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等式与不等式的性质
知识点一 比较大小基本方法
关系 方法
做差法 与0比较 做商法 与1比较
或
或
知识点二 不等式的性质
性质 性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
【方法技巧与总结】
1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.
2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.
知识点三 糖水不等式
若a>b>0，m>0，则
(1)真分数性质：<；>(b－m>0).
(2)假分数性质：>；<(b－m>0).
其中真分数性质也常被称为“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜(浓度变大)；糖水析出糖后，糖水变淡(浓度变小). ”
知识点四 利用待定系数法求代数式的取值范围
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.
已知M1(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；
(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；
(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．不可忽略a，b的制约关系，而单独求出a，b的范围，再求g(a，b).
【题型一】比较两个数(式)的大小
【例1】已知，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小无法判断
【答案】A
【详解】因为，
所以，故.故选：A.
【例2】已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，且，故；
由且，故；
且，故.
所以，故选：B.
【例3】已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由题意，
若，结合，则，
故“”是“”的充分条件；
者，则，
取满足，但不满足，
故“”不是“”的必要条件．
于是“”是“”的充分不必要条件，故选：A．
变式1比较与的大小．
变式2（多选题）己知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型二】不等式性质的应用
【例4】若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；
对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，
若，，则，B选项错误；
对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，
，，C选项错误；
对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.
【例5】（多选题）已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】对于，因为，所以，则，故选项成立；
对于，作差：，由已知可知：，当的符号不确定，故与的大小关系不确定，故选项错误；
对于，作差： ，因为，所以，，则，即，故选项正确；
对于，当，，时，满足，但，故选项错误；
综上：不等式恒成立的是，故选：.
变式3（多选题）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
变式4 若，，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【题型三】求代数式的取值范围
【例6】已知，，分别求
(1)
(2)
(3)的取值范围.
【答案】(1)；(2)；(3).
【详解】（1），而，
所以有
（2）；
（3），而，
所以有.
【例7】（多选题）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】ABD
【详解】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；
因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
因为，所以，则，故D正确.
故选：ABD.
变式5已知，，的取值范围是_______________
课后练习
（1）已知a，b均为正实数.试比较与的大小；
已知a≠1且a∈R，试比较与的大小.
已知实数、满足，，则的取值范围为______．
如果a>b，给出下列不等式：
①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
4.若，，设，则的最小值为__．
5.已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．
6.已知－3 < a <－2，3 < b < 4，则的取值范围为（ ）
A．(1，3) B． C． D．
7.（多选题）已知a，b，c满足cA．ac（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D．
8．（多选题）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的最小值为6
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等式与不等式的性质
知识点一 比较大小基本方法
关系 方法
做差法 与0比较 做商法 与1比较
或
或
知识点二 不等式的性质
性质 性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
【方法技巧与总结】
1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.
2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.
知识点三 糖水不等式
若a>b>0，m>0，则
(1)真分数性质：<；>(b－m>0).
(2)假分数性质：>；<(b－m>0).
其中真分数性质也常被称为“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜(浓度变大)；糖水析出糖后，糖水变淡(浓度变小). ”
知识点四 利用待定系数法求代数式的取值范围
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.
已知M1(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；
(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；
(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．不可忽略a，b的制约关系，而单独求出a，b的范围，再求g(a，b).
【题型一】比较两个数(式)的大小
【例1】已知，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小无法判断
【答案】A
【详解】因为，
所以，故.故选：A.
【例2】已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，且，故；
由且，故；
且，故.
所以，故选：B.
【例3】已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由题意，
若，结合，则，
故“”是“”的充分条件；
者，则，
取满足，但不满足，
故“”不是“”的必要条件．
于是“”是“”的充分不必要条件，故选：A．
变式1比较与的大小．
【答案】<
【详解】,
<.
变式2（多选题）己知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】对于非零实数，满足，则，
即，故A一定成立；
因为，故B一定成立；
又，即，所以，故C一定成立；
对于D：令，，满足，此时，故D不一定成立．故选：ABC
【题型二】不等式性质的应用
【例4】若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；
对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误；
对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；
对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.
【例5】（多选题）已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】对于，因为，所以，则，故选项成立；
对于，作差：，由已知可知：，当的符号不确定，故与的大小关系不确定，故选项错误；
对于，作差： ，因为，所以，，则，即，故选项正确；
对于，当，，时，满足，但，故选项错误；
综上：不等式恒成立的是，
故选：.
变式3（多选题）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】因为，，所以，的符号不能确定，
当时，，故A错误，
因为，，所以，故B正确，
因为，所以，故C正确，
因为，所以，所以，所以，故D错误，
故选：BC
变式4 若，，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】若，，，满足，但，，不成立，A选项错误；
，，则有，即，B选项正确；
，当时，不成立，C选项错误；
当时，，则D选项错误.故选：B
【题型三】求代数式的取值范围
【例6】已知，，分别求
(1)
(2)
(3)的取值范围.
【答案】(1)；(2)；(3).
【详解】（1），而，
所以有
（2）；
（3），而，
所以有.
【例7】（多选题）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】ABD
【详解】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；
因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
因为，所以，则，故D正确.
故选：ABD.
变式5已知，，的取值范围是_______________
【答案】
【详解】设，即，
∴，解得.
∴，
∵，∴①，
∵，∴②，
①②，得，即的取值范围.
故答案为：.
课后练习
（1）已知a，b均为正实数.试比较与的大小；
（2）已知a≠1且a∈R，试比较与的大小.
【答案】（1）≥；（2）答案见解析.
【详解】（1）∵a，b均为正实数，
∴，即≥.
（2）由.
①当a=0时，0，则；
②当a<1且a≠0时，0，则；
③当a>1时，0，则.
综上，当a=0时，；当a<1且a≠0时，；当a>1时，.
已知实数、满足，，则的取值范围为______．
【答案】
【详解】设，则，解得，
所以，
因为，，所以，，
所以，故答案为：.
如果a>b，给出下列不等式：
①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
【答案】②⑥
【详解】令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.当时，排除④.由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正确.
所以一定成立的是②⑥.
4.若，，设，则的最小值为__．
【答案】##
【详解】因为
．
当且仅当，时取等号．所以的最小值为．故答案为：．
5.已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．
【答案】
【详解】由于，且，
所以，，
，所以.故答案为：
6.已知－3 < a <－2，3 < b < 4，则的取值范围为（ ）
A．(1，3)
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为－37.（多选题）已知a，b，c满足cA．ac（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D．
【答案】BCD
【详解】因为a，b，c满足c所以，
所以ac（a-c）<0 ，c（b-a）<0，，，
故选：BCD
8．（多选题）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的最小值为6
【答案】AC
【分析】解不等式和可判断A，C，取特值可排除B，利用将转化为来求解最小值，确定D.
【详解】A：，因为，所以故A正确；
B：，显然满足条件，故B错误；
C：，故C正确；
D：，由于在上为增函数，
故最小值为，D错误．
故选AC．
已知x,y为实数,满足2 ≤ xy2 ≤ 3,3 ≤ ≤ 4,则的最大值是　　　　,此时x+y=　　　　.
【答案】32　3　
【详解】设=(xy2)m()n=,∴,解得.∵3≤≤4,∴27≤()3≤64.∵2≤xy2≤3,∴≤≤.由不等式的性质,得9≤≤32,∴的最大值为32,此时,即,∴x+y=3.
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