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函数周期性与对称性
一、函数的周期性（同为周期则相减）
（1）若，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
若，则
若，则
若，则
若，则
若，则
二、函数的对称性（异为对称则相加除2）
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于对称．
(5)若，则函数关于对称．
(6)若，则函数关于对称．
三、函数的对称性与周期性的转换--借助波浪图理解记忆
(1)若函数同时关于，对称则函数的周期
(2)若函数同时关于，对称则函数的周期
(3)若函数同时关于，对称则函数的周期
(4)若偶函数关于对称则函数的周期
(5)若奇函数关于对称则函数的周期
函数周期性与对称性默写模板
一、函数的周期性（同为周期则相减）
1.若，则
2.若，则
3.若，则
4.若，则
5.若，则
二、函数的对称性（异为对称则相加除2）
(1)若函数为偶函数，则函数关于 对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于 对称．
(3)若，则函数关于 对称．
(4)若，则函数关于 对称．
(5)若，则函数关于 对称．
(6)若，则函数关于 对称．
口诀：同为周期则相减，异为对称则相加除2；y相等为轴对称，y相加为中心对称；将复合函数的对称性带入内函数，即为外函数的对称性。
三、函数的对称性与周期性的转换--借助波浪图理解记忆
(1)若函数同时关于，对称则函数的周期 。
(2)若函数同时关于，对称则函数的周期 。
(3)若函数同时关于，对称则函数的周期 。
(4)若偶函数关于对称，则函数的周期 。
(5)若奇函数关于对称，则函数的周期 。
周期性与对称性练习
若函数为奇函数，且，则周期 。
若函数为偶函数，且，则周期 。
若函数为偶函数，且，则周期 。
若函数为奇函数，且，则周期 。
若，且，则周期 。
若，且，则周期 。
若，且，则周期 。
若函数为奇函数，且函数为偶函数，则周期 。
若函数为奇函数，且，则周期 。
若函数为偶函数，且，则周期 。
若函数为偶函数，且，则周期 。
【例1】若函数为奇函数，且，当，画出的的函数图像。并求
【例2】若函数为偶函数，且，当，画出的的函数图像。并求 1
变式 1若函数为偶函数，且，当，画出的的函数图像。并求 0
变式 2，且，当，画出的的函数图像。并求
应用
【例3】 已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的图象关于直线对称
C．是奇函数 D．的图象关于点对称
【答案】C
【详解】由可得2是函数的周期，
因为是奇函数，所以函数的图象关于点对称，
所以，，所以是奇函数，故选：C.
【例4】已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
【答案】C
【详解】因为函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，即函数为奇函数；
因为对任意，都有，令，得，又函数为奇函数，故，解得，则，即，所以4是函数的一个周期；
所以.故选：C.
变式3已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，因此函数的周期为，
所以，
又函数是上的奇函数，所以，
所以，即，
所以原式，
又当时，，可得，因此原式.故选：B．
变式4 已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为对任意，都有
令 得 解得
则 即
所以函数的图象关于直线对称.
又函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，
即函数为奇函数，所以
所以 所以8是函数的一个周期，
所以，故选：D.
【例5】已知定义在上的函数满足为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据以及为偶函数即可得出，并且可得出,根据在内单调递减即可得结果.
【详解】，
的周期为6，
又为偶函数，
，
，
,
，
又在内单调递减，
， ，故选A.
【例6】已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【详解】因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，
又函数为偶函数，所以，
所以函数是周期为2的函数，
又的图象也关于直线对称，
作出函数与在区间上的图象，如图所示：
由图可知，函数与的图象在区间上有8个交点，且关于直线对称，
所以方程在区间上所有解的和为，
故选：A.
变式5 已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由函数的图象关于直线对称可得，结合奇函数的性质可知，.
由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增，
所以，所以.故选：C
变式6定义在上的奇函数满足，且当时，，则方程在上的所有根的和为（ ）
A． B． C． D．
【详解】函数为奇函数，所以，则的对称轴为：，
由知函数周期为8，作出函数图像如下：
在上的所有根等价于函数与图像的交点，交点横坐标按如图所示顺序排列， 因为，，所以两图像在y轴左侧有504个交点，在y轴右侧有506个交点，
故选：D
【例7】已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“函数”．
（1）判断函数是否是“函数”；
（2）若是一个“函数”，求出所有满足条件的有序实数对；
（3）若定义域为R的函数是“函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当x[0,1]时，的值域为[1,2]，求当x[2016,2016]时函数的值域．
【答案】（1）函数不是“函数”，函数是“函数”；
（2）；；（3）.
【详解】（1） 若是“函数”,则存在常数,使得
即时,对恒成立．而最多有两个解,矛盾，因此不是“函数”
若是“函数”,则存在常数使得
即存在常数对满足条件．因此是“函数”；
（2） 是一个“函数”,有序实数对满足恒成立,
当时,,不是常数
∴
当时,有恒成立
即恒成立．
则,
当,时,成立．
因此满足是一个“函数”,．
（3） 函数是“函数”,且存在满足条件的有序实数对和,
于是,．
x[1,2]时,2x[0,1],f(2x)[1,2],,
∴x[0,2]时,,
,
x[2,4]时,f(x)[4,16],
x[4,6]时,f(x)[16,64],
以此类推可知：x[2k,2k2]时,f(x)[22k,22k2]
x[2014,2016]时,f(x)[22014,22016],
因此时，
时，
综上可知当时函数的值域为．
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函数周期性与对称性
一、函数的周期性（同为周期则相减）
（1）若，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
若，则
若，则
若，则
若，则
若，则
若，则
二、函数的对称性（异为对称则相加除2）
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于对称．
(5)若，则函数关于对称．
(6)若，则函数关于对称．
三、函数的对称性与周期性的转换--借助波浪图理解记忆
(1)若函数同时关于，对称则函数的周期
(2)若函数同时关于，对称则函数的周期
(3)若函数同时关于，对称则函数的周期
(4)若偶函数关于对称则函数的周期
(5)若奇函数关于对称则函数的周期
函数周期性与对称性默写模板
一、函数的周期性（同为周期则相减）
1.若，则
2.若，则
3.若，则
4.若，则
5.若，则
6.若，则
二、函数的对称性（异为对称则相加除2）
(1)若函数为偶函数，则函数关于 对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于 对称．
(3)若，则函数关于 对称．
(4)若，则函数关于 对称．
(5)若，则函数关于 对称．
(6)若，则函数关于 对称．
口诀：同为周期则相减，异为对称则相加除2；y相等为轴对称，y相加为中心对称；将复合函数的对称性带入内函数，即为外函数的对称性。
三、函数的对称性与周期性的转换--借助波浪图理解记忆
(1)若函数同时关于，对称则函数的周期 。
(2)若函数同时关于，对称则函数的周期 。
(3)若函数同时关于，对称则函数的周期 。
(4)若偶函数关于对称，则函数的周期 。
(5)若奇函数关于对称，则函数的周期 。
周期性与对称性练习
若函数为奇函数，且，则周期 。
若函数为偶函数，且，则周期 。
若函数为偶函数，且，则周期 。
若函数为奇函数，且，则周期 。
若，且，则周期 。
若，且，则周期 。
若，且，则周期 。
若函数为奇函数，且函数为偶函数，则周期 。
若函数为奇函数，且，则周期 。
若函数为偶函数，且，则周期 。
若函数为偶函数，且，则周期 。
【例1】若函数为奇函数，且，当，画出的的函数图像。并求
【例2】若函数为偶函数，且，当，画出的的函数图像。并求
变式 1若函数为偶函数，且，当，画出的的函数图像。并求
变式 2，且，当，画出的的函数图像。并求
【例3】 已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的图象关于直线对称
C．是奇函数 D．的图象关于点对称
【答案】C
【详解】由可得2是函数的周期，
因为是奇函数，所以函数的图象关于点对称，
所以，，所以是奇函数，故选：C.
【例4】已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
【答案】C
【详解】因为函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，
即函数为奇函数；
因为对任意，都有，令，得，又函数为奇函数，故，解得，则，即，所以4是函数的一个周期；所以.故选：C.
变式3已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式4 已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且 则（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知定义在上的函数满足为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，时，单调递增；
，，单调递增；
，
，综上所述，，故选：A.
【例6】已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【详解】因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，
又函数为偶函数，所以，
所以函数是周期为2的函数，
又的图象也关于直线对称，
作出函数与在区间上的图象，如图所示：
由图可知，函数与的图象在区间上有8个交点，且关于直线对称，
所以方程在区间上所有解的和为，故选：A.
变式5 已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
变式6定义在上的奇函数满足，且当时，，则方程在上的所有根的和为（ ）
A． B． C． D．
【例7】已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“函数”．
（1）判断函数是否是“函数”；
（2）若是一个“函数”，求出所有满足条件的有序实数对；
（3）若定义域为R的函数是“函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当x[0,1]时，的值域为[1,2]，求当x[2016,2016]时函数的值域．
【答案】（1）函数不是“函数”，函数是“函数”；
（2）；；（3）.
【详解】（1） 若是“函数”,则存在常数,使得
即时,对恒成立．而最多有两个解,矛盾，因此不是“函数”
若是“函数”,则存在常数使得
即存在常数对满足条件．因此是“函数”；
（2） 是一个“函数”,有序实数对满足恒成立,
当时,,不是常数
∴
当时,有恒成立
即恒成立．
则,
当,时,成立．
因此满足是一个“函数”,．
（3） 函数是“函数”,且存在满足条件的有序实数对和,
于是,．
x[1,2]时,2x[0,1],f(2x)[1,2],,
∴x[0,2]时,,
,
x[2,4]时,f(x)[4,16],
x[4,6]时,f(x)[16,64],
以此类推可知：x[2k,2k2]时,f(x)[22k,22k2]
x[2014,2016]时,f(x)[22014,22016],
因此时，
时，
综上可知当时函数的值域为．
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