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基本不等式
基本不等式
如果，则(当且仅当“”时取“”).
特例：（同号）.
其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串：
即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
均值定理
已知.
（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.
（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成
立.
考点一 根据积（或和）为定值求最值
求和的最小值，凑积为定
求积的最大值，凑和为定
【例1】求下列代数式的最值
(1)若，求最大值；
(2)设，求函数的最大值．
【答案】(1);(2)
【详解】（1）因为，故，
，
当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为；
（2）因为，所以，故，
当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为.
变式1求函数的最小值；
【例2】 设且，则的最大值为
【答案】
【详解】由题意，由均值不等式，当时，，
当且仅当即时等号成立，故，即
当且仅当即时等号成立，故答案为：
变式2已知正实数，满足，则的最大值为 .（积可以同时乘除一个数，凑系数比一致）
考点二 积，和，平方和的常见变形
方法总结：利用基本不等式转化为要求的形式，然后再进行等价代换，最后解一个一元二次不等式。
【例3】设，，，则（ ）
A．有最大值8 B．有最小值8
C．有最大值8 D．有最小值8
【答案】B
【详解】因为，，，设，则，所以.
由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立.
所以，即，解得（舍）或，
所以，即时成立，故选项A错误，选项B正确；
设，则，所以，则 .
由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，
所以，即解得或（舍），
所以，即时等号成立，故选项C错误;
对于选项D：当时，满足，此时，故选项D错误，故选：B
【例4】已知实数，，且
（1）当时，求的最小值，并指出取最小值时的值；
（2）当时，求的最小值，并指出取最小值时的值.
【答案】(1)最小值为，此时；(2)最小值为4，此时.
【详解】（1）时，，因为，所以，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
（2）时，，
变形为，即，，
其中，故，
因为，解得：，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为4，此时.
变式3 实数、，，且满足，则的最小值是
变式4 已知正实数，满足，则的最小值是 .
考点三 “1”的妙用（探究整式与分式之间的最值）
【例5】已知整式求分式
【例6】已知分式求整式
【总结规律】“1”的妙用的特征是：1、条件等式一共有三项；2、其中两项的次数相同，第三项的次数差1；
变式5 已知，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
两个分式的和最小值（凑分母的和为常数）
【例7】设，若，则的最小值为 ．
【答案】9
【详解】因为，所以
，因，故，又，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故的最小值为9
变式6 已知ab，a，b∈（0，1），则的最小值为
A．4 B．6 C． D．
“1”的代换
【例8】设，，，则的最小值为______．
【答案】#.
【详解】因为，所以
当且仅当时，等号成立，即的最小值为，故答案为：.
变式7 已知，且，则的最小值是( )
A．49 B．50 C．51 D．52
变式8 已知，且，求的最小值；
考点四 “1”的妙用之换元法（当分母是多项式时，将分母整体换元）
【例9】已知，，则的最小值为 ．
【答案】12
【详解】令，，则，，且，，
所以，．
又，所以，
当且仅当，，即，时，等号成立．故答案为：12
【例10】已知，，，则取到最小值为 ．
【答案】．
【详解】试题分析：令，∴，
∴
，当且仅当时，等号成立，
即的最小值是．
变式9已知，则的最小值为 .
变式10 若三个正数满足，则的最小值为______.
考点五 双变量的最值转化为单变量（齐次分式可以同除）
【例11】设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，又均为正实数，
（当且仅当时取"=")，
，此时.，
，当且仅当时取得"="，满足题意.
的最大值为1.故选：B.
变式11 设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
考点六 利用不等式求解恒成立问题（分离参数求参数范围）
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
【例12】，对任意正实数恒成立，则正实数的最小值是 （基本不等式，分离参数）
【答案】4
【详解】对任意正实数，，不等式恒成立，即恒成立.
因为，所以，解得：或（不合题意，舍去），
即正实数m的最小值为4.
【例13】 若不等式恒成立，则实数的最大值为
【答案】
【详解】试题分析：因为，所以由得，令，则，由得时取最小值，又，
所以的最大值为
变式12已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ．
变式13 已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是 .
【例14】已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，令，显然有，而，A不是；
对于B，当，时，，B不是；
对于C，当，时，由，得，
当且仅当时取等号，反之取，满足，而不成立，
因此是成立的一个充分不必要条件，C是；
对于D，令，不等式成立，而，D不是.
故选：C
变式14 已知，，则使成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
课后作业
1．函数的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．当时，函数的最小值是（　　）
A． B．4 C．5 D．9
3．x∈R，则的最小值是
4．（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．已知，则的最小值为
C．若正数x、y满足，则的最小值为3
D．设x、y为实数，若，则的最大值为
5．（多选题）若正实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最大值为4
C．的最小值为 D．的最大值为8
6．已知，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．10
7．若，，且，则
（1）的最小值为 .
（2）的最小值为 .
8．已知，，且，则的最小值为 ．
9．设，则的最小值为 .
10．已知，则的最小值为 ．
11．已知，，，则的最小值为 .
12. 若正数a，b满足，则的最小值为
A． B． C．8 D．9
13．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
已知，则的最小值是______．
已知，，且，则的最小值是 ；当取得最小值时，的最小值是 ．
16．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
17．（多选题）已知不等式对任意恒成立，则满足条件的正实数a的值可以是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
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基本不等式
基本不等式
如果，则(当且仅当“”时取“”).
特例：（同号）.
其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串：
即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
均值定理
已知.
（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.
（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成
立.
考点一 根据积（或和）为定值求最值
求和的最小值，凑积为定
求积的最大值，凑和为定
【例1】求下列代数式的最值
(1)若，求最大值；
(2)设，求函数的最大值．
【答案】(1);(2)
【详解】（1）因为，故，
，
当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为；
（2）因为，所以，故，
当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为.
变式1求函数的最小值；
【答案】；
【详解】因为，所以，所以，
当且仅当时，即时，等号成立，故函数的最小值为.
【例2】 设且，则的最大值为
【答案】
【详解】由题意，由均值不等式，当时，，
当且仅当即时等号成立，故，即
当且仅当即时等号成立，故答案为：
变式2已知正实数，满足，则的最大值为 .（积可以同时乘除一个数，凑系数比一致）
【答案】3；
【详解】已知正实数，满足，根据均值不等式得到
等号成立的条件为：x=2y+2，故答案为3.
考点二 积，和，平方和的常见变形
方法总结：利用基本不等式转化为要求的形式，然后再进行等价代换，最后解一个一元二次不等式。
【例3】设，，，则（ ）
A．有最大值8 B．有最小值8
C．有最大值8 D．有最小值8
【答案】B
【详解】因为，，，设，则，所以.
由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立.
所以，即，解得（舍）或，
所以，即时成立，故选项A错误，选项B正确；
设，则，所以，则 .
由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，
所以，即解得或（舍），
所以，即时等号成立，故选项C错误;
对于选项D：当时，满足，此时，故选项D错误，故选：B
【例4】已知实数，，且
（1）当时，求的最小值，并指出取最小值时的值；
（2）当时，求的最小值，并指出取最小值时的值.
【答案】(1)最小值为，此时；(2)最小值为4，此时.
【详解】（1）时，，因为，所以，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
（2）时，，
变形为，即，，
其中，故，
因为，解得：，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为4，此时.
变式3 实数、，，且满足，则的最小值是
【答案】2
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是，故选：C.
变式4 已知正实数，满足，则的最小值是 .
【答案】
【详解】将式子变形为，即，
因为，，所以（当且仅当时，等号成立），
所以有，即，故，所以，
则的最小值是.故答案为：.
考点三 “1”的妙用（探究整式与分式之间的最值）
【例5】已知整式求分式
【例6】已知分式求整式
【总结规律】“1”的妙用的特征是：1、条件等式一共有三项；2、其中两项的次数相同，第三项的次数差1；
变式5 已知，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【详解】，，，
，，
，
当且仅当，即，时等号成立，故选：A
两个分式的和最小值（凑分母的和为常数）
【例7】设，若，则的最小值为 ．
【答案】9
【详解】因为，所以
，因，故，又，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故的最小值为9
变式6 已知ab，a，b∈（0，1），则的最小值为
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【详解】由题：ab，a，b∈（0，1），，
，
当且仅当时，取得最小值，
解得当时，取的最小值.故选：D
“1”的代换
【例8】设，，，则的最小值为______．
【答案】#.
【详解】因为，所以
当且仅当时，等号成立，即的最小值为，故答案为：.
变式7 已知，且，则的最小值是( )
A．49 B．50 C．51 D．52
【答案】B
【详解】由已知，得，
当且仅当，即，时等号成立．因此，的最小值是50．故选：B．
变式8 已知，且，求的最小值；
【答案】4
【详解】因为，所以原式，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4.
考点四 “1”的妙用之换元法（当分母是多项式时，将分母整体换元）
【例9】已知，，则的最小值为 ．
【答案】12
【详解】令，，则，，且，，
所以，．
又，所以，
当且仅当，，即，时，等号成立．故答案为：12
【例10】已知，，，则取到最小值为 ．
【答案】．
【详解】试题分析：令，∴，
∴
，当且仅当时，等号成立，
即的最小值是．
变式9已知，则的最小值为 .
【答案】
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：
变式10 若三个正数满足，则的最小值为______.
【答案】/
【详解】依题意为正数，，
所以
，
当且仅当，
，时等号成立，故答案为：
考点五 双变量的最值转化为单变量（齐次分式可以同除）
【例11】设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，又均为正实数，
（当且仅当时取"=")，
，此时.，
，当且仅当时取得"="，满足题意.
的最大值为1.故选：B.
变式11 设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当且仅当时成立，因此
所以时等号成立．故选：C．
考点六 利用不等式求解恒成立问题（分离参数求参数范围）
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
【例12】，对任意正实数恒成立，则正实数的最小值是 （基本不等式，分离参数）
【答案】4
【详解】对任意正实数，，不等式恒成立，即恒成立.
因为，所以，解得：或（不合题意，舍去），
即正实数m的最小值为4.
【例13】 若不等式恒成立，则实数的最大值为
【答案】
【详解】试题分析：因为，所以由得，令，则，由得时取最小值，又，
所以的最大值为
变式12已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ．
【答案】
【详解】因为，且，若恒成立，则，
又，
当且仅当，即，时，等号成立，
，即实数的取值范围是．故答案为：．
变式13 已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】依题意，，，
解得，则
，
当且仅当，时等号成立.所以，
解得或，即的取值范围是.故答案为：
【例14】已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，令，显然有，而，A不是；
对于B，当，时，，B不是；
对于C，当，时，由，得，
当且仅当时取等号，反之取，满足，而不成立，
因此是成立的一个充分不必要条件，C是；
对于D，令，不等式成立，而，D不是.
故选：C
变式14 已知，，则使成立的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】对于A，取，，显然有成立，但不成立，不符合题意.
对于B，由，得，所以，可推出，符合题意.
对于C，，可得，不符合题意.
对于D，由，得，因为，，所以，所以，不能推出，不符合题意.
故选：B．
课后作业
1．函数的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【详解】，，，
当且仅当，即时，等号成立.所以函数的最大值为，故选：B.
2．当时，函数的最小值是（　　）
A． B．4 C．5 D．9
【答案】A
【详解】∵，∴，,
∴，
当且仅当，即时取等号．故选：A
3．x∈R，则的最小值是
【答案】
【详解】根据双勾函数的性质可知当时，函数取最小值为
4．（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．已知，则的最小值为
C．若正数x、y满足，则的最小值为3
D．设x、y为实数，若，则的最大值为
【答案】BCD
【详解】对于A，当时，，A错误；
对于B，当时，，则，
当且仅当，即时取等号，B正确；
对于C，若正数x、y满足，即，
，
当且仅当，即时取等号，C正确；
对于D，，
于是，解得，
当且仅当时取等号，所以当时，取得最大值，D正确.
故选：BCD
5．（多选题）若正实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最大值为4
C．的最小值为 D．的最大值为8
【答案】ABC
【详解】由题意，正实数满足，
对于A中，由，当且仅当时，等号成立，
可得，解得，所以A正确；
对于B中，由，可得，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，所以 B正确；
对于C中，由，可得，
则，
当且仅当时，等号成立，所以C正确；
对于D中，由，
因为，所以的最小值为，当且仅当时取得最小值，
所以D错误.
故选：ABC.
6．已知，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立.故的最小值为.故选：C.
7．若，，且，则
（1）的最小值为 .
（2）的最小值为 .
【答案】
【详解】（1）解：由，，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
（2）解：由，
又由，，且，可得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：；.
8．已知，，且，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】，，，
，
当且仅当，即时等号成立.故答案为：
9．设，则的最小值为 .
【答案】
【详解】，
当且仅当，即时成立，故所求的最小值为．
10．已知，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】由，
可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.
11．已知，，，则的最小值为 .
【答案】/
【详解】
（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为.故答案为：.
12. 若正数a，b满足，则的最小值为
A． B． C．8 D．9
【答案】D
【详解】，，且，则，
当且仅当即，时取等号．故选D．
13．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，且，
故，
当且仅当，即时取得等号.故选：B
14. 已知，则的最小值是______．
【答案】
【详解】，，
，
当且仅当，即时等号成立，的最小值是，故答案为：.
已知，，且，则的最小值是 ；当取得最小值时，的最小值是 ．
【答案】 8
【详解】由，，得，则，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值8；
当时，，，当且仅当时取等号，
所以时，取得最小值.
故答案为：8；
16．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以，因为恒成立，所以，
即，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C
17．（多选题）已知不等式对任意恒成立，则满足条件的正实数a的值可以是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【答案】BCD
【详解】令，则.
由基本不等式得 ，
当且仅当，即时等号成立,
所以要使对任意正实数恒成立,只需
即，得，解得（舍去），或，得，
故选：BCD.
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