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21.6 综合与实践 获取最大利润
年 级：九年级 学 科：数学（沪科版）
二次函数y=ax +bx+c（a ）性质
二次函数学习内容回顾
≠0
对称轴：
当
顶点：
时，y最值
=
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
情境引入
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
其中C表示生产 t台收音机的总成本，当t=0时
一个制造商制造一种产品，它的成本可以分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品 建造厂房 购置设备 培训工人等费用，如果没有更换产品，我们将它看为常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力 材料 包装 运输等费用。例如，生产一种收音机的成本（单位：元）可以近似的表述为C=120t+1000①
C成本=120×0+1000=1000
1000元是固定成本，由此可知①式中120t表示可变成本
P利润=R年总收入-C成本
制造商出售产品得到的年总收入等于出售产品的年销售量 t 和产品的销售单价 x 的乘积，设R表示年总收入，则
∴ P利润=R-C=t·x-c ③
R年总收入=t ·x ②
制造商的年利润是出售产品的年收入和生产这些产品的总成本之间的差额，通常设为 p 表示年利润
当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降。假设某市场分析专家提供了下列数据
数学活动1
销售单价x/元 50 100 150 300
年销售量t/件 5000 4000 3000 0
设生产t件该产品的成本为 C=50t+1000
C=50t+1000
销售单价x/元 50 100 150 300
年销售量t/件 5000 4000 3000 0
(1)在下图中，描出上述表格中各组数据对应的点
4000
1000
2000
3000
5000
50
100
150
200
250
300
x/元
t/件
O
C=50t+1000
销售单价x/元 50 100 150 300
年销售量t/件 5000 4000 3000 0
（2）描出的这些点在一条直线吗？求t和x之间的函数关系式
解：由右图可知：
这些点在一条直线上，
设函数的解析式为：
t=kx+b
任意选取两点代入
求得：k=-20,b=6000
∴t=-20x+6000
4000
1000
2000
3000
5000
50
100
150
200
250
300
x/元
t/件
O
·
·
·
·
C=50t+1000
销售单价x/元 50 100 150 300
年销售量t/件 5000 4000 3000 0
（3）销售单价x和年销售量t各为多少时，年利润P最大？
解：∵R年总收入=t ·x
∴R年总收入=(-20x+6000) ·x
∴P利润=R年总收入-C成本=t·x-c
∴P利润=(-20x+6000) ·x -(50t+1000)
=-20x +6000x-50(-20x+6000)-1000
=-20x +7000x-301000
由公式可得：当 x= 时 即x=175, P最大 =
∴t=-20x+6000=2500
P=311500元
例：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？
解：由题意得：当40≤x≤50时，
Q = 60(x－30)= 60x－1800
∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大
∴当x最大= 50时，Q最大= 1200
答：此时每月的总利润最多是1200元.
例：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
解：当50≤x≤70时，
设y与x函数关系式为y=kx+b,
∵线段过(50，60)和(70，20).
∴
50k+b=60
70k+b=20
解得：
k =－2
b = 160
∴y =－2x +160（50≤x≤70）
例：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
∴Q=(x－30)y
=(x－30)(－2x + 160)
=－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70)
∵a = －2＜0，图象开口向下，
∴当x = 55时，Q最大= 1250
∴售价x是55元时，获利最大， 最大利润是1250元.
例：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？
解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218
当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218
∴售价x应在50~70元之间.
∴令：－2(x－55)2 +1250=1218
解得：x1=51，x2=59
当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件)
当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件)
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.
设生产t件某种电子产品的成本（单位：元）可以近似的表示为：
制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组数据
数学活动2
C=1000t+2 000 000
年销售量t/件 750 3000 5096 8500 9417
销售单价x/元 3850 3400 3000 2300 2100
（1）在图中，描出上述表格中各组数据对应的点
设生产t件某种电子产品的成本（单位：元）可以近似的表示为：
制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组数据
数学活动2
C=1000t+2 000 000
年销售量t/件 750 3000 5096 8500 9417
销售单价x/元 3850 3400 3000 2300 2100
（2）假如该企业高薪聘你，请你分析，当年销售量t和销售单价 x 分别是多少时，年利润 P 最大？并说说你有几种求解方法？与同学进行交流.
请同学们发散思维
年销售量t/件 750 3000 5096 8500 9417
销售单价x/元 3850 3400 3000 2300 2100
解：通过图像可以观察：这些点几乎在一条直线上，不妨设解析式为：x=kt+b
将点（3000，3400）和点（8500，2300）代入x=kt+b中可得
∵R年总收入=t ·x
∴P利润=R年总收入-C成本=t·x-c
由公式 t=- 时，t=7500
∴ x=2500
= 9250000
年销售量t/件 750 3000 5096 8500 9417
销售单价x/元 3850 3400 3000 2300 2100
解：通过图像可以观察：这些点几乎在一条直线上，不妨设解析式为：x=kt+b
将点（3000，3400）和点（8500，2300）代入x=kt+b中可得
∵R年总收入=t ·x
∴P利润=R年总收入-C成本=t·x-c
由公式 t=- 时，t=7500
∴ x=2500
= 9250000
课堂小结
最大利润问题
建立函数关系式
确定自变量取值范围
确定最大利润
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.
涨价:要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0.
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
谢谢观看

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