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承德市2024—2025学年高一下学期期末调研试题数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A． B． C． D．
2．在中，设，，若点D满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则l与α所成的角为（ ）
A． B． C． D．
6．用斜二测画法画出的四边形OABC的直观图如图中的四边形，其中，，，则原四边形OABC以OC所在直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体的体积为（ ）
A． B． C． 19π
7．在中，已知，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
8．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面ABCD是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．是奇函数
C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减
10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．M为的外心
C．若，则的面积是面积的
D．若，且，则为等边三角形
11．如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的动点，F是棱AB上的动点，过点，C，F作正方体的截面α，则（ ）
A．存在点E，使得平面
B．三棱锥的体积是定值
C．截面α的形状为梯形
D．当截面α的面积取得最小值时，F为AB的中点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，，，若，则_______．
13．已知，，则_______．
14．如图，在平面四边形ABCD中，，，将沿直线BD翻折至，使得，则三棱锥P-ABD外接球的表面积为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．
16．（15分）如图，在正四棱台中，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离．
17．（15分）如图，在长方形ABCD中，，，M是边CD的中点，将沿直线AM翻折至，使得，连接PB，PC，得到四棱锥P-ABCM．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
18．（17分）已知向量，，且
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）若，且，求的值；
（Ⅲ）若函数在区间上有三个不同的零点，从小到大依次记为，，，求的值．
19．（17分）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条射线，，分别为与Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．
（Ⅰ）若，在仿射坐标系中，，，求；
（Ⅱ）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求；
（Ⅲ）如图，在仿射坐标系中，点B，C分别在射线Ox、射线Oy上（均与点O不重合），，，E，F分别为BD，BC的中点，求的最大值．

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