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柯西不等式
知识点一 柯西不等式
（1）二维形式的柯西不等式
若都是实数，则，当且仅当时，等号成立.
（2）已知都是实数，则：
（3）已知同号且不为0，则：
知识点二 权方和不等式
已知，则有：，（当且仅当时，等号成立）.
【题型一】整式与分式的最值
【例1】已知，，均为非负数，且，则的最小值为______．
【答案】2
【解析】因为，，均为非负数，且，则，
所以由柯西不等式可得：，
所以；当且仅当，即，
由解得：，即时，等号成立.
故答案为：2.
【例2】已知a＋b＋c＝1，且a，b，c＞0，则 的最小值为( )
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【解析】
当且仅当时等号成立
变式1设a，b，c均为正数且，则的最小值为　　　　　
【解析】 ()()
　()．9 (2 3 4)2 81 　 9
变式2设a, b, c均为正数，且，则之最小值为________
解：:
　　　∴，最小值为18
【题型二】已知二次求一次
【例3】实数x、y满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【解析】实数x、y满足，，
，，
当且仅当时取等号，的最小值是.故选：A.
【例4】设　且，求的最大值及最小值。
　利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10
变式3设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．
【解析】根据柯西不等式
　　，
　　故。
　当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，
变式4设x，y，z R且，求的最大、小值。
【解析】∵　由柯西不等式知
[42（)2 22]
　　25 1 (x y z 2)2　　5 |x y z 2| 　 5 x y z 2 5　∴　 3 x y z 7
故x y z之最大值为7，最小值为 3
【题型三】已知一次求二次
【例5】若实数，则的最小值为（ ）
A．14 B． C．29 D．
【答案】B
【解析】根据柯西不等式：，即，
当且仅当，，时等号成立.故选：B.
变式5设x, y, zR，若，则之最小值为________，又此时________。
【解析】：
∴最小值。当且仅当：
∴　　　∴
变式6求函数的最大值
【解析】：∵且， 函数的定义域为，且，
　　　　
即时函数取最大值，最大值为
法二：∵且， ∴函数的定义域为
由，得
即，解得∴时函数取最大值，最大值为.
1．已知，且，则的最小值是
【答案】36
【详解】由 ，
所以，当且仅当，即时取等号．
2．已知则的最大值为
【答案】
【详解】由柯西不等式，则，
所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.
3．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 .
【答案】/
【详解】由柯西不等式的变形可知，整理得，
当且仅当，即时等号成立，则k的最小值为.
4．已知函数，若恒成立，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】因为，所以，解得，
又，当且仅当，
即时，等号成立，则，又恒成立，所以，故的最小值为.
5．已知正实数，，，满足，则的最小值是 ．
【答案】/
【详解】由题意可知，
，当且仅当时取“”号．所以原式的最小值为．
6．已知，，则的最小值为 .
【答案】9
【详解】∵
∴,当且仅当时等号成立，即，
∵
，当且仅当时等号成立，可取故答案为：9
7．已知，设，若函数在区间上存在零点，则当取到最小值时的零点为 .
【答案】
【详解】设函数在区间上的零点为，则，即，两边平方得，由柯西不等式可得，
当且仅当时等号成立，即，，
设，，则，
令，得，在上单调递增，
令，得，在上单调递减，
所以当时，在上取最小值，即取最小值.
证明柯西不等式：，
证明：
，
即
故答案为：.
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柯西不等式
知识点一 柯西不等式
（1）二维形式的柯西不等式
若都是实数，则，当且仅当时，等号成立.
（2）已知都是实数，则：
（3）已知同号且不为0，则：
知识点二 权方和不等式
已知，则有：，（当且仅当时，等号成立）.
【题型一】整式与分式的最值
【例1】已知，，均为非负数，且，则的最小值为______．
【答案】2
【解析】因为，，均为非负数，且，则，
所以由柯西不等式可得：，
所以；当且仅当，即，
由解得：，即时，等号成立.
故答案为：2.
【例2】已知a＋b＋c＝1，且a，b，c＞0，则 的最小值为( )
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【解析】
当且仅当时等号成立
变式1设a，b，c均为正数且，则的最小值为　　　　　
变式2设a，b，c均为正数，且，则的最小值为________
【题型二】已知二次求一次
【例3】实数x、y满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【解析】实数x、y满足，，
，，
当且仅当时取等号，的最小值是.故选：A.
【例4】设　且，求的最大值及最小值。
　利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10
变式3设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．
变式4设x，y，z R且，求的最大、小值。
【题型三】已知一次求二次
【例5】若实数，则的最小值为（ ）
A．14 B． C．29 D．
【答案】B
【解析】根据柯西不等式：，即，
当且仅当，，时等号成立.故选：B.
变式5设x, y, zR，若，则的最小值为________，又此时________。
变式6 求函数的最大值
课后训练
1．已知，且，则的最小值是
2．已知则的最大值为
3．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 .
4．已知函数，若恒成立，则的最小值为 ．
5．已知正实数，，，满足，则的最小值是 ．
6．已知，，则的最小值为 .
7．已知，设，若函数在区间上存在零点，则当取到最小值时的零点为 .
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