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条件概率与全概率公式
知识点一 条件概率
（一）定义
一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．读作发生的条件下发生的概率．
注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．
（二）性质
（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．
（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．
（3）如果与互斥，则．
注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；
（2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．
（三）计算方法
（1）利用定义计算：先分别计算概率和，然后代入公式即可．
（2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，则．
【题型一】条件概率（表述特征为：已知xxxx，或假设xxxxx）
【例1】甲 乙两人到一商店购买饮料，分别从加多宝 农夫山泉 雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件“甲选择农夫山泉”，事件“甲和乙选择的饮品不同”，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】事件“甲选择农夫山泉”，则
事件“甲和乙选择的饮品不同”，
则事件=“甲选择农夫山泉，乙选择的是加多宝或者雪碧”
所以所以，故选：D
【例2】王丽生了两个小孩，生男孩和生女孩的概率相同，现已知其中一个为男孩，问另一个为女孩的概率是 。
【详解】A为有一个是男孩，B为一男一女，则。
变式1 端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒．现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个均为豆沙馅”，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意不妨设2个蜜枣馅为：A，B，3个为腊肉馅为：a,b,c，4个为豆沙馅：1，2，3，4，则事件A为“取到的两个为同一种馅”，对应的事件为:AB,ab,ac,bc,12,13,14,23,24,34,所以，
事件AB为“取到的两个为同一种馅，均为豆沙馅”，对应的事件为：12,13,14,23,24,34,所以，
所以，故选：C
变式2 现有甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了中山陵”，则____________.
【详解】甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，共有种不同的方案，
事件，“4个人去的景点各不相同”的方案有：种，
事件，“只有甲去了中山陵”的方案有种，
事件同时发生的方案有：种，
，
所以故答案为：
知识点二 相互独立与条件概率的关系
（一）相互独立事件的概念及性质
（1）相互独立事件的概念
对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．
由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．
（2）概率的乘法公式
由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．
（3）相互独立事件的性质
如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．
（4）两个事件的相互独立性的推广
两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．
（二）事件的独立性
（1）事件与相互独立的充要条件是．
（2）当时，与独立的充要条件是．
（3）如果，与独立，则成立．
【题型二】相互独立事件的判断
【例3】若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥 B．事件与对立
C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立
【解析】∵，
∴，
∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.故选：C
【例4】（多选题）在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（ ）
A． B．A与相互独立
C． D．
【答案】ABD
【详解】A选项，A与互斥，故，，则包含事件，故，A正确；
B选项，，
即，故，
故，A与相互独立，B正确；
C选项，A与互斥，故与互斥，故，C错误；
D选项，
因为，故，D正确.
故选：ABD
变式3（多选题）事件A，B的概率分别为：，，则（ ）
A．若A，B为互斥事件，
B．
C．若A，B相互独立，
D．若，则A，B相互独立
【答案】AD
【详解】选项A：若A，B为互斥事件，则，
所以，故A正确；
选项B：，故B错误；
选项C：若A，B相互独立，
所以，故C错误；
选项D：因为，
所以，则A，B相互独立，故D正确；
故选：AD.
【例5】袋内有个白球和个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为，“第二次摸得黑球”记为，那么事件与，与间的关系是（ ）
A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立
【解析】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故与，与C均相互独立．而与，与均能同时发生，从而不互斥．
方法二：标记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，全体样本点为，
用古典概型概率计算公式易得．而事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以，所以与相互独立：同理，事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，，所以与相互独立．故选:A．
变式4 袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球上数字是1”，表示事件“第二次取出的球上数字是2”，表示事件“两次取出的球上数字之和是5”，表示事件“两次取出的球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
【解析】由题意可得：,
有放回的随机取两次，每次取1个球，两次取出的球上数字之和是5的情况有 共4种，所以;
两次取出的球上数字之和是6的情况有共3种，故,
对于A, ,则，
故与不是相互独立事件，故A错误；
对于B, ,则,
故A与不是相互独立事件，故B错误；
对于C, ,则，
故与是相互独立事件，故C正确；
对于D, ,则，
故C与D不是相互独立事件，故D错误；故选：C
知识点三 全概率公式
（一）全概率公式（由因求果）
（1）；
（2）定理 若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，.
则对中的任意事件，都有，且
.
证明：如下图所示， 因为事件中有且只有一个与事件B同时发生，其中互斥，即，显然也互不相容.
所以由概率的加法公式和概率的乘法公式得：
即得到全概率公式：
注：（1）内涵：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题.我们认真分析定理中的已知条件后，将所研究事件的试验结果视为，而导致事件发生的若干不同的假设情况也可以理解为各种原因视为，而且只有发生了才有事件的发生，那么全概率公式做出了由因求果的推断.
（2）关键点：什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.
合理选择，易求.
【题型三】全概率公式及其应用
【例6】若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，
则，，，，
故所求概率．故选：A.
【例7】设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】由可知，
又可得，
由可得，所以A错误；
由可知，，所以B正确；
由条件概率公式可得，即C正确；
又可得，同理，即D错误.
故选：BC
变式5 某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是．从开关第一次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，那么第二次闭合后出现红灯的概率是____________．
【详解】记第一次闭合后出现红灯为事件，则第一次出现绿灯为事件，第二次闭合后出现红灯为事件，出现绿灯为，
，，，
所以．故答案为：．
变式6 （多选题）在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
【答案】BCD
【详解】对于A，A与B相互独立，则，
，A错误；
对于B，，，
所以，B正确；
对于C，因为A与C互斥，所以，则，
所以，C正确；
对于D，显然，即，
由，得，
解得，D正确；故选：BCD.
【例8】省教育厅陆续召开了高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲 乙 丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲 丙两名同学都解答错误的概率是，乙 丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立.
（1）求乙 丙两名同学各自成功解出这道题的概率；
（2）求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率.
【答案】(1)和; (2).
【详解】（1）设甲 乙 丙三名同学各自成功解出该道题分别为事件.
因为，所以.
又，所以，即.
又，所以，
即乙 丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为和.
（2）设这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件，
则，
所以这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为.
变式7 鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼的保质期一般在三至四天.据统计，某超市一天鲜花饼卖出3箱的概率为，卖出箱的概率为，卖出箱的概率为，没有卖出的概率为，为了保证顾客能够买到新鲜的鲜花饼，该超市规定当天结束营业后检查货架上存货，若卖出箱及以上，则需补货至箱，否则不补货.假设第一天该超市开始营业时货架上有箱鲜花饼.
(1)在第一天结束营业后货架上有箱鲜花饼的条件下，求第二天结束营业时货架上有箱存货的概率；
(2)求第二天结束营业时货架上有箱存货的概率.
【详解】（1）设事件：“第二天开始营业时货架上有箱鲜花饼”，事件：“第二天开始营业时货架上有箱鲜花饼”，，事件：“第二天结束营业时货架上有箱存货”，
因为第一天结束营业后货架上有箱鲜花饼，故第二天只卖出箱，故；
（2）由题意，，，
由全概率公式得.
【例9】设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CC
【详解】甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为，，
则甲、乙两人每次未投进篮球的概率分别为，，
根据题意，前4次中甲恰好投篮3次的情况为
第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮，其概率为；
第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮，其概率为；
第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮，其概率为；
第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次乙投篮，其概率为.
则前4次中甲恰好投篮3次的概率为.
故选：C.
变式8 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，
则甲最终获胜的概率为
.
故选：D.
（二）贝叶斯公式（执果求因）
(1)一般地，当且时，有
(2)定理 若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，.
则对中的任意概率非零的事件，都有，
且
注：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.
（2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系．
【题型四】贝叶斯公式及其应用
【例10】有3台车床加工同一型专的零件，第1台加工的次品率为6%，第2 3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1 2 3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第1台车床加工的概率为___________.
【详解】记为事件“零件为第（）台车床加工，为事件“任取一个零件为次品”，则
所以
所以.故答案为：.
【例11】（多选）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 存在如下关系：.某高校有甲 乙两家餐厅，王同学第一天去甲 乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
【答案】AC
【解析】设:第一天去甲餐厅，:第二天去甲餐厅，:第一天去乙餐厅，:第二天去乙餐厅，
所以，，，
因为，
所以，
所以有,
因此选项A正确, ，因此选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
，所以选项D不正确，
故选：AC
变式9 设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分、、．现从这三个地区任抽取一个人．
(1)求此人感染此病的概率；（结果保留三位小数）
(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．（结果保留三位小数）．
【详解】（1）设事件表示“来自第i个地区，”；事件B表示“感染此病”．
所以，，，
所以，，．
；
变式10 某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有的学生每天阅读时间超过小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占.现从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设写作能力被评为优秀等级为事件，每天阅读时间超过小时为事件，
则，，；
，
，
即从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为.
故选：B.
概率知识点总结
一、古典概型
问法：求事件发生的概率。
特征：注意样本容量中的所有的基本事件（不可拆分的子事件）是等概率发生的，
公式：；其中：是样本容量，即列出的所有的事件的情况数；：是指满足条件的情况数；
二、条件概率
问法：
在事件发生的条件下，求事件发生的概率；
事件已经发生，求事件发生的概率；
特征：计算方法基于古典概型，需要找出样本空间中的所有情况。
公式：
；其中为事件同时发生的概率，
①若互为独立事件（互相不影响），则；
②若不是独立事件，则把事件同时发生当做一个新的 事件，用古典概型的方法，从样本空间中求事件发生的概率；
（2）；缩小样本容量法：把样本空间缩小为事件发生的所有情况，再从中找出 事件发生的情况数；
三、全概率（由因求果）
问法：等同于古典概型，也是求事件发生的概率。
特征：存在一个与事件关联的事件，且事件必须是在事件之前先发生的，又或事件是导致 事件的发生的原因，且，这个时候需要分类讨论，找出所有的原因，且并 求和，这里需要注意的是不能忽略原因发生的概率。
公式：
①其中是指两个事件同时发生，一般情况下，与互为独立事件；
②是该种情况发生的概率；
③是指在发生的前提下，事件发生的概率；
四、贝叶斯（执果求因）
问法：等同于条件概率，会先假设一个场景即事件发生了，再求事件发生的概率。
特征：结果（事件）已经发生了，求某个原因（事件）导致的概率；或者后发生的事情已经发生 了，求先前的某个事件发生的概率；
公式：
①其中是指两个事件同时发生，一般情况下，与互为独立事件；
②是该种情况发生的概率；
③是指在发生的前提下，事件发生的概率；
课后作业
1．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片， 现有 20 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块， 且乙生产该芯片的次品率为， 现从这 20 块芯片中任取一块芯片， 若取得芯片的次品率为， 则甲厂生产该芯片的次品率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，
甲厂生产该芯片的次品率为，
则，，，，
则由全概率公式得：，解得，故选：B．
2．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
【解析】（1）设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”．
．
（2）．
3．（多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．，，两两互斥
【答案】AD
【解析】因为事件，和任意两个都不能同时发生，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；
因为，，，，故A正确；
，，
，因为，，所以，所以与不是相互独立事件，故B，C不正确．
故选：AD．
4．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是__________.
①事件，相互独立；②；③；④；⑤．
【答案】③④⑤
【解析】依题意，，和是两两互斥事件，
，，
又，①②错误；
又，，
，③④正确；
，⑤正确；
故答案为：③④⑤.
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条件概率与全概率公式
知识点一 条件概率
（一）定义
一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．读作发生的条件下发生的概率．
注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．
（二）性质
（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．
（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．
（3）如果与互斥，则．
注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；
（2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．
（三）计算方法
（1）利用定义计算：先分别计算概率和，然后代入公式即可．
（2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，则．
【题型一】条件概率（表述特征为：已知xxxx，或假设xxxxx）
【例1】甲 乙两人到一商店购买饮料，分别从加多宝 农夫山泉 雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件“甲选择农夫山泉”，事件“甲和乙选择的饮品不同”，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】事件“甲选择农夫山泉”，则
事件“甲和乙选择的饮品不同”，
则事件=“甲选择农夫山泉，乙选择的是加多宝或者雪碧”
所以所以，故选：D
【例2】王丽生了两个小孩，生男孩和生女孩的概率相同，现已知其中一个为男孩，问另一个为女孩的概率是 。
【详解】A为有一个是男孩，B为一男一女，则。
变式1 端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒．现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个均为豆沙馅”，则（ ）
A． B． C． D．
变式2 现有甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了中山陵”，则____________.
知识点二 相互独立与条件概率的关系
（一）相互独立事件的概念及性质
（1）相互独立事件的概念
对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．
由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．
（2）概率的乘法公式
由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．
（3）相互独立事件的性质
如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．
（4）两个事件的相互独立性的推广
两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．
（二）事件的独立性
（1）事件与相互独立的充要条件是．
（2）当时，与独立的充要条件是．
（3）如果，与独立，则成立．
【题型二】相互独立事件的判断
【例3】若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥 B．事件与对立
C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立
【解析】∵，
∴，
∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.故选：C
【例4】（多选题）在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（ ）
A． B．A与相互独立
C． D．
【答案】ABD
【详解】A选项，A与互斥，故，，则包含事件，故，A正确；
B选项，，
即，故，
故，A与相互独立，B正确；
C选项，A与互斥，故与互斥，故，C错误；
D选项，
因为，故，D正确.
故选：ABD
变式3（多选题）事件A，B的概率分别为：，，则（ ）
A．若A，B为互斥事件，
B．
C．若A，B相互独立，
D．若，则A，B相互独立
【例5】袋内有个白球和个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为，“第二次摸得黑球”记为，那么事件与，与间的关系是（ ）
A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立
【解析】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故与，与C均相互独立．而与，与均能同时发生，从而不互斥．
方法二：标记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，全体样本点为，
用古典概型概率计算公式易得．而事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以，所以与相互独立：同理，事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，，所以与相互独立．故选:A．
变式4 袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球上数字是1”，表示事件“第二次取出的球上数字是2”，表示事件“两次取出的球上数字之和是5”，表示事件“两次取出的球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
知识点三 全概率公式
（一）全概率公式（由因求果）
（1）；
（2）定理 若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，.
则对中的任意事件，都有，且
.
证明：如下图所示， 因为事件中有且只有一个与事件B同时发生，其中互斥，即，显然也互不相容.
所以由概率的加法公式和概率的乘法公式得：
即得到全概率公式：
注：（1）内涵：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题.我们认真分析定理中的已知条件后，将所研究事件的试验结果视为，而导致事件发生的若干不同的假设情况也可以理解为各种原因视为，而且只有发生了才有事件的发生，那么全概率公式做出了由因求果的推断.
（2）关键点：什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.
合理选择，易求.
【题型三】全概率公式及其应用
【例6】若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，
则，，，，
故所求概率．故选：A.
【例7】设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】由可知，
又可得，
由可得，所以A错误；
由可知，，所以B正确；
由条件概率公式可得，即C正确；
又可得，同理，即D错误.
故选：BC
变式5 某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是．从开关第一次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，那么第二次闭合后出现红灯的概率是____________．
变式6 （多选题）在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
【例8】省教育厅陆续召开了高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲 乙 丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲 丙两名同学都解答错误的概率是，乙 丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立.
（1）求乙 丙两名同学各自成功解出这道题的概率；
（2）求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率.
【答案】(1)和; (2).
【详解】（1）设甲 乙 丙三名同学各自成功解出该道题分别为事件.
因为，所以.
又，所以，即.
又，所以，
即乙 丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为和.
（2）设这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件，
则，
所以这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为.
变式7 某超市一天鲜花饼卖出3箱的概率为，卖出箱的概率为，卖出箱的概率为，没有卖出的概率为，为了保证顾客能够买到新鲜的鲜花饼，该超市规定当天结束营业后检查货架上存货，若卖出箱及以上，则需补货至箱，否则不补货.假设第一天该超市开始营业时货架上有箱鲜花饼.
(1)在第一天结束营业后货架上有箱鲜花饼的条件下，求第二天结束营业时货架上有箱存货的概率；
(2)求第二天结束营业时货架上有箱存货的概率.
【例9】设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CC
【详解】甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为，，则甲、乙两人每次未投进篮球的概率分别为，，
根据题意，前4次中甲恰好投篮3次的情况为
第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮，其概率为；
第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮，其概率为；
第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮，其概率为；
第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次乙投篮，其概率为.
则前4次中甲恰好投篮3次的概率为，故选：C.
变式8 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
（二）贝叶斯公式（执果求因）
(1)一般地，当且时，有
(2)定理 若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，.
则对中的任意概率非零的事件，都有，且
注：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系．
【题型四】贝叶斯公式及其应用
【例10】有3台车床加工同一型专的零件，第1台加工的次品率为6%，第2 3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1 2 3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第1台车床加工的概率为___________.
【详解】记为事件“零件为第（）台车床加工，为事件“任取一个零件为次品”，
则
所以
所以.故答案为：.
【例11】（多选题）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 存在如下关系：.某高校有甲 乙两家餐厅，王同学第一天去甲 乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
【答案】AC
【解析】设:第一天去甲餐厅，:第二天去甲餐厅，:第一天去乙餐厅，:第二天去乙餐厅，
所以，，，
因为，
所以，
所以有,
因此选项A正确, ，因此选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
，所以选项D不正确，
故选：AC
变式9 设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分、、．现从这三个地区任抽取一个人．
(1)求此人感染此病的概率；（结果保留三位小数）
(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．（结果保留三位小数）．
变式10 某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有的学生每天阅读时间超过小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占.现从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为（ ）
A． B． C． D．
概率知识点总结
一、古典概型
问法：求事件发生的概率。
特征：注意样本容量中的所有的基本事件（不可拆分的子事件）是等概率发生的，
公式：；其中：是样本容量，即列出的所有的事件的情况数；：是指满足条件的情况数；
二、条件概率
问法：
在事件发生的条件下，求事件发生的概率；
事件已经发生，求事件发生的概率；
特征：计算方法基于古典概型，需要找出样本空间中的所有情况。
公式：
；其中为事件同时发生的概率，
①若互为独立事件（互相不影响），则；
②若不是独立事件，则把事件同时发生当做一个新的 事件，用古典概型的方法，从样本空间中求事件发生的概率；
（2）；缩小样本容量法：把样本空间缩小为事件发生的所有情况，再从中找出 事件发生的情况数；
三、全概率（由因求果）
问法：等同于古典概型，也是求事件发生的概率。
特征：存在一个与事件关联的事件，且事件必须是在事件之前先发生的，又或事件是导致 事件的发生的原因，且，这个时候需要分类讨论，找出所有的原因，且并 求和，这里需要注意的是不能忽略原因发生的概率。
公式：
①其中是指两个事件同时发生，一般情况下，与互为独立事件；
②是该种情况发生的概率；
③是指在发生的前提下，事件发生的概率；
四、贝叶斯（执果求因）
问法：等同于条件概率，会先假设一个场景即事件发生了，再求事件发生的概率。
特征：结果（事件）已经发生了，求某个原因（事件）导致的概率；或者后发生的事情已经发生 了，求先前的某个事件发生的概率；
公式：
①其中是指两个事件同时发生，一般情况下，与互为独立事件；
②是该种情况发生的概率；
③是指在发生的前提下，事件发生的概率；
课后作业
1．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片， 现有 20 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块， 且乙生产该芯片的次品率为， 现从这 20 块芯片中任取一块芯片， 若取得芯片的次品率为， 则甲厂生产该芯片的次品率为（ ）
A． B． C． D．
2．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
3．（多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．，，两两互斥
4．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是__________.
①事件，相互独立；②；③；④；⑤．
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