙同学得到的四边形 是菱形.
【答案】（1）A
（2）证明：如图3，由折叠得，∠CAE=∠DAC，∠ACF= ∠ACB
∵ADIIBC，
∴∠DAC= ∠ACB
∴∠CAE=∠ACF
∴AEIICF
∵AFIICE
∴四边形AECF是平行四边形
∵∠CAE=∠DAC，∠ACE=∠DAC
∴∠CAE=∠ACE
∴AE=CE，
∴四边形AECF是菱形
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAF=∠B=90°
由折叠得AF=AB，∠AFE=∠B=90°
∵∠B=∠BAF=∠AFE=90°
∴四边形ABEF是矩形
∵AF=AB
∴四边形ABEF是正方形
∴四边形ABEF是菱形
如图2，连接AC、BD
∵E、F、G、H分别是AB、BC，CD、AD的中点
，
∵AC=BD，
∴EF=GH=EH=GF，
∴四边形EFGH是菱形
∴甲、乙都得到菱形
故答案为：A
【分析】（1）甲：根据矩形性质可得∠BAF=∠B=90°，由折叠得AF=AB，∠AFE=∠B=90°，再根据矩形判定定理可得四边形ABEF是矩形，由AF=AB可得四边形ABEF是正方形，再根据菱形判定定理即可；乙：连接AC、BD，再根据三角形中位线定理可得，，再根据边之间的关系可得EF=GH=EH=GF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据折叠性质可得∠CAE=∠DAC，∠ACF= ∠ACB，再根据直线平行性质可得∠DAC= ∠ACB，则∠CAE=∠ACF，再根据平行四边形判定定理可得四边形AECF是平行四边形，再根据角之间的关系可得∠CAE=∠ACE，则AE=CE，再根据菱形判定定理即可求出答案.
六、阅读理解题
23．（2021九上·达州月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.如图（1），已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F.我们称四边形OEMF为四边形ABCD的“伴随四边形”.
（1）若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是　 　，若四边形ABCD矩形，则其“伴随四边形”是：　 　（在横线上填特殊平行四边形的名称）
（2）如图（2），若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME，MF之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）矩形；菱形
（2）解：∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四边形OEMF是平行四边形，
∴OE＝MF，
∴OB+MF＝OB+OE＝BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵ME∥AC，
∴∠EMB＝∠OCB，
∴∠EBM＝∠EMB，
∴EB＝EM，
∴EM＝OB+MF.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四边形OEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴四边形OEMF是矩形；
如图2，
∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四边形OEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC，
∵M是BC边的中点，
∴ME＝ OC，MF＝ OB，
∴ME＝MF，
∴四边形OEMF是菱 形；
故答案为矩形；菱形.
【分析】(1)根据 “伴随四边形”的定义，结合矩形与菱形的性质和判定定理分别解答即可；
(2)根据平行四边形的性质得到OE=MF，根据线段间的和差关系得到OB+MF=BE，再根据平行线的性质，结合等腰三角形的性质得出EB=EM，根据等量代换即可得出结论.
1 / 11.2 矩形的性质与判定-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·邛崃期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023九上·沈阳月考）如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（　　）
A．一组对边平行而另一组对边不平行
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
3．（2024九上·白银期末）在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．（【探究应用新思维】九年级数学微探究 道是无圆却有圆）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，点 E 是AB 边的中点，点 F 是线段 BC 边上的动点，将△EBF 沿 EF 所在直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则 B'D 的最小值是(　　).
B.6
D.4
5．（2024九上·西城开学考）如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·成都期末）如图，将两个矩形叠合放置，如果，那么等于（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九上·昆明开学考）如图，在中，，，于点D，E为的中点，，则（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
8．（2024九上·麒麟开学考）如图，点F是矩形的边上一点，连结，作于点E，且满足，则下列结论中①，②，③，④，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2018九上·深圳期中）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是　 　（添加一个条件即可）．
10．（2024九上·海淀月考）如图，矩形ABCD中，，．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'CD'，使得点B'落在边AD上，此时DB'的长为　 　．
11．（2023九上·潼南月考）如图，在矩形ABCD中，，，作AE平分∠BAD，若连接BF，则BF的长度为　 　。
12．（2024九上·哈尔滨开学考）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝10，BC＝16，则EF的长为　 　.
13．（2024九上·福田期中）如图，在中，，，，点是边上的一点（异于，两点），过点分别作，边的垂线，垂足分别为，，连接，则的最小值是 　 　．
14．（2024九上·宁波开学考）如图，边长为10的菱形，点E是的中点，点是对角线的交点，矩形的一边在上，且，则的长为　 　．
三、作图题
15．（2024九上·重庆市开学考）在学行四边形与矩形的相关知识后，小明同学进行了关于矩形的判定方法的深入研究，他发现对于一个任意四边形，满足一组对边相等，一组对角是直角，则该四边形是矩形．可利用证明三角形的全等和平行四边形的判定得到此结论，请根据这个思路完成作图和填空．
（1）尺规作图：在四边形中，过点作的垂线，交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接，其中，求证：四边形是矩形．（请补全下面的证明过程）
证明：，①______，
，
，②______，
∴
③______，
四边形是平行四边形
四边形是矩形．
请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：④____________是矩形．
四、解答题
16．（2023九上·昆明月考）如图，矩形中，垂直平分对角线，．
（1）求证：四边形是菱形，
（2）若，，求的长．
17．（2024九上·宝安期中）如图，四边形ABCD是矩形，点在CD边上，点在DC延长线上，.
（1）下列条件：
①点是CD的中点，②BE平分；③点与点关于直线BE对称.请从中选择一个能证明四边形ABFE是菱形的条件，并写出证明过程
（2）若∠BEF=∠DAE，AE=3，BE=4，求EF的长，
18．（2024九上·深圳开学考）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若菱形的边长为，，求的长．
19．（2024九上·南山开学考）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．
（1）求证：BD=DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．
20．（2024九上·长沙开学考） 如图，O为矩形ABCD对角线AC的中点，EF⊥AC于点O，交AD，BC于点E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB=2，BC=4，求AE的长．
五、实践探究题
21．（2024九上·顺德期末） 【作图与探究】如图，在矩形中，．
（1）用尺规作图法作菱形，使点分别在和边上；
（2）求的长度．
22．（2024九上·清远期末） 在一堂数学课上， 张老师要求同学们在一张长 12 cm 、宽 5 cm 的矩形纸片内折出一个菱形， 甲同学很快想了一个办法， 他将较短的一条边与较长一边重合，展开后得到四边形 (见图 1)； 乙同学按照取两组对边中点的方法折出四边形 (见图 2)； 丙同学也不甘示弱， 他沿矩形的对角线 折出 ，得到四边形 (见图 3). 请解答下列问题：
（1）关于甲、乙两位同学的做法描述正确的是____
A．甲、乙都得到菱形 B．甲、乙都没得到菱形
C．只有甲得到菱形 D．只有乙得到菱形
（2） 证明丙同学得到的四边形 是菱形.
六、阅读理解题
23．（2021九上·达州月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.如图（1），已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F.我们称四边形OEMF为四边形ABCD的“伴随四边形”.
（1）若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是　 　，若四边形ABCD矩形，则其“伴随四边形”是：　 　（在横线上填特殊平行四边形的名称）
（2）如图（2），若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME，MF之间的数量关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
故答案为：C．
【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，对边平行且相等，逐项进行判断即可求解.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：当四边形ABCD的对角线互相垂直时，四边形为矩形，理由如下：
∵分别是四边形四条边的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
故答案为：C．
【分析】利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，可得，，再根据AC⊥BD，即可得，即可得矩形EFGH.
3．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，故A符合题意；
四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
，四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；
由四边形是平行四边形，，不能判定平行四边形是矩形，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接DE，
∵B'D+B'E≥DE
∴B'D≥DE-B'E，
∴B'D的最小值为DE-B'E，
∴当E，B'，D三点共线时，B'D最小，
∵在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E是AB边的中点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F，
∴
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】将B'D放在△B'DE中，利用三角形的三边关系得出当，B'，D三点共线时，B'D最小，再利用勾股定理求出DB即可求解.
5．【答案】D
【知识点】矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，设边上的高是h，
，
，
，
∵AD=3，
∴h=2，
动点P在与平行且与的距离是2的直线l上，
如图，作点A关于直线l的对称点E，连结，，
∴PA+PB=PE+PB，
∴当P、E、B三点共线时，此时PA+PB的最小值为BE的长，
在中，AB=5，AE=2+2=4，
，
∴的最小值为．
故答案为：D．
【分析】设边上的高是h，根据，利用三角形面积、矩形面积公式得出动点P在与平行且与的距离是2的直线l上，作点A关于直线l的对称点E，连结，，根据轴对称的性质得PA+PB=PE+PB，从而有P、E、B三点共线时，此时PA+PB的最小值为BE的长，然后利用勾股定理求得BE的长，即得求解.
6．【答案】C
【知识点】矩形的性质；直角三角形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图：
∵两个矩形叠合放置，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由题可得，然后根据角的和差求出∠5和∠2的度数即可．
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
在中，
∵E是的中点．
∴（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；
又∵，
∴；
∴，
故答案为：B
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．根据，，，利用等腰三角形的性质可推出，根据垂线的性质可知是直角三角形，在中，利用直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可推出，利用勾股定理可求出AD的长度．
8．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，
，
，
故②正确；
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
故③，④正确；
现有条件不能证明，故①错误，
综上可知，正确的有②，③，④，共3个，
故答案为：C．
【分析】先利用“HL”证出，再利用“AAS”证出，最后利用全等三角形的性质，线段的和差及角的运算方法逐项分析判断即可.
9．【答案】∠ABC=90°或AC=BD．
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】
解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．
故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形或有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行解答即可.
10．【答案】1
【知识点】矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴
由旋转的性质可知
，
∴，
故答案为：1．
【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，利用矩形和旋转的性质，推出，，所以．
11．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】四边形ABCD是矩形，
，BC=AD=4，CD=AB=6，∠BCD=90°，
AE平分∠BAD，
DF=AD=4，
CF=CD-DF=6-4=2，
由勾股定理可得
故答案为： .
【分析】根据矩形的性质得到，BC=AD=4，CD=AB=6，∠BCD=90°，进而得到由角平分线的性质得到从而求得CF的值，最后利用勾股定理即可求解.
12．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：因为DE为△ABC的中位线，∠AFB=90°，所以DE=BC，DF=AB，
因为BC=16，AB=10，
所以DE=×16=8，DF=×10=5，
所以EF=DE-DF=8-5=3，
故填：3．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长度，根据三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）求出DE的长，然后相减即可得到EF的长．
13．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接．
在中，，，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当时，的值最小，
此时的最小值，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】先证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和面积法求出的最小值，即可解决问题．
14．【答案】2
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：菱形，边长为10，
∴AD=AB=10，AC⊥BD.
∴△AOD是直角三角形.
∵点E是的中点，
∴
四边形为矩形，
，，
∵，
，
，
故答案为：．
【分析】根据菱形的性质得AD=AB=10，AC⊥BD.根据矩形的性质得，，利用直角三角形斜边中线的性质得AE=OE的值，利用勾股定理得AF长，即可得到BG的长.
15．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：，①，
，
，②，
∴
③，
四边形是平行四边形
四边形是矩形．
请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：④四边形是矩形．
故答案为：①；②；③；④四边形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的判定；尺规作图-垂线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用”过直线外一点作已知直线的垂线的基本尺规作图“方法步骤进行作图即可；
（2）根据全等三角形判定定理”“证明，由全等三角形对应边相等得得，从而证出四边形ABCE是平行四边形，进而由：有一个角是直角的平行四边形是矩形”可证四边形是矩形．
（1）如图，
（2）证明：，①，
，
，②，
∴
③，
四边形是平行四边形
四边形是矩形．
请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：④四边形是矩形．
故答案为：①；②；③；④四边形．
16．【答案】（1）解：证明：四边形是矩形，
，
，
垂直平分对角线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
（2）解：连接，
垂直平分，
，
，，
，
，
，
，
，
的长是5．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，则，根据垂直平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据垂直平分线性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：证明：四边形是矩形，
，
，
垂直平分对角线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
（2）连接，
垂直平分，
，
，，
，
，
，
，
，
的长是5．
17．【答案】（1）解：选择条件②
∵BE平分∠ABF，
∴∠EBF＝∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEF＝∠ABE，
∴∠BEF＝∠EBF，
∴BF＝EF
∵AE∥BF，AB∥CD，
∴四边形ABFE是平行四边形
∵BF＝EF，
∴平行四边形ABFE是菱形；
选择条件③
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∵AE∥BF，AB∥CD，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵点A与点F关于直线BE对称，
∴AB＝BF，
∴平行四边形ABFE是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCE＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠DAE+∠DEA＝90°，
∵∠BEF＝∠DAE，
∴∠BEF+∠DEA＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠BEF+∠DEA）＝90°
在Rt△ABE中，AE＝3，BE＝4
四边形 ABFE是平行四边形，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用菱形的判定方法分析求解即可；
（2）先利用角的运算求出∠AEB＝180°﹣（∠BEF+∠DEA）＝90°，再利用勾股定理求出AB的长，最后利用平行四边形的性质可得.
18．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，且边长为4，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
由（1）得四边形为矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
∴的长为．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得，，从而得，进而得，，即可得证结论；
（2）根据菱形的性质、 证出是等边三角形，从而得，进而得，然后利用勾股定理求出OC的长，得AC=2OC的长，由（1）中四边形为矩形，得CE=OD的值，∠OCE=90°，最后利用勾股定理求出AE的长.
19．【答案】（1）证明：∵BD为AC的中线，∠ ABC=90°，
∴BD=AC.
∵AG//BD，
∵FG=BD ，
∴四边形BDFG是平行四边形，
∵点D是AC的中点，
∴DF=AC.
∴BD=DF.
（2）∵四边形BDFG是平行四边形，BD=DF，
∴四边形BDFG为菱形；
（3）解：设GF=x，
∵ AG=13，
∴AF=13-x，
∵四边形BDFG为菱形
∴FD=GF=x，
∴AC=2FD=2x，
∵CF2+ AF2=AC2，CF=6，
∴62+(13-x)2=(2x)2，
解得x=5.
∴ 四边形BDFG的周长 =4x5=20.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证明四边形BDFG中有一组对边平行且相等，可得这个四边形是平行四边形，再两次运用利用直角三角形斜边上的中线性质分别说明BD=AC，DF=AC.于是可得BD=DF.
（2）依据一组邻边相等的平行四边形是菱形说理；
（3）设GF=x，先用x分别表示AC，AF，再利用勾股定理得到关于x的方程求解，接着利用菱形的性质求出周长.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△FCO≌△EAO（AAS），
∴CF＝AE，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形.
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝AE＝FC，
设BF＝x，则AF＝FC＝4 x，
在Rt△ABF中，AB＝2，
根据勾股定理得，AB2＋BF2＝AF2，
即4＋x2＝（4 x）2，
解得：x＝1.5，
∴BF＝1.5，
∴AE＝FC＝4 1.5＝2.5．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出△FCO≌△EAO，可得CF＝AE，再结合AD∥BC，证出四边形AFCE是平行四边形，再结合AC⊥EF，即可证出四边形AECF为菱形；
（2）设BF＝x，则AF＝FC＝4 x，利用勾股定理可得AB2＋BF2＝AF2，即4＋x2＝（4 x）2，求出x的值，最后利用线段的和差求出AE的长即可.
21．【答案】（1）解：如图，菱形即为所求作．
（2）解：设交于点．
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，解得，
，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可求出答案.
（2）设交于点，根据矩形性质可得，再根据勾股定理可得AC=10，则OA=OC=5，设，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据勾股定理可得，则，即可求出答案.
22．【答案】（1）A
（2）证明：如图3，由折叠得，∠CAE=∠DAC，∠ACF= ∠ACB
∵ADIIBC，
∴∠DAC= ∠ACB
∴∠CAE=∠ACF
∴AEIICF
∵AFIICE
∴四边形AECF是平行四边形
∵∠CAE=∠DAC，∠ACE=∠DAC
∴∠CAE=∠ACE
∴AE=CE，
∴四边形AECF是菱形
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAF=∠B=90°
由折叠得AF=AB，∠AFE=∠B=90°
∵∠B=∠BAF=∠AFE=90°
∴四边形ABEF是矩形
∵AF=AB
∴四边形ABEF是正方形
∴四边形ABEF是菱形
如图2，连接AC、BD
∵E、F、G、H分别是AB、BC，CD、AD的中点
，
∵AC=BD，
∴EF=GH=EH=GF，
∴四边形EFGH是菱形
∴甲、乙都得到菱形
故答案为：A
【分析】（1）甲：根据矩形性质可得∠BAF=∠B=90°，由折叠得AF=AB，∠AFE=∠B=90°，再根据矩形判定定理可得四边形ABEF是矩形，由AF=AB可得四边形ABEF是正方形，再根据菱形判定定理即可；乙：连接AC、BD，再根据三角形中位线定理可得，，再根据边之间的关系可得EF=GH=EH=GF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据折叠性质可得∠CAE=∠DAC，∠ACF= ∠ACB，再根据直线平行性质可得∠DAC= ∠ACB，则∠CAE=∠ACF，再根据平行四边形判定定理可得四边形AECF是平行四边形，再根据角之间的关系可得∠CAE=∠ACE，则AE=CE，再根据菱形判定定理即可求出答案.
23．【答案】（1）矩形；菱形
（2）解：∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四边形OEMF是平行四边形，
∴OE＝MF，
∴OB+MF＝OB+OE＝BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵ME∥AC，
∴∠EMB＝∠OCB，
∴∠EBM＝∠EMB，
∴EB＝EM，
∴EM＝OB+MF.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四边形OEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴四边形OEMF是矩形；
如图2，
∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四边形OEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC，
∵M是BC边的中点，
∴ME＝ OC，MF＝ OB，
∴ME＝MF，
∴四边形OEMF是菱 形；
故答案为矩形；菱形.
【分析】(1)根据 “伴随四边形”的定义，结合矩形与菱形的性质和判定定理分别解答即可；
(2)根据平行四边形的性质得到OE=MF，根据线段间的和差关系得到OB+MF=BE，再根据平行线的性质，结合等腰三角形的性质得出EB=EM，根据等量代换即可得出结论.
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