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一元二次不等式
知识点一 解一元二次不等式分式不等式
【例1】(1)；
(2)；
(3).
(4)；
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【详解】（1）由可得，解得或，故原不等式的解集为.
（2）由可得，解得，故原不等式的解集为.
由，得，解得或，故不等式的解集为.
（3）由，得，解得或，故不等式的解集为.
（4）等价于，解得，故原不等式的解集为.
变式1 (1).
(2)；
(3)；
(4)；
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【详解】（1）由可得，等价于，
解得，故原不等式的解集为.
（2）由，得，解得，故不等式的解集为.
（3）由，得，即，
解得或，故不等式的解集为.
（4）由，得，即，解得，故不等式的解集为.
知识点二 一元二次不等式解集与系数的关系
【例2】若关于的不等式的解集为，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【详解】不等式的解集为，则方程的两根为，
由韦达定理得：，，可得，故.
故选：.
【例3】若的解集为，解不等式：.
【答案】
【详解】因为的解集为，
所以，且1和3是方程，所以，得
则所求不等式变为，所以，即，解得或.
所以所求不等式的解集为.
【例4】已知，关于的不等式的解集为或．
(1)求的值；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)；(2)分类讨论，答案见解析.
【详解】（1）因为不等式的解集为或，
所以与是方程的两个实数根，由根与系数的关系，得，解得：，；
（2）由（1）知不等式为，即，
①当时，易得不等式的解集为，
②当时，不等式可化为，不等式的解集为或．
③当时，不等式可化为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为．
变式2 若不等式和不等式的解集相同，则 ， ．
【答案】
【详解】解：不等式等价于，解得：，解集相同，
不等式的解集为，
由方程与不等式的关系可知：的根为：，由韦达定理：，
解得：，，故答案为：，．
变式3 （多选题）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【详解】A选项，∵关于x的不等式的解集为，
∴，A选项正确；
BC选项，已知和3是关于x的方程的两根，
由根与系数的关系得，则，
不等式，即，解得，B正确；
且，C错误；
D选项，不等式，即，即，
解得或，D正确．
故选：ABD
变式4 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可知，故；乙的常数正确，故，故.
所以原不等式为，即，解得，所以解集为.
故选：D.
知识点三 解含参一元二次不等式
【例5】解下列关于的不等式
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【详解】（1）由，可得或，则：
当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
（2）由对应函数开口向上，且，
当，即时，恒成立，原不等式解集为；
当，即或时，由，可得，
所以原不等式解集为；
综上，解集为；或解集为.
（3）由得或.
当，即时，不等式解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为．
综上：时，不等式解集为；时，解集为；时，解集为．
（4）①当时，；∴.
②当时，由得或，
（i）当即时，，
（ⅱ）当即时，，
（ⅲ）当即时，，
综上，当时，所求不等式的解集为.
当时，所求不等式的解集为，
当时，所求不等式的解集为，
当时，所求不等式的解集为.
变式5 解关于实数的不等式
(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）易知方程的，
由得，解得，
当时，的解集为，
当时，的解集为，
当时，的解集为．
（2）不等式可化为，
当时，，不等式的解集为；
当时，不等式化为，其解集为；
当时，不等式化为，
（ⅰ）当，即时，不等式的解集为；
（ⅱ）当，即时，不等式的解集为；
（ⅲ）当，即时，不等式的解集为.
（3）对方程 ，
当时，即时不等式的解集为；
当时，即或时的根为，，
不等式的解集为；
综上，时不等式的解集为，或时不等式的解集为.
知识点四 一元二次方程根的分布
【例6】关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 .
【答案】
【详解】设，开口向上，
由题意知，
即，解得，
所以．
故答案为：．
【例7】已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 .
【答案】
【详解】设，
因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2，
则满足，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
变式6 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【详解】令函数，依题意，的两个不等实根满足，
而函数图象开口向上，因此，则，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
变式7 若一元二次方程的两个根都大于2，求实数a的取值范围．
【答案】
【详解】因为一元二次方程的两个根都大于2，令，
所以，解得，
故实数a的取值范围为
知识点五 一元二次不等式恒成立问题
【例8】（1）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【详解】（1）当时，显然，满足题意；
若，因为，
所以恒成立，满足题意；
若，则需，解得．
综上，实数的取值范围是．
（2）由题可知，当时，恒成立．
因为，所以等价于．
在区间上的最大值为，
所以，在区间上的最小值为，所以只需即可，
所以实数的取值范围是．
【例9】已知命题，，命题，．
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题、至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）若命题，为真命题，则，解得，
即实数的取值范围是．
（2）若命题，为真命题，
则，解得或，即，
所以，若命题、至少有一个为真命题．则，即
则实数的取值范围是．
【例10】（1）若，，求实数a的取值范围；
（2）若，，求实数x的取值范围．
【答案】（1）（2）
【详解】（1）因为，，
①当时，不等式对成立，符合题意.
②当时，若不等式对恒成立，则，解得，
综上，实数a的取值范围.
（2），，即，，
所以，而在上单调递增，所以，解得，
故实数x的取值范围.
变式8 若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 .
【答案】
【详解】由，
因为，所以，令，
由，
构造函数，
即，当且仅当时取等号，所以故答案为：.
变式9 设函数.
(1)若对，恒成立，求的取值范围；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）当时，恒成立，满足题意；
若，则，解得，综上的取值范围是.
（2）由题意得，对任意恒成立，即恒成立，
，，所以单调递减，
，，即的取值范围是.
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一元二次不等式
知识点一 解一元二次不等式分式不等式
【例1】(1)；
(2)；
(3).
(4)；
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【详解】（1）由可得，解得或，
故原不等式的解集为.
（2）由可得，解得，
故原不等式的解集为.
由，得，解得或，
故不等式的解集为.
（3）由，得，解得或，
故不等式的解集为.
（4）等价于，解得，
故原不等式的解集为.
变式1
(1) (2)；
(3)； (4)；
.
知识点二 一元二次不等式解集与系数的关系
【例2】若关于的不等式的解集为，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【详解】不等式的解集为，
则方程的两根为，
由韦达定理得：，，
可得，
故.
故选：.
【例3】若的解集为，解不等式：.
【答案】
【详解】因为的解集为，
所以，且1和3是方程，
所以，得
则所求不等式变为，
所以，即，解得或.
所以所求不等式的解集为.
【例4】已知，关于的不等式的解集为或．
(1)求的值；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)；(2)分类讨论，答案见解析.
【详解】（1）因为不等式的解集为或，
所以与是方程的两个实数根，
由根与系数的关系，得，
解得：，；
（2）由（1）知不等式为，
即，
①当时，易得不等式的解集为，
②当时，不等式可化为，不等式的解集为或．
③当时，不等式可化为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为．
变式2 若不等式和不等式的解集相同，则 ， ．
变式3 （多选题）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
变式4 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
知识点三 解含参一元二次不等式
【例5】解下列关于的不等式
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【详解】（1）由，可得或，则：
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
（2）由对应函数开口向上，且，
当，即时，恒成立，原不等式解集为；
当，即或时，由，可得，
所以原不等式解集为；
综上，解集为；
或解集为.
（3）由得或.
当，即时，不等式解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为．
综上：时，不等式解集为；
时，解集为；
时，解集为．
（4）①当时，；∴.
②当时，由得或，
（i）当即时，，
（ⅱ）当即时，，
（ⅲ）当即时，，
综上，当时，所求不等式的解集为.
当时，所求不等式的解集为，
当时，所求不等式的解集为，
当时，所求不等式的解集为.
变式5 解关于实数的不等式
；
；
(3).
知识点四 一元二次方程根的分布
【例6】关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 .
【答案】
【详解】设，开口向上，
由题意知，即，解得，所以．
故答案为：．
【例7】已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 .
【答案】
【分析】设，结合题意，得到，即可求解.
【详解】设，
因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2，
则满足，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
变式6 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．求a的范围。
变式7 若一元二次方程的两个根都大于2，求实数a的取值范围．
知识点五 一元二次不等式恒成立问题
【例8】（1）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围；
若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【详解】（1）当时，显然，满足题意；
①若，因为，所以恒成立，满足题意；
②若，则需，解得．
综上，实数的取值范围是．
（2）由题可知，当时，恒成立．
因为，所以等价于．
在区间上的最大值为，
所以，在区间上的最小值为，所以只需即可，
所以实数的取值范围是．
【例9】已知命题，，命题，．
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题、至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）若命题，为真命题，
则，解得，即实数的取值范围是．
（2）若命题，为真命题，
则，解得或，即，
所以，若命题、至少有一个为真命题．
则，即
则实数的取值范围是．
【例10】（1）若，，求实数a的取值范围；
（2）若，，求实数x的取值范围．
【答案】（1）（2）
【详解】（1）因为，，
①当时，不等式对成立，符合题意.
②当时，若不等式对恒成立，则，解得，
综上，实数a的取值范围.
（2），，即，，
所以，而在上单调递增，
所以，解得，
故实数x的取值范围.
变式8 若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 .
变式9 设函数.
(1)若对，恒成立，求的取值范围；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围.
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