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2.2基本不等式 同步练习
学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________
一、单选题
1．已知，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
2．已知，且，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，那么的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．7
10．已知正数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．若,满足,则（ ）
A． B． C． D．
12．下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，，则
D．若，，，则
三、填空题
13．已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 .
14．已知，，且，则的最大值为 .
15．已知，，且，则的最小值 .
16．若实数，满足，则的最大值为 .
四、解答题
17．已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：
(1)xy的最大值；
(2)2x＋y的最小值．
18．已知，且.
（1）求的最小值；
（2）求的最大值，并求取得最大值时的取值.
19．如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米.
（1） 要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？
（2） 当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由，则，，
所以
，
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为6.
故选C.
2．【答案】D
【详解】因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9，
故选D
3．【答案】B
【详解】已知，，，
则，
当且仅当 时，即当，且，等号成立，
故的最小值为，
故选．
4．【答案】B
【详解】，当且仅当时取等号，
所以.
故选B
5．【答案】A
【详解】结合，和充分，必要条件的概念求解即可.
【详解】解：当，由于，，故充分性成立；
当，不妨设，成立，不成立，故必要性不成立.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6．【答案】C
【详解】由，得，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是3.
故选C.
7．【答案】A
【详解】因为，，且，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，解得（舍去），或，
所以，当且仅当，即时取等号，
即的取值范围是，
故选A
8．【答案】C
【详解】解法一：设，得，
代入得，．
因为方程有解，所以，
解得.
解法二：，
，当且仅当时，等号成立.
故选C．
9．【答案】D
【详解】，
当且仅当,即取等号．
故选D．
10．【答案】B
【详解】因为正数、满足，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为．
故选C.
11．【答案】BC
【详解】对于，：由，得，而，所以，即，所以，所以不正确，正确；
对于，由，得，当且仅当时等号成立，所以，所以正确；当，时，，所以不正确.故选.
12．【答案】BCD
【详解】对于选项A：若，取，但，故A错误；
对于选项B：若，则，
可得，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于选项C：若，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于选项D：若，，，
则，，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确；
故选BCD.
13．【答案】8
【详解】由，
因为，，所以有，
当且仅当时取等号，
所以有.
14．【答案】8
【详解】因为，，且，所以，故，
当且仅当等号成立，所以的最大值为8.
15．【答案】5
【详解】因为，，且，
所以
，
当且仅当，即时取“”.
16．【答案】
【详解】由，得，
设，其中，则，
从而，
故
记，则，
要求最大值，则只需考虑，则,
当且仅当，即时取等号，即最大值为.
17．【答案】(1)因为x>0，y>0，
根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)，
令＝t(t>0)，则t2＋2t－30≤0，
解得－5≤t≤3，又t>0，
所以0所以0(2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝>0,0当且仅当2(x＋2)＝，即x＝2时取等号，
所以2x＋y的最小值为11．
18．【答案】（1）4
（2），，
【详解】（1）解：，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4.
（2）解：，
因为，所以，所以，
当即时，取得最大值.
19．【答案】
（1） 【解】设米,米，则由与相似得，整理得，
矩形的面积，即，
当时，得，整理得，解得或，
又，所以的长的范围为.
（2） 时，，
当且仅当,即时等号成立，
所以，
所以当的长为2米时，矩形花坛的面积最小，最小值为24平方米.
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